HPM視角下向量組線性相關性概念的教學設計

項晶菁

（西安建筑科技大學 理學院，陜西 西安 710055）

HPM視角下向量組線性相關性概念的教學設計

項晶菁

（西安建筑科技大學 理學院，陜西 西安 710055）

摘要：將線性代數的知識與體系置于HPM的視域之下，可以揭示其知識生成的歷史情境與認識論的難點.這對于向量組的線性相關性的教學設計是大有裨益的.只有充分利用相關數學史和認識論的分析，才能突破學生的認知和文化心理的阻礙，使線性代數教學獲得邏輯性與歷史性的有機融合.

關鍵詞：HPM；線性代數；線性相關；包含相關；教學設計

線性代數在全世界范圍內不但被認為是高等數學中一門重要的基礎課，而且在物理、化學和通信等其他學科中應用性極為廣泛.它的歷史文化內涵是極其豐富的，而通常的教材都只是注重知識的邏輯結構，并不去理會知識的形成過程和文化背景，荷蘭大數學教育家弗賴登塔爾（H. Freudenthal）稱之為“把火熱的發明變成了冷冰冰的美麗”[1]，英國著名心理學家科斯特（A. Koestler）將之抨擊為“將人類的探索過程歸結到一堆干巴巴的定理”[2].線性代數高度的抽象性和嚴密的符號體系都遠遠超出了學生已有的經驗，所以即使它的內容比起另一門重要的基礎課——高等數學要少得多，但還是有很多本科生覺得：這門課難于理解.尤其學生接觸到線性代數的難點，如矩陣的秩和向量組的線性相關性這一部分時，感覺概念、定理太多，理論性太強，理解起來有些吃力.如何通過給出符合學生認知發展規律的教學設計，從而達到幫助學生抓住重點、突破難點、激發學生學習線性代數的興趣、提高教學質量呢？HPM為這一問題提供了新的視角.

20世紀70年代，HPM成為一個獨立的學術研究領域，當今已成為國際數學教育的新思潮之一[3].國內學術界直到本世紀初才開始普遍關注HPM領域.隨著HPM研究的深入開展，學術界日益注重數學史融入數學教學的可操作性、具體方法的探討.但基于HPM的教學設計與實踐探索還很少，即便對于了解HPM思想的大學數學教師來說，數學史融入數學教學仍然不是一件容易的事.有啟發的思想并不能幫助教師解決如何構造教學環節的實踐問題[4~7].數學史知識與數學教學的具體結合，一直是HPM學者們的研究目標.1995年在美國國家科學基金資助下成立的、由美國數學協會主管的數學史及其在教學中的運用研究所（IHMT）的重要工作之一是“歷史模塊項目”（Historical Module Project），由HPM學者V. Katz和K. D. Michalowicz領導，來自大學、中學的約三十名數學教師參加，分下列模塊進行融入數學史的教學設計：阿基米德、組合數學、指數與對數、函數、幾何證明、長度、面積和體積、線性方程、負數、多項式、統計、三角等[8].在我國，HPM視角下的大學數學教學設計尚不多見.實際上，教學是一個系統工程，要想實現數學史助益數學教學的目的，在教學設計時，需要從HPM的角度綜合數學史、邏輯及認識論等諸多教學要素的關系，恰當地融入而不是簡單地加入.

1　HPM視角的理論分析

則稱向量組A是線性相關的，否則稱它線性無關[9].

運用集合論的語言，可將線性相關與無關定義為兩個邏輯上相對立的概念.在大多數工科院校使用的同濟版教材中，都將這部分內容放在“向量組的線性相關性”這一章的第二節.也就是，在第一節介紹“向量組及其線性組合”概念后，第二講開篇就給出了“線性相關與線性無關”的正式定義.雖然學生通過教師的講解、大量的練習可以解決諸如“這個向量組是否線性相關或無關？”等問題，但是學生普遍覺得這組概念抽象并難以理解.從很多相關的研究工作中可以發現：世界上很多國家的學生都存在類似的困難[10].可以從HPM的視角來分析其原因.

1.1數學史的分析

著名的數學家、數學史家M·克萊因（M. Kline），十分強調數學史對數學教育的價值.他認為：每一位中學和大學數學教師都應該知道數學史有許多理由，但最重要的一條理由或許是數學史是教學的指南[11].在M·克萊因眼里數學史的重要程度可謂無以復加.他堅信歷史上數學家曾經遇到過的困難，在課堂上學生同樣會遇到，因而歷史對于課堂教學具有重要的借鑒作用.M·克萊因指出：數學絕對不是課程中或教科書里所指的那種膚淺觀察和尋常詮釋，換句話說，它并不僅僅是從明顯敘述的公理推演出無庸置疑的結論[12].

