納威—斯托克斯（N—S）方程推導的專題教學改革探索

吳磊 馬孝義

【摘要】水力學是一門技術基礎科學，它是力學的一個分支。N-S（Navier-Stokes）方程是水力學課程的重要內容，是聯系本科生水力學與研究生高等流體力學課程的關鍵環節。但現實授課過程中經常聽到學生反映很難理解N-S方程，并且覺得沒有應用價值，原因是本科教學中沒有用其做過習題。因此，為了更好地讓學生理解N-S方程的原理，掌握方程的推導過程，我們對此開展專題性教學改革探索，進而推進水力學重、難點的教學改革與創新，使學生更愿意學，更容易懂，更能真正理解和應用。

【關鍵詞】水力學 N-S方程 研究型本科 專題教學 教學探索

【中圖分類號】G642.0 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）11 -0060-02

水力學是高等工科院校水利、土木、環境等諸多專業都需要掌握的一門重要技術基礎課，是學生專業能力形成與未來職業發展必不可少的依托[1]。水力學的任務主要是研究液體（主要是水）的平衡和機械運動規律及其工程應用[2]，是一門既有較強理論性又有較強工程實際意義的課程，具有理論推導復雜，概念多且易混淆特點[3]。另外，水力學具有對學生的高等數學、大學物理以及綜合分析問題的能力要求較高的特點[4]。作為專業技術基礎，它不僅為后續專業課學習提供理論基礎，而且注重理論聯系實際[5]。比如用于描述粘性不可壓縮流體動量守恒的納維-斯托克斯方程（N-S方程），是不可壓縮流體動力學最有用的一組方程之一，也是學習高等流體力學、計算流體力學等課程的重要基礎[6]。N-S方程可用于描述與分析大量對學術和經濟有用現象的物理過程，包括模擬管道中的水流、翼型周圍的氣流、污染效應的分析、電站的設計、天氣、洋流、星系中恒星的運動、飛行器和車輛的設計、血液循環的研究等[7]。

因此，考慮到N-S方程在上述專業領域本科教學過程中的重要地位，本文從專題教學的角度積極探索本科生容易接受的N-S方程推導方法，把握水力學研究型本科教學內涵，著力提升學生的理論基礎和實踐能力，為學生創新精神和研究能力的培養提供可靠支撐。

一、液體運動微分方程的推導過程

液體運動微分方程（又稱N-S方程）是水動力學的基礎。目前，在《水力學》教材中，推導N-S方程的方法很多，本文按照由平衡到運動、由理想到實際的專題教學思路推導N-S方程，幫助學生牢固掌握方程的意義。

（一）液體平衡微分方程式

在靜止液體內，任取一點M，該點壓強為p（x，y，z），以M為中心做微元直角六面體，正交的三個邊分別與坐標軸平行，長度為dx，dy，dz。微元六面體靜止，各方向的作用力平衡（圖1），以y方向為例，對其進行受力分析，對表面力取泰勒（Taylor）級數展開式的前兩項，列y方向表面力與質量力的平衡方程 ，

上式即為液體平衡微分方程，是瑞士數學家和力學家歐拉于1755年導出的，又稱為歐拉平衡微分方程。方程表明，在靜止液體中各點單位質量流體所受表面力和質量力相平衡。

圖1 靜止液體平衡微元六面體y方向的應力圖示

（二）理想液體運動微分方程

在運動的理想流體中，同樣取微小平行六面體如圖1所示，分析該微小六面體y方向的受力和運動情況。根據牛頓第二定律，建立y方向的動力學方程。

上式即理想流體運動微分方程式，又稱歐拉運動微分方程式。其物理意義：作用在單位質量流體上的質量力與表面力之代數和等于其加速度。適用于無黏性流體，可壓縮流體及不可壓縮流體，恒定流及非恒定流。

（三）實際液體運動微分方程

在有粘性的實際液流中，不僅有壓應力，還有切應力存在，其表面力的方向不與作用面相垂直，可分解成相互正交的一個法向應力和兩個切向應力（圖2）。以y方向為例，進行受力分析，質量力可表示為，表面力中壓應力和切應力大小如圖2所示。

