納威—斯托克斯（N—S）方程推導(dǎo)的專題教學(xué)改革探索

吳磊 馬孝義

【摘要】水力學(xué)是一門技術(shù)基礎(chǔ)科學(xué)，它是力學(xué)的一個分支。N-S（Navier-Stokes）方程是水力學(xué)課程的重要內(nèi)容，是聯(lián)系本科生水力學(xué)與研究生高等流體力學(xué)課程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。但現(xiàn)實授課過程中經(jīng)常聽到學(xué)生反映很難理解N-S方程，并且覺得沒有應(yīng)用價值，原因是本科教學(xué)中沒有用其做過習(xí)題。因此，為了更好地讓學(xué)生理解N-S方程的原理，掌握方程的推導(dǎo)過程，我們對此開展專題性教學(xué)改革探索，進(jìn)而推進(jìn)水力學(xué)重、難點的教學(xué)改革與創(chuàng)新，使學(xué)生更愿意學(xué)，更容易懂，更能真正理解和應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】水力學(xué) N-S方程 研究型本科 專題教學(xué) 教學(xué)探索

【中圖分類號】G642.0 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）11 -0060-02

水力學(xué)是高等工科院校水利、土木、環(huán)境等諸多專業(yè)都需要掌握的一門重要技術(shù)基礎(chǔ)課，是學(xué)生專業(yè)能力形成與未來職業(yè)發(fā)展必不可少的依托[1]。水力學(xué)的任務(wù)主要是研究液體（主要是水）的平衡和機械運動規(guī)律及其工程應(yīng)用[2]，是一門既有較強理論性又有較強工程實際意義的課程，具有理論推導(dǎo)復(fù)雜，概念多且易混淆特點[3]。另外，水力學(xué)具有對學(xué)生的高等數(shù)學(xué)、大學(xué)物理以及綜合分析問題的能力要求較高的特點[4]。作為專業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)，它不僅為后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)提供理論基礎(chǔ)，而且注重理論聯(lián)系實際[5]。比如用于描述粘性不可壓縮流體動量守恒的納維-斯托克斯方程（N-S方程），是不可壓縮流體動力學(xué)最有用的一組方程之一，也是學(xué)習(xí)高等流體力學(xué)、計算流體力學(xué)等課程的重要基礎(chǔ)[6]。N-S方程可用于描述與分析大量對學(xué)術(shù)和經(jīng)濟有用現(xiàn)象的物理過程，包括模擬管道中的水流、翼型周圍的氣流、污染效應(yīng)的分析、電站的設(shè)計、天氣、洋流、星系中恒星的運動、飛行器和車輛的設(shè)計、血液循環(huán)的研究等[7]。

因此，考慮到N-S方程在上述專業(yè)領(lǐng)域本科教學(xué)過程中的重要地位，本文從專題教學(xué)的角度積極探索本科生容易接受的N-S方程推導(dǎo)方法，把握水力學(xué)研究型本科教學(xué)內(nèi)涵，著力提升學(xué)生的理論基礎(chǔ)和實踐能力，為學(xué)生創(chuàng)新精神和研究能力的培養(yǎng)提供可靠支撐。

一、液體運動微分方程的推導(dǎo)過程

液體運動微分方程（又稱N-S方程）是水動力學(xué)的基礎(chǔ)。目前，在《水力學(xué)》教材中，推導(dǎo)N-S方程的方法很多，本文按照由平衡到運動、由理想到實際的專題教學(xué)思路推導(dǎo)N-S方程，幫助學(xué)生牢固掌握方程的意義。

（一）液體平衡微分方程式

在靜止液體內(nèi)，任取一點M，該點壓強為p（x，y，z），以M為中心做微元直角六面體，正交的三個邊分別與坐標(biāo)軸平行，長度為dx，dy，dz。微元六面體靜止，各方向的作用力平衡（圖1），以y方向為例，對其進(jìn)行受力分析，對表面力取泰勒（Taylor）級數(shù)展開式的前兩項，列y方向表面力與質(zhì)量力的平衡方程 ，

上式即為液體平衡微分方程，是瑞士數(shù)學(xué)家和力學(xué)家歐拉于1755年導(dǎo)出的，又稱為歐拉平衡微分方程。方程表明，在靜止液體中各點單位質(zhì)量流體所受表面力和質(zhì)量力相平衡。

圖1 靜止液體平衡微元六面體y方向的應(yīng)力圖示

（二）理想液體運動微分方程

在運動的理想流體中，同樣取微小平行六面體如圖1所示，分析該微小六面體y方向的受力和運動情況。根據(jù)牛頓第二定律，建立y方向的動力學(xué)方程。

上式即理想流體運動微分方程式，又稱歐拉運動微分方程式。其物理意義：作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力與表面力之代數(shù)和等于其加速度。適用于無黏性流體，可壓縮流體及不可壓縮流體，恒定流及非恒定流。