歷史上“線性相關與線性獨立”的概念最早出現在研究求解線性方程組的內容之中.1750年，在歐拉的名為Surune contradiction apparentedans la doctrine des lignescourbes的文章中，為了解決克萊姆悖論，第一次討論了方程組中方程間的相關性.但當時歐拉（L. Euler）提出的實際上是“包含相關（inclusive dependence）”而非現代的“線性相關”[13].在18世紀初，大家普遍認為“一個方程可以解出一個未知數”是一個正確的命題.然而歐拉在討論克萊姆悖論時指出，這一命題應該有嚴格的限制條件.為了說明這一點歐拉分別針對兩個、3個、4個方程構成的方程組舉出了反例，通過求解過程向人們展示了方程組中的自由未知數及方程組沒有唯一解的情形.多里耶（J. L. Dorier）在他的文章中將歐拉的定義稱作“包含相關”[13]（inclusive dependence），也就是方程組中是否有多余的方程，如果有多余方程，這時稱方程組是線性相關的；否則，就稱該方程組線性無關.歐拉和其他數學家主要考慮的是關于“如何求解方程組”的問題，而不是將那些方程或向量組本身作為研究對象.歐拉用諸如comprised或contained等詞解釋“包含相關”的概念.這并不意味著歐拉沒有意識到從邏輯上看，“包含相關”與方程組中的方程之間存在著線性相關性是等價的.但是，在解線性方程組過程中，“包含相關”的概念更加一致和有效.然而，進一步發展是很困難的.事實上，“包含相關”的概念僅僅局限于求解方程組的內容中而不能應用于其他學科，例如n元組中.在這篇文章中，他還第一次提出了關于“秩”的概念的論點.但是，大約又經歷了一個多世紀才使得“秩”的概念逐漸成熟起來.

直到1875年，德國數學家弗羅貝尼烏斯（Frobenius）在其關于普法夫問題的研究中才跨出決定性的一步.在關于線性系統的一節中，他給出了齊次線性方程組個解線性相關的定義.然而，現代教科書中的公理化定義方法大約到1930年才盛行，并且花了很長時間才被數學家們所接受.可以想象這樣的概念直接作為“向量組線性相關性”這一講的開頭，讓學生理解也是很困難的.知名學者吳大任的《博洽內容獨特風格——<高觀點下的初等數學>導讀》中指出：“克萊因反復強調的一個教育原則是按照學生的認知規律（包括年齡及成熟程度）進行教學……他講數學歷史，是因為他認為學生對數學的認識，在某個意義上是與人類對數學認知的歷史過程相對應的.”[14]

綜上，在教學中，高度形式化或公理化的概念不該被過早的介紹和利用.一個概念的引入必須以了解歷史和參考學生已有知識為基礎.在HPM視角下做教學設計時，雖然我們教學內容有時會涉及一些歷史事實，但并不需要直接給學生應用歷史的教科書.歷史的分析不但可以為教師設計如何引入概念提供一些靈感，而且還可以幫助教師理解和分析學生的錯誤.

1.2認識論的分析

R. Ousman曾對即將進入大學學習的學生們進行過一次測試.他想在講授向量空間理論之前，通過這次測試了解學生在線性方程組環境中，對線性相關概念的認識.他給出了一些線性方程組的例子并且問學生這些線性方程組是否獨立.結果表明，學生通過解方程組的方法來判別而很少提及方程之間的線性關系.換句話說，他們很少用研究向量組中向量之間關系的方法來判定，而大多數時間是用解方程組時方程消失或方程組中剩余未知數的個數來判斷.他們的“線性相關或獨立”的概念是與歐拉的“包含相關”相類似的概念[13].這并不奇怪，這些學生像歐拉和他的那個時代的數學家一樣，只是關心解方程組.因此，“包含相關”對于他們是更加熟悉的.同樣，在學生學習線性代數前，通過訪談了解到：中國學生在進入大學時通常已經會非常熟練地用高斯消元法解線性方程組.他們也只有多余方程的概念；當他們學習正式的“向量組線性相關”概念時，應該了解這一概念與自己先前概念之間的關系.否則，他們可能并不清楚這實質上是同一個概念.進一步，為了幫助學生更好的理解正式的概念，建立與先前知識一種良好的直覺基礎是非常重要的.然而，學生還必須理解新概念的作用，并產生改進該概念的想法.M·克萊因從數學歷史中獲得了諸多啟示，如：任何一門學科最初都是通過直觀的方法建立起來的，每一位數學家都是直觀地思考問題，然后才用演繹的形式，用文字、數學符號和普通的邏輯來表述他的論點.因此，數學理解乃是通過直觀的方法來獲得的，而邏輯的陳述充其量不過是學習的輔助工具.M·克萊因因而提出如下課程原理：必須將每一種數學思想或方法的直觀意義從直觀上清楚地講給學生[15].著名數學家、數學教育家弗賴登塔爾也曾倡導：“我們不應該完全遵循發明者的歷史足跡，而應是經過改良、同時有更好引導的歷史過程.”也就是他所倡導的“再創造”（reinvention）.應該強調這一點：“再創造”的核心在于“再”；這也就是指，教師在教學中不應該簡單地去重復當年的真實歷史，而應致力于歷史的重建或重構（reconstruction）[16].