圖2 實際液流微元六面體各表面的應力圖示

根據牛頓第二定律，同理可得x和z方向的分量式，將其整理后一并寫為：

式（6）即為以應力形式表示的運動微分方程，簡稱應力微分方程。

根據推導的粘性液體切應力與壓應力特性關系式，將應力與變形率的關系式及不可壓縮液體連續性方程代入方程式（6），并將加速度項展開，整理得沿x，y，z方向的方程：

式（7-9）即為不可壓縮液體運動微分方程。它是由納維（Navier）于1821年首先提出，后由斯托克斯（Stokes）于1845年完善而成，故稱為納維-斯托克斯方程，簡稱N-S方程。

二、分析與討論

在推導N-S方程的過程中，離不開與液體平衡微分方程和理想液體運動微分方程（又稱歐拉方程）進行對比分析。在靜止液體中，由于液體質點間沒有相對運動，液體的粘滯性不起作用，質點只承受壓應力即靜水壓強；在運動的理想液體中，由于沒有粘滯性，雖有質點的相對運動（邊界處），也不會產生切應力，只產生由于液體運動產生的壓應力即動水壓強；在實際液流中，由于粘性的存在，不僅有壓應力，而且有切應力，其表面力的方向不與作用面相垂直，可以分解成一個法向應力（正應力）和兩個切向應力，由應力與變形率的關系導出實際液體運動微分方程。

基于此，三個液體微分方程之間的關系可以概括為：（1）先推導液體平衡微分方程、其次理想液體運動微分方程、再次實際液體的運動微分方程，通過對比分析，加深對三個基本方程的理解；或（2）先推導實際液體的運動微分方程，考慮到理想液體中不存在粘性，把實際液體的微分方程簡化得到理想流體的運動微分方程，然后根據液體靜止或相對平衡條件，導出液體平衡微分方程，最后進行對比分析。總之，無論采用哪種思路進行專題講授，目的都是使學生更容易懂，更能真正掌握和應用。

上述專題教學探索可以加深學生對三組方程關系的理解，但還很難感受到N-S方程的用處，也很難理解它在課程中的基礎地位。可以考慮用推導的納維-斯托克斯方程求解圓管層流的流速分布、流量、平均流速和水頭損失，以及明渠層流流速的拋物線分布規律，同時還可以應用理想流體運動微分方程求解等角速旋轉的圓柱形容器壓強的旋轉拋物面分布規律。因此，為了更好地讓同學們理解和掌握方程的原理和用途，我們應當對此加以思索，給學生必要的引導和解釋。

三、結論

針對水力學課程中N-S方程推導過程復雜、具有較強的數學物理思想等特點，本文就方程的推導過程對水力學專題教學改革進行了探索性的研究。主要結論如下：

（一）液體平衡微分方程式、理想液體運動微分方程式和實際液體運動微分方程式具有各自的推導條件和特點，但也有較強相關性，可采用類比和專題性教學的方法進行講授，以幫助學生理解和應用。

（二）無論是采用先推導液體平衡微分方程、其次理想液體運動微分方程、再次實際液體運動微分方程的順序，還是反之順序，只要能使學生掌握三組方程之間的區別與聯系，就能使學生達到對此專題真正理解和應用的目的，實現水力學專題教學改革的目標。

（三）為了克服學生反映方程沒有應用價值的不足，可以舉例說明應用N-S方程求解管流和明渠流流速分布規律，還可以應用理想流體運動微分方程求解等角速旋轉的圓柱形容器壓強的分布規律，并進行對比分析。

參考文獻：

[1] 鄭志宏， 李尋， 劉金輝， 王學剛. “三合一”分層教學模式在水力學教學中的應用[J]. 高等建筑教育， 2007， 16（3）： 79-81.

[2] 呂宏興， 裴國霞， 楊玲霞. 水力學（第二版）[M]. 北京： 中國農業出版社， 2011.

[3] 旦增平措. 水力學教學改革初探[J].中國校外教育， 2011（1）.

[4] 王黎軍.《水力學》課程教學改革的實踐與探討[J]. 中國科教創新導刊， 2012（4）.

[5] 孟憲萌. 關于“水力學”課程的教學體會及教改方案的探討[J]. 中國地質教育， 2011，（4）.

[6] 李玉柱， 賀五洲. 工程流體力學（上冊）[M]. 北京：清華大學出版社. 2006.

[7] 歐特爾著， 朱自強， 錢翼稷， 李宗瑞譯： 普朗特流體力學基礎.北京： 科學出版社， 2008.

基金項目：教育部博士點基金（20130204120034），中央高校基本科研業務費（QN2013047）