你會證明圓的面積公式嗎

冉幕新

摘 要：對于每一位高中學生來說，圓的面積公式再熟悉不過了，甚至有的學生能夠倒背如流。但若是要證明這個公式，可能就不是每位學生都能辦到。

關鍵詞：高中數學；圓；面積公式；證明

那么，究竟怎么證明圓的面積公式呢？下面，請先看習題：求半徑是R的圓的內接正n邊形的面積。（人教版（必修5）P20頁A組第12題）

解：如圖所示，扇形AOB的圓心角∠AOB=■，S△ABC=■R2sin■

∴S正n邊形=■nR2sin■

這就是圓的內接正n邊形的面積。

可見，當n的值不斷增大時△ABC的面積無限接近扇形AOB的面積。正n邊形的面積也就越接近圓的面積。

即：圓面積S=■■R2sin■

設x=■，則S=■■×2πR2■=πR2

∵■■=1 ∴S圓=πR2

另證：作圓的內接正n邊形（假設n為偶數），將兩個小扇形拼湊在一起，近似的形成一個小長方形，當n無限增大時，小長方形的面積就無限接近圓的面積。圓的半徑相當于小長方形的長，小扇形的弧長相當于小長方形的寬。于是：

∵l弧■ ∴S小=■×R ∴S=■×R×■=πR2

可見，方法一是利用極限思想推導出來的，是把圓平分成若干等分，得到若干個小扇形，分的份數越多，這些小扇形就越接近三角形，扇形的半徑就越接近三角形的高，從而得到圓的面積公式。而方法二是把圓平分成偶數等份，將這些小扇形兩部分進行對拼，就拼成了一個長方形，通過求長方形的面積而得到圓的面積公式。兩種方法各有特點，是中學階段常見的推導方法。

（作者單位 重慶酉陽一中）

？誗編輯 董慧紅

摘 要：對于每一位高中學生來說，圓的面積公式再熟悉不過了，甚至有的學生能夠倒背如流。但若是要證明這個公式，可能就不是每位學生都能辦到。

關鍵詞：高中數學；圓；面積公式；證明

那么，究竟怎么證明圓的面積公式呢？下面，請先看習題：求半徑是R的圓的內接正n邊形的面積。（人教版（必修5）P20頁A組第12題）

解：如圖所示，扇形AOB的圓心角∠AOB=■，S△ABC=■R2sin■

∴S正n邊形=■nR2sin■

這就是圓的內接正n邊形的面積。

可見，當n的值不斷增大時△ABC的面積無限接近扇形AOB的面積。正n邊形的面積也就越接近圓的面積。

即：圓面積S=■■R2sin■

設x=■，則S=■■×2πR2■=πR2

∵■■=1 ∴S圓=πR2

另證：作圓的內接正n邊形（假設n為偶數），將兩個小扇形拼湊在一起，近似的形成一個小長方形，當n無限增大時，小長方形的面積就無限接近圓的面積。圓的半徑相當于小長方形的長，小扇形的弧長相當于小長方形的寬。于是：

∵l弧■ ∴S小=■×R ∴S=■×R×■=πR2

可見，方法一是利用極限思想推導出來的，是把圓平分成若干等分，得到若干個小扇形，分的份數越多，這些小扇形就越接近三角形，扇形的半徑就越接近三角形的高，從而得到圓的面積公式。而方法二是把圓平分成偶數等份，將這些小扇形兩部分進行對拼，就拼成了一個長方形，通過求長方形的面積而得到圓的面積公式。兩種方法各有特點，是中學階段常見的推導方法。

（作者單位 重慶酉陽一中）

？誗編輯 董慧紅

摘 要：對于每一位高中學生來說，圓的面積公式再熟悉不過了，甚至有的學生能夠倒背如流。但若是要證明這個公式，可能就不是每位學生都能辦到。

關鍵詞：高中數學；圓；面積公式；證明

那么，究竟怎么證明圓的面積公式呢？下面，請先看習題：求半徑是R的圓的內接正n邊形的面積。（人教版（必修5）P20頁A組第12題）

解：如圖所示，扇形AOB的圓心角∠AOB=■，S△ABC=■R2sin■

∴S正n邊形=■nR2sin■

這就是圓的內接正n邊形的面積。

可見，當n的值不斷增大時△ABC的面積無限接近扇形AOB的面積。正n邊形的面積也就越接近圓的面積。

即：圓面積S=■■R2sin■

設x=■，則S=■■×2πR2■=πR2

∵■■=1 ∴S圓=πR2

另證：作圓的內接正n邊形（假設n為偶數），將兩個小扇形拼湊在一起，近似的形成一個小長方形，當n無限增大時，小長方形的面積就無限接近圓的面積。圓的半徑相當于小長方形的長，小扇形的弧長相當于小長方形的寬。于是：

∵l弧■ ∴S小=■×R ∴S=■×R×■=πR2

可見，方法一是利用極限思想推導出來的，是把圓平分成若干等分，得到若干個小扇形，分的份數越多，這些小扇形就越接近三角形，扇形的半徑就越接近三角形的高，從而得到圓的面積公式。而方法二是把圓平分成偶數等份，將這些小扇形兩部分進行對拼，就拼成了一個長方形，通過求長方形的面積而得到圓的面積公式。兩種方法各有特點，是中學階段常見的推導方法。

（作者單位 重慶酉陽一中）

？誗編輯 董慧紅