在“線性相關（獨立）”的概念教學中，學生必須意識到正式概念的統一和形成的自然性.因此教師必須創設教學情境去引導學生借鑒他們先前的知識去反思、認識概念的本質.教師必須在考慮到特殊教學環境的約束下，重新建立一個在認識論指導下的引入概念的方法.

例如，在“線性相關（獨立）”概念教學設計中，可以通過創設教學情境：讓學生回憶在三維向量空間中兩個向量共線和三個向量共面，由他們得出向量間的解析式，再推廣到n維向量空間中，就可以得到“向量組線性相關性”的定義.中國學生在進入大學時通常已經會用高斯消元法解線性方程組.因此可以在教線性代數初期，讓他們回憶這種方法，并將之作為一種工具及研究線性方程組性質的一種手段.事實上，高斯消去法是一個更加技術性的工具而且是一個顯示“包含相關”與“線性相關”之間聯系的更好的方法，因為等價方程（在方程組線性相關的情況下）是通過對原方程組的一系列連續的線性變換而獲得.進一步，可以由問題“齊次線性方程組解集的大小和方程組中相關方程的數字之間有什么關系？”作為第一次從直覺上接近“秩”概念的引入方法.

總之，在線性相關（獨立）這一概念上，人們不可避免會遇到認識論上的障礙.在做教學設計時應引起特別關注.

“向量組的線性相關性”概念的教學設計，要本著統一學生已有直覺概念和正式概念為目的.在線性代數發展史中理解這一事實，對于建立“秩”和“二元性”概念是非常重要的.因此，即便是在低層次的理論中，形式概念的提出應該基于學生已有的直覺.教學設計的方法是盡量避免其直接出現，或至少使其在最后一個階段逐漸出現.正式概念應該能夠被學生劃歸到他們已有的知識體系中再提出，從而有利于學生理解和掌握.

2　教學設計

汪曉勤教授曾經將數學教學中運用數學史的方式歸結為以下4種：附加式；復制式；順應式及重構式[17].研究者在教學設計中，應用重構式（借鑒或重構知識的發生、發展歷史）來創設情境引出“向量組的線性相關性”概念，并在概念的深入反思階段運用復制式（直接采用歷史上的數學問題）為概念在線性方程組內容中找到實際背景.

以下是具體的教學設計：

2.1復習引入

在教學的初始環節中，讓學生先回憶上一節課學習的“向量組及其線性組合”的概念，以及一個向量能由一組向量線性表示及兩組向量可以相互線性表示的概念，即讓學生明確上一講實際上研究了一個向量與一組向量、兩個向量組之間的關系.并指出接下來將進一步研究一個向量組內在的關系.

2.2創設情境

在介紹向量組線性相關性概念之前，引導學生回憶在三維向量空間中關于兩個向量共線和3個向量共面的問題：

圖1　兩個向量共線

如圖2：若3個向量a1,a2,a3共面，必有一個向量可用其他向量來表示，不妨設a3=l1a1+l2a2，移項得l1a1+l2a2+(-1)a3=0，就是找到一組不全為零的數k1,k2,k3∈R ，使得k1a1+k2a2+k3a3=0.

圖2　3個向量共面

然后引導學生將上述推廣到n維向量空間，就引出了向量組線性相關的一個更為正式的定義：

給定向量組A：a1,a2,L,am，如果存在不全為零的數k1,k2,L,km∈R ，使得k1a1+k2a2+L+kmam=0，則稱向量組A是線性相關的.

由于從邏輯上看，線性相關與無關是相對立的兩個概念，因此正式的得到線性無關的定義僅僅是一個純粹的邏輯問題.即加上“否則稱它線性無關”就可以了.

這里研究者通過學生已有的關于三維空間中兩個向量共線及3個向量共面的幾何直觀結論，得到了一個非常直觀的定義：“一個向量關于其他向量是線性相關的當且僅當它是其他向量的線性組合.”（稱之為直覺定義）在沒有任何困難的情況下，提供了獨立向量組的定義為：一個向量組其中沒有任何一個向量是其他向量的一個線性組合.并且，通過移項，就可以得到正式定義的解析式.

