初中學生函數概念發展的研究

孔麗麗

摘 要： 本研究通過抽樣調查研究了現階段初中學生函數概念的發展情況：初中學生對變量的理解隨著年級的增長而明顯加深，還不能完全用變化的、運動的觀點看待問題；在函數的三種表示方法中，學生對圖像法的函數值唯一性的認知最好，對解析式的函數認知易受所學過的函數形式影響，對表格法的函數認知易受字母變量的影響。

關鍵詞： 初中數學教學 函數概念 認知發展

1.問題提出

“函數概念是近代數學思想之花”[1]。函數是貫穿中學數學內容的一根主線，函數與代數式、方程、不等式、三角、幾何、數列、復數、排列組合、極限和微積分等內容聯系非常密切。

新課改前，初中函數學習安排在九年級；課改后，函數學習則進行了分散。以煙臺地區使用的魯教版數學教材為例，一次函數、反比例函數、二次函數三部分的內容分別放在七年級上、八年級下、九年級上進行。新課改后學生的函數概念發展情況怎樣呢？對此筆者進行了抽樣調查研究。

2.研究方法

采用問卷調查法，問卷是圍繞函數概念的認知發展進行設計的，目的是了解初中學生對函數定義和函數多種表示方法（解析法、列表法、圖像法等）的理解程度，了解學生在判斷一個對象是否為函數時用到的函數概念表象主要有哪些，了解學生對函數的應用水平。

收集到調查數據用Excel2003管理數據，用SPSS11.5分析數據。

3.結果與分析

3.1初中學生整體函數概念發展的水平與分析

從整體上看，初中學生的函數概念發展差異性很大，隨著年級的變化，呈“V”字形發展，九年級明顯高于七八年級。造成這種情況的原因主要有兩方面。

3.1.1學生因素

研究表明：初中學生以抽象邏輯思維為主要發展趨勢[2]，但在很大程度上，學生仍然需要依賴具體形象的經驗材料理解抽象的邏輯關系，思維仍屬于經驗型的邏輯思維。七八年級學生具體形象思維占主要地位，抽象邏輯思維還沒得到充分的發展。函數概念是一個非常復雜抽象的概念，學生還沒有足夠的抽象思維更好地理解，導致年級間的差異性顯著。

3.1.2教材因素

魯教版數學教材在七年級上學習“一次函數”；在八年級下學習“反比例函數”；在九年級上學習“二次函數”。八年級的函數學習與七年級的學習時間間隔有一年，與九年級的函數學習緊挨著，這種課程設置沒有足夠地考慮函數學習的連續性，造成八年級學生的函數概念認知水平最低。

3.2初中學生對函數概念本質認知與分析

函數概念的本質是函數值的唯一性。通過問卷調查，我們發現學生在判定是否函數關系時的判別標準是：首先看是否是熟悉的解析式、函數圖像，其次看是否有兩個字母代表的變量，是否y隨x的變化而變化，最后才是函數值的唯一對應。造成這種情況的因素主要有兩方面：

3.2.1概念學習的典型范例

初中學生在理解概念時，需要借助一些具體的概念表象解讀。正如認知心理學家羅斯（E.Rosch）所認為的：[3]記憶中的種種概念，是以這些概念的具體例子表示的，而不是以某些抽象的規則表示的。學生學習過的函數解析式和圖像在這里充當函數的典型范例。

3.2.2教材因素

一是為了配合函數的變量說，教材中所有關于函數概念的題目都偏重于強調變化，以至于學生想到函數就首先想到應該有兩個隨時在變化的量，否則就不能成為函數。二是教材在三種函數表示方法的應用示例方面偏重于解析式方面，基本上是讓學生自己用解析式解決問題，給出圖像讓學生根據圖像回答問題，表格的應用主要是讓學生利用表格數據求解析式的，表格如果沒有字母出現就基本不會被當做函數。

4.對函數教學的啟示

4.1合理安排函數的學習

在教材設計上，應該考慮七、八、九年級間的函數學習間隔均衡。數學知識的學習要注重知識體系的前后呼應和連續性，現行的數學教材七八年級的函數學習間隔太長，不利于學生的函數概念認知發展的連續性。

4.2加強學生對變量的認識。

采用字母表示變量，使人們能夠方便研究函數，但在實際教學中大多數教師并沒有很好地突出字母表示變量的優越性和目的所在，造成學生對函數的誤解：只有能用字母表示的變量才算變量，特別是在表格法的函數里，這種理解偏差更大。

4.3加強學生對函數的本質認識

在函數的三種表示方法中，求函數解析式是函數教學和考查的重點，教學重點都落在求函數解析式上，而忽略在解析式中對函數值唯一性的認識，導致學生對解析式形式的函數認知上以點概面，用是否是曾學習過的解析式函數作為判定函數關系的依據。

在表格函數的學習中，表格的出現兩種情況：一是為求函數解析式而提供數據；二是在數據的統計中用來整理數據和信息，此時的表格很少被當做函數認知，導致學生對表格函數的認知最低。現實中有很多函數關系是無法用解析式和圖像描述的，很多函數關系只能用表格法表示，需要加強學生對表格函數的理解與認知。

參考文獻：

[1]徐品方，張紅，寧銳.中學數學簡史[M].科學出版社，2007：241.

[2]林崇德.學習與發展[M].北京教育出版社，1992.

[3]施良方.學習論[M].人民教育出版社，1994：450.endprint