（三）實際液體運動微分方程

在有粘性的實際液流中，不僅有壓應(yīng)力，還有切應(yīng)力存在，其表面力的方向不與作用面相垂直，可分解成相互正交的一個法向應(yīng)力和兩個切向應(yīng)力（圖2）。以y方向為例，進(jìn)行受力分析，質(zhì)量力可表示為，表面力中壓應(yīng)力和切應(yīng)力大小如圖2所示。

圖2 實際液流微元六面體各表面的應(yīng)力圖示

根據(jù)牛頓第二定律，同理可得x和z方向的分量式，將其整理后一并寫為：

式（6）即為以應(yīng)力形式表示的運動微分方程，簡稱應(yīng)力微分方程。

根據(jù)推導(dǎo)的粘性液體切應(yīng)力與壓應(yīng)力特性關(guān)系式，將應(yīng)力與變形率的關(guān)系式及不可壓縮液體連續(xù)性方程代入方程式（6），并將加速度項展開，整理得沿x，y，z方向的方程：

式（7-9）即為不可壓縮液體運動微分方程。它是由納維（Navier）于1821年首先提出，后由斯托克斯（Stokes）于1845年完善而成，故稱為納維-斯托克斯方程，簡稱N-S方程。

二、分析與討論

在推導(dǎo)N-S方程的過程中，離不開與液體平衡微分方程和理想液體運動微分方程（又稱歐拉方程）進(jìn)行對比分析。在靜止液體中，由于液體質(zhì)點間沒有相對運動，液體的粘滯性不起作用，質(zhì)點只承受壓應(yīng)力即靜水壓強；在運動的理想液體中，由于沒有粘滯性，雖有質(zhì)點的相對運動（邊界處），也不會產(chǎn)生切應(yīng)力，只產(chǎn)生由于液體運動產(chǎn)生的壓應(yīng)力即動水壓強；在實際液流中，由于粘性的存在，不僅有壓應(yīng)力，而且有切應(yīng)力，其表面力的方向不與作用面相垂直，可以分解成一個法向應(yīng)力（正應(yīng)力）和兩個切向應(yīng)力，由應(yīng)力與變形率的關(guān)系導(dǎo)出實際液體運動微分方程。

基于此，三個液體微分方程之間的關(guān)系可以概括為：（1）先推導(dǎo)液體平衡微分方程、其次理想液體運動微分方程、再次實際液體的運動微分方程，通過對比分析，加深對三個基本方程的理解；或（2）先推導(dǎo)實際液體的運動微分方程，考慮到理想液體中不存在粘性，把實際液體的微分方程簡化得到理想流體的運動微分方程，然后根據(jù)液體靜止或相對平衡條件，導(dǎo)出液體平衡微分方程，最后進(jìn)行對比分析?？傊?，無論采用哪種思路進(jìn)行專題講授，目的都是使學(xué)生更容易懂，更能真正掌握和應(yīng)用。

上述專題教學(xué)探索可以加深學(xué)生對三組方程關(guān)系的理解，但還很難感受到N-S方程的用處，也很難理解它在課程中的基礎(chǔ)地位。可以考慮用推導(dǎo)的納維-斯托克斯方程求解圓管層流的流速分布、流量、平均流速和水頭損失，以及明渠層流流速的拋物線分布規(guī)律，同時還可以應(yīng)用理想流體運動微分方程求解等角速旋轉(zhuǎn)的圓柱形容器壓強的旋轉(zhuǎn)拋物面分布規(guī)律。因此，為了更好地讓同學(xué)們理解和掌握方程的原理和用途，我們應(yīng)當(dāng)對此加以思索，給學(xué)生必要的引導(dǎo)和解釋。

三、結(jié)論

針對水力學(xué)課程中N-S方程推導(dǎo)過程復(fù)雜、具有較強的數(shù)學(xué)物理思想等特點，本文就方程的推導(dǎo)過程對水力學(xué)專題教學(xué)改革進(jìn)行了探索性的研究。主要結(jié)論如下：

（一）液體平衡微分方程式、理想液體運動微分方程式和實際液體運動微分方程式具有各自的推導(dǎo)條件和特點，但也有較強相關(guān)性，可采用類比和專題性教學(xué)的方法進(jìn)行講授，以幫助學(xué)生理解和應(yīng)用。

（二）無論是采用先推導(dǎo)液體平衡微分方程、其次理想液體運動微分方程、再次實際液體運動微分方程的順序，還是反之順序，只要能使學(xué)生掌握三組方程之間的區(qū)別與聯(lián)系，就能使學(xué)生達(dá)到對此專題真正理解和應(yīng)用的目的，實現(xiàn)水力學(xué)專題教學(xué)改革的目標(biāo)。

（三）為了克服學(xué)生反映方程沒有應(yīng)用價值的不足，可以舉例說明應(yīng)用N-S方程求解管流和明渠流流速分布規(guī)律，還可以應(yīng)用理想流體運動微分方程求解等角速旋轉(zhuǎn)的圓柱形容器壓強的分布規(guī)律，并進(jìn)行對比分析。

參考文獻(xiàn)：

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基金項目：教育部博士點基金（20130204120034），中央高校基本科研業(yè)務(wù)費（QN2013047）