巧解九連環

范銘飛

【摘要】如何有效開發或開設選修課，拓展學生的知識面，發展學生的特長，培養學生的個性，便成了廣大教師需要探索和思考的課題.

【關鍵詞】選修課；知識拓展類；數學教學；九連環；遞推數列

筆者參與了數學選修課的開發和開設過程，在此期間也有一些感悟與想法，所以把它寫出來與各位同行交流.為了方便交流，下面提供了一節數學選修課的教學設計片段，供同行在實踐中參考.

一、教學歷程

課題：九連環與遞推數列.

背景：高一數學選修課——知識拓展類《高中數學知識探究和思考》中的一節實踐探究課.

課前準備：九連環每桌一個，表格每桌一張.

1.創設情境，提出課題

教師（手上拿著九連環）：大家玩過九連環嗎？想玩嗎？這節課我們一起玩九連環.

學生（炸開了鍋）：好！

教師：九連環是中國民間玩具，目的是把九個圓環全套上或卸下.游戲規則：九連環的每個環互相制約，只有第一環能夠自由上下.要想下或上第n（n>2）個環，就必須滿足兩個條件（第一個環除外）：

一、第n-1個環在架上；

二、前n-2個環全部不在架上.

沒等教師介紹完，部分學生已經拿起桌上的九連環開始玩.

教師：大家先停一下，你們知道當今世界上解九連環速度最快的人是誰嗎？他是老年人、中年人還是青年人？

（大部分）學生：中年人.

教師：讓我來解開謎底.（電腦播放觀看視頻《扛起世界記錄——蒙眼分解九連環速度最快的人》）

學生震驚了：解九連環速度最快的人竟是江西一位16歲的少年.

正是這一獨具特色、吸引學生的引入，調動了學生潛意識中的好奇心和挑戰心理，激發了他們探究的欲望，使學生自發地、熱情地參與到課堂中來，使接下來的探究教學收到了意想不到的好效果.

2.動手游戲，合作交流

學生開始兩人合作游戲，動手解環.有的學生反應敏捷，已經解下4環了，大部分學生已解下前3環，在解第4環時就卡住了.筆者請已經解下5環的一名學生到臺上演示.然后同桌之間相互合作，討論完成發下來的表格.

教師：解下前5個圓環所需移動的最少次數分別是多少呢？

學生1：次數依次為：1，2，5，10，21.

教師：正確.那么九個圓環都解下來所需的最少移動次數呢？

學生1：我覺得解第5環就比較麻煩了，如何計算啊？

學生2：可以找規律啊.這里移動的次數可否組成一個有規律的數列呢？

教師：事實勝于雄辯！學生2的質疑很有道理.我們能不能根據移動次數構造一個數列呢？

經過討論，同學們達成共識：構造數列.用an表示解下n個圓環所需的最少移動次數.顯然，a1=1，a2=2，a3=5，a4=10，a5=21.

學生觀察這一列數，陷入一片寂靜.

教師：實踐出真理.大家動手再繼續解環，找一找解第5個環的前一步驟是什么？

教室又進入解環游戲中……

學生3：為了解下第5個圓環，必須先解下前3個圓環，如果前4個圓環已經被解下，第5個圓環就無法再解下；如果前3個圓環已經被解下，第5個圓環就可以很容易解下.相反地，要套上第5個圓環，必須先套上前3個圓環.套上一個圓環與解下一個圓環的過程正好相反，所需次數相同.可以把這個結論推廣到n個環.

3.大膽假設，深化提高

教師：剛才我們在實踐中感知九連環在解環過程中存在的遞推關系，從而得出解九連環最少需要移動341次.讓我們來個大膽的猜想，假如，我這里有一個99連環，解下這99個圓環最少需要移動多少次呢？

學生4：9個環比較少，可以用遞推關系.99個圓環用遞推關系去算不方便.

學生5：在數列中學過當遇到n較大時求項的話，要用通項公式.

