培養例談函數定義域在數學思維品質上的培養

王鵬

【摘要】思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現.它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質.函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終.在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質是十分有益的.

【關鍵詞】高中數學；函數的定義域；思維品質；培養

函數的定義域是構成函數的兩大要素之一，函數的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途.為此，筆者從函數的定義域入手，探討了如何培養學生的數學思維品質.

一、函數之解析式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤的.例如，某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100 m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式.

解 設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：

S=x（50-x）.

故函數關系式為：S=x（50-x）.

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍.也就是說學生的解題思路不夠嚴密.因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：0 即函數關系式為：S=x（50-x），（0 這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響.若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性.若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好的思維嚴密性.

二、函數之最值問題與定義域

函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大（小）值的問題.如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤.例如，求函數y=x2-2x-3在＼[-2，5＼]上的最值.

解 ∵y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-4=（x-1）2-4，

∴當x=1時，ymin=-4.

初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值.產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化.這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性.

其實以上結論只是對二次函數y=ax2+bx+c（a>0）在R上適用，而在指定的定義域區間[p，q]上，它的最值應分如下情況：

（1）當-b2a （2）當-b2a>q時，y=f（x）在[p，q]上是單調遞減函數，f（x）max=f（p），f（x）min=f（q）；

（3）當p≤-b2a≤q時，y=f（x）在[p，q]上的最值情況是：

f（x）min=f（-b2a）=4ac-b24a，f（x）max=max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一個值.

故本題還要繼續做下去：

∵-2≤1≤5，∴f（-2）=（-2）2-2×（-2）-3=-3，f（5）=52-2×5-3=12.

∴f（x）max=max{f（-2），f（5）}=f（5）=12.

∴函數y=x2-2x-3在＼[-2，5＼]上的最小值是-4，最大值是12.

這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性.

三、函數之值域問題與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定.因此在求函數值域時，應注意函數定義域.例如，求函數y=4x-5+2x-3的值域.

錯解 令t=2x-3，則2x=t2+3，

∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2t+142+78≥78.

故所求的函數值域是78，+∞.

剖析 經換元后，應有t≥0，而函數y=2t2+t+1在＼[0，+∞）上是增函數，所以當t=0時，ymin=1.

故所求的函數值域是＼[1，+∞）.

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生.也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性.

綜上所述，在求解函數函數關系式、最值（值域）等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析的能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生的思維能力，進而有利于培養學生思維的創造性.

【參考文獻】

[1]王岳庭主編.數學教師的素質與中學生數學素質的培養論文集.北京海洋出版社，1998.

[2]田萬海主編.數學教育學.杭州：浙江教育出版社，1993.

[3]莊亞棟主編.高中數學教與學（99.2、99.6）.揚州：中學數學教與學編輯部出版，1999.