不等式常見錯例及成因剖析

嚴建萍

〔關鍵詞〕 數學教學;不等式;錯例;剖析

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2014）20—0119—01

在高中數學教學階段，不等式是形式上比較靈活，內容上比較豐富的一章節，同時也是學生作業中出現問題較多的章節.本文將學生作業中出現的常見錯誤及其成因，歸納分析如下.

一、對字母之間的聯系缺乏足夠的認識，使字母范圍擴大

例1 已知函數f（x）=ax2+bx，滿足1?f（-1）?2，2?f（1）?4，求f（-2）的范圍.

錯解： 由f（x）=ax2+bx，得1?a-b?2 （1）

2?a+b?4 （2）

由（1）+（2）得3?2a?6.

由（2）-（1），得1?2b?2，

又由f（-2）=4a-2b，所以

即4?f（-2）?11.

錯因： 由于a與b是互相聯系、相互制約的，在求解這類未知數相關聯問題的范圍時，多次使用不等式相加的性質，會導致所求變量的范圍改變，出現錯誤.

正解： 由f（-1）=a-b，f（1）=a+b，

可設f（-2）=mf（-1）+nf（1），則m（a-b）+n（a+b）=4a-2b，

∴m+n=4

-m+n=-2?m=3

n=1∴f（-2）=3f（-1）+f（1），

∵1?f（-1）?2，2?f（1）?4，

∴5?f（-2）?10.

二、對一元二次不等式中二次項系數的符號缺乏足夠的重視，不能做到準確無誤

例2 已知不等式ax2+bx+c?0的解集為x

|-?x?2，則不等式cx2+bx+a<0的解集為（ ）

A.x|-2

B.x|x<-2或x>

C.x|-3

D.x|x<-3或x>

錯解： 由題意知，-、2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，因此由根與系數的關系得-+2=-，（-）×2=，∴b=-a，c=-a.

∴不等式cx2+bx+a<0可化為-ax2-ax+a<0，

即x2+x-1>0，解得x<-3或x>，故選D.

錯因： 由于對一元二次不等式解集的意義理解不夠，故忽視了對a、b、c符號的判斷.根據給出的解集，除知道-和2是方程ax2+bx+c=0的兩根外，還應知道a<0，然后通過根與系數的關系進一步求解.

正解： 由于不等式ax2+bx+c?0的解集為x

|-?x?2，可知a<0，且-、2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，

∴-+2=-，（-）×2=，∴b=-a，c=-a.

∴不等式cx2+bx+a<0可化為-ax2-ax+a<0.

∵a<0，∴x2+x-1<0，解得-3

∴所求解集為x|-3

，選C.

三、對基本不等式中結論成立的條件，缺乏足夠的重視，導致結果不正確

例3 求函數y=的最值.

錯解： y===13+x+?13+2=25，當且僅當x=，即x=±6時取等號，所以當x=±6時，y的最小值為25，此函數沒有最大值.

錯因： 上述解題過程中應用了基本不等式，卻忽略了應用基本不等式求最值時的條件兩個數都應大于零，因而導致錯誤.因為函數y=的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），所以必須對x的正負加以分類討論.

正解： （1）當x>0時，y=13+x+?13+2=25，當且僅當x=，即x=6時取等號.所以當x=6時，ymin=25.

（2）當x<0時，-x>0，->0，（-x）+

-?2=12，

∴y=13-（-x）+

-?13-12=1.當且僅當-x=-，即x=-6時取等號.所以當x=-6時，ymax=13-12=1.

編輯：謝穎麗