教師：學生5說得很好.我們可否得到這個數列的通項公式呢？我們再動手解九連環，特別注意相鄰幾個環之間的關系.

學生5：若我們再用bn表示前n-1個圓環都已經解下后，在解下第n個圓環所需的次數，則可得下式：

an=an-2+1+bn-1.

二、教學感悟

1.九連環是遞推數列的拓展與延伸

縱觀此節課，有限的教學資源得到了充分的開發和利用.本課例九連環的教學中，涉及了許多知識、技能、思想方法和思維品質.首先九連環為遞推數列提供了非常好的背景，在必修5課本中只是簡單地通過謝賓斯基三角形具體的一個例子得到數列的遞推公式.其次求遞推數列通項公式是數列知識的一個難點，通過這節課的學習，加深了“九連環”與遞推數列的聯系，使學生對數列遞推公式有了進一步的掌握和提高.發展綜合運用已學的知識和技能，解決實際問題的方法和學生的邏輯推理能力，轉化思想、分類討論思想、數學歸納思想，思維的深刻性、敏捷性等重要內容在自然流暢的教學情境中得到有機的融合.

2.對高一學生思維發展的準確定位，優化課堂教學模式

以前的教學活動教師總是充當著“智者”的角色，給學生“傳道、授業、解惑”.但在選修課開設中，筆者發現許多知識教師并不比學生多知道多少.如在確定“九連環”教學內容時，筆者是首次接觸九連環，對解九連環很陌生.那么，怎樣做好“指導老師”這一工作呢？那就只有放下教師的“架子”，對照說明書，自己先練習解九連環.為了破解九連環的神秘感，筆者整整花了一個下午的時間練習解九連環.

高一學生還保留少年時代的好動與好奇.據此，課例一開頭，教師拿出九連環，又播放視頻，引起學生的好奇和興趣.學生已具有一定的觀察力，課例從觀看視頻到學生親自動手觀察九連環，對觀察的目的性、持久性和概括性都提出了要求；高一學生的思維能力正在由形象經驗型向抽象理論型轉變.能夠用假設、推理來思考和解決問題，這就為課例從具體到抽象、從粗糙到嚴謹的推理準備了思維基礎.

3.對教材的重新開發

新的數學教材中，每一章節都增加了一定數量的閱讀與思考材料，開辟了“鏈接”“探究”“閱讀”等拓展性欄目，這為數學知識拓展類選修課提供了很好的平臺.因此在教學中經常不情愿，甚至干脆不指導學生開展探究學習.而《普通高中數學課程標準（實驗）》中明確指出：高中課程設立“數學探究”“數學建模”等學習活動，是為學生形成積極主動、形式多樣的學習方式進一步創造有利條件，以激發學生的數學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中養成獨立思考、積極探索的習慣.“九連環”是人教版《數學》A版（必修5）數列結束后閱讀與思考的內容.教材中所涉及的僅限于九連環的構造、解法規則以及遞推關系的推導.在平時的教學中，教師幾乎沒有組織對“九連環”進行探究.但在選修課的開設過程中，“九連環”可以作為我們的一個首選內容.在這節課的教學過程中教師努力營造良好的探究氛圍，通過介紹九連環在中國的發展史和視頻演示，激發學生的好奇心和斗志；鼓勵學生通過合作、體驗、實踐、討論等方式，讓學生能夠在玩中自主解決問題，在游戲中得到成功的喜悅.根據學生的認知水平，根據課程標準要求，仔細分析教材，深入挖掘數學內部的聯系.從而有效地利用好教材，活用教材，這也是實現選修課是必修課的拓展與延伸的重要途徑.

綜上所述，“觀念是行為的先導”，數學教育不只是給學生數學知識，更不是為了應付高考，教師要著眼于學生的長遠發展，注重培養學生數學地思考問題、解決問題的能力.

【參考文獻】

[1]王尚志.普通高中選課與學習指南（數學）[M].北京：北京大學出版社，2006.

[2]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3]高志雄.探究高中數學選修課程的實施[J].中學數學，2011（10）.