2.3深入反思

從認識論的觀點來看，數學與其他科學認識過程一樣，遵循著“實踐—認識—再實踐”這個辯證唯物論的認識路線.因此在講解正式的定義后，可以回到引例，從三維向量空間中兩個向量線性相關就可以得到這兩個向量共線，3個向量線性相關就可以推出這3個向量共面.將之作為線性相關的幾何意義.最后應用類比的方法得到：在n維向量空間中，雖然已沒有相應的幾何直觀形象，仍然可以推出：向量組A：a1,a2,…,am是線性相關的當且僅當A中至少有一個向量是其他向量的線性組合.也就是將直覺定義作為正式定義的推論.

最后，講解文[10]中數學史的內容，即講述歐拉在求解以下兩個方程組時提出的方程組有多余方程、有自由未知數從而沒有唯一解.

兩個方程時歐拉所舉出的例子：

4個方程時歐拉所舉出的例子：

這個概念對于學生在他們直觀的背景下是非常好理解的.即：n個未知數的齊次線性方程組是否有多余方程的問題（回到了歐拉包含相關的定義）.將向量組的線性相關性在線性方程組的內容中找到了實際背景.

3　教學反饋與結論

數學史融入數學教學的有效性歸根結底要經過課堂實踐的檢驗.教學實踐后，研究者進行了相關的問卷調查，結果表明：87.4%的學生對數學史知識感興趣；95%的學生愿意了解數學史知識；89%的學生認同數學史融入數學教學.93%的學生覺得這節課的內容易于理解、掌握.課后，研究者對提前預習的學生進行了訪談：學生覺得經過這樣處理后這一節比較好理解.實踐證明，這個方法對于學生掌握線性相關與獨立的概念是有效的，進一步，學生甚至發現正式定義比直覺定義更加實用.因此正式定義是用于證明向量組線性相關性的實用方法.設想當需要檢驗3個向量u,v ,w獨立時.如果證明了u不是v和w的線性組合，仍然有可能u,v ,w向量線性相關.事實上，如果從證明一個向量不是其他向量的線性組合開始，當超過3個向量時將變的更加危險和麻煩.理論上說，如果應用直覺定義證明，人們需要驗證向量組中每一個向量都不是其他向量的線性組合.雖然有捷徑（可以驗證v,w是不共線的），但這需要學生對線性相關概念有很好的理解.如果運用正式的定義來證明，由于向量組中每個向量的地位是均等的，因此是一個實用且能夠有效防止錯誤的方式.當學生知道一些向量是線性相關的，也就知道其中至少有一個向量是其他向量的線性組合.

HPM視角下的教學設計，應該是一種藝術的再創造.教學內容是產品設計的基礎，數學史的知識是資源、寶藏，教師是教學設計者、藝術家.只有把對數學知識的邏輯分析、歷史分析和認知分析結合起來，通過學習單元的設計和實施，才能實現數學史的有機融入，才能達到突破教學難點，盡除師生藩籬.

［參 考 文 獻］

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[2]M Kline, Carl B. Boyer in Memoriam [J]. Historic Mathematics, 1976, (3): 387-394.

[3]汪曉勤，歐陽躍.HPM的歷史淵源教[J].數學育學報，2003，12（3）：24-27.

[4]朱鳳琴，徐伯華.數學史融入數學教學模式的國際研究與啟示[J].數學教育學報，2010，19（6）：22-25.

[5]呂世虎，曹春燕，葉蓓蓓.數學教育學學科建設三十年：回顧與反思[J].當代教育與文化，2014，（5）：55-59.

[6]王光明，佘文娟，宋金錦.基于NVivo10質性分析的高效數學學習心理結構模型[J].心理與行為研究，2014，（1）：74-79.

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[17]汪曉勤.HPM與初中數學教師的專業發展——一個上海的案例[J].數學教育學報，2013，22（1）：18-22.

[責任編校：陳雋]

Teaching Designs of Linear Dependence under the HPM Point of View

XIANG Jing-jing
(School of Science, Xi’an University of Architecture and Technology, Shanxi Xi’an 710055, China)

Abstract:Thispaper proposes a novel approach to teaching linear algebra under the HPM point of view. Such approach can reveal the difficulties of epistemology and their solutions in the context of historical events. It will benefit the teaching design of the linear dependence of vectors. We hope that, with the detailed instructions of the relevant mathematical history and the epistemological analysis, such teaching methodology can help break students’ cognitive and cultural psychological barriers and integrate the logic and history of the teaching of linear algebra.

Key words:HPM; linear algebra; linear dependence; inclusive dependence; teaching designs

作者簡介：項晶菁（1973—），女，浙江海寧人，講師，碩士，主要從事數學文化與數學教育研究.

基金項目：陜西省教育科學“十二五”規劃課題——工科院校進一步推進數學文化通識教育的實踐與研究（SGH140577）

收稿日期：2015-03-07

中圖分類號：G420

文獻標識碼：A

文章編號：1004-9894（2015）04-0057-04