淺析平面向量在高中數學解題中的應用

李懷琴

摘要：平面向量是中學數學中的重要組成部分，在中學數學課程中具有舉足輕重的作用。數學作為一門工具性學科，平面向量發揮著巨大的作用。它是連接代數和幾何的紐帶，在數學解題中有著廣泛的應用，本文主要闡述了平面向量在數學解題中的應用。

關鍵詞：高中數學 平面向量 應用技巧

【分類號】G633.6

數學是一門理論性和邏輯性很強的學科，數學的學習對大多數學生來說有著一定的難度。中學數學知識的構成包括代數和幾何兩大部分，它們之間并不是孤立存在的，知識之間有著緊密的聯系，包括代數和幾何兩大部分知識之間，也不是孤立存在的，平面向量這部分知識，既包括代數也反映著幾何關系，因此，平面向量是聯系代數和幾何的紐帶。平面向量在數學解題中發揮著重要作用，它可以簡化解題，因此，在數學教學中，教師要重視對學生平面向量知識的考察，引導學生牢固掌握向量知識，培養學生運用向量解決問題的能力和習慣，提高學生解題能力。但是學生容易受傳統教育的束縛和思維定式的影響，忽略利用向量解題的技巧。

一、 平面向量在平面幾何問題解決中的應用

平面幾何是高中數學的一部分，對于幾何的學習，要求學生要有熟練的解題技巧，巧妙的做出輔助線，甚至有些平面幾何證明過程繁瑣，學生普遍認為難學。為了解決學生遇到的困難，降低學生解題難度，在實際教學過程中，教師要找準平面幾何與平面向量之間的關系，幫助學生，將平面幾何問題轉化為利用向量知識來解決。平面幾何是圖形的集合，圖形可以看做是點的集合。然而，在向量知識的學習中，我們知道，向量可以用來表示平面中的點。因此，我們可以將幾何圖形看做是向量的集合，以向量為工具解決幾何問題，這樣有助于學生清晰的找到解題的思路，簡化繁瑣的證明過程，降低問題的難度。

1、 在矩形ABCD中，AB= AD，E為CD的中點，F在對角線BD上，且BF=2FD，試證：A、E、F三點共線。

證明：設 ， ，則 0，且 ， = + = （ + ）= ，又因為 ，則A、F、E三點共線。

總之，在解決部分平面幾何問題時，利用幾何知識需要學生具有一定的解題技巧，學會做輔助線或將圖形進行切割等，要求學生具備較高的解題能力。但是，向量知識在平面幾何中的運用，讓學生的思維更加模式化、規范化，找到了解決問題的捷徑，將幾何知識向量化，在解題中具有明顯的優勢，教師要引導學生多加運用，在解題中形成一種思維定勢。教學中我們在運用向量解決問題時，應該注意學生對問題進行分析，讓學生找到平面幾何與向量之間的關系，挖掘出其中的內在連接點。

二、 平面向量在函數、不等式問題解決中的應用

函數與不等式是中學數學的主干知識，平面向量這章看似獨立的知識，在與主干知識的匯合上有著緊密聯系。新課標下，教師要嘗試讓學生以向量為工具，來解決函數、不等式等知識，加強知識的融合，通過巧妙的轉化，讓學生將向量知識與函數、不等式知識巧妙的融合為一個有機整體。

2、求函數y= + 的值域。

利用向量知識解決問題，我們需要將函數變形為y=1. + . ，設 （1， ）， （ ， ），則y= cos< ， >，所以y=2cos< ， >， 在單位圓x +y =1（x>0，y>0）上運動， 與x軸正向夾角為 ，由圖象知，0 < ， > ，即所求函數的值域為 。

例3：利用向量知識解決不等式中的問題。

設a、b、c、d是實數，證明（a +b ）（c +d ） （ac+bd） 。

這是對柯西定理的證明，設 =（a，b）， =（c，d），則 =ac+bd， ，所以ac+bd ，所以，（a +b ）（c +d ） （ac+bd）

三、 平面向量在數列和三角函數問題解決中的應用

在平面向量中，它與數列知識沒有太多的交匯應用。但是，有的時候會把等差數列和等比數列的性質與向量共線的條件知識結合到一起，這樣能夠很好的解決數列問題；而在三角函數問題的解決中，平面向量的數量積和它的坐標運算，還有向量的共線與垂直條件，常常與三角函數的內容相互滲透，使得數學問題新穎別致，自然流暢。平面向量知識在三角函數中的應用，主要是應用平面向量的數量積及其坐標運算，這些運算和向量的共線與垂直條件與三角函數等內容很好的銜接，達到了平面向量知識與三角函數知識的交匯，體現了向量的交匯性、工具性、傳遞性和轉換思想。

四、 用空間向量運算可以解答的立體幾何問題

我們不能通過空間向量運算去解決所有的立體幾何問題。我們要在解決問題前仔細斟酌，如果為了用空間向量運算解題，而給學生學習帶來了不必要的麻煩，會造成挫傷學生學習數學積極性的后果，就不要機械運用向量空間運算去解決問題。

《普通高中數學課程標準》對空間向量與立體幾何的結合、靈活運用空間向量解決立體幾何問題有了明確的規定。可見，利用空間向量解決立體幾何問題為我們提供了全新的方法和技巧，解題過程通常也是運用向量公式的變形就能解決一些需要通過繁瑣分析才能解決的問題，這大大提高了我們的解題效率。

但是，高中立體幾何中也只是有的內容能夠通過空間向量來解決，比如證明、計算等度量方面的問題，還有位置關系方面的證明問題。但是，那些需要用坐標系來解決的集合問題就不能用空間向量來解決了。

中學數學是高考中一門重要課程，在考試中具有非常重要的地位。學校從上到下都重視數學教學。一定程度上，數學成績的好壞，直接影響著學生的整體水平。數學學習是有一定技巧的。解題是我們中學數學主要面對的問題，教師要幫助學生構建數學知識結構，培養學生的數學知識與能力，鍛煉學生的數學思維，方程思想、函數思想、轉化思想等都是數學解題中的重要思想，學生需要牢牢掌握。盡管數學如此重要，但是數學學習中，代數和幾何并不是孤立存在的，向量既是幾何研究的對象，也是代數研究的對象，是溝通代數和幾何的橋梁，是重要的數學模型。數學學習中，向量在中學數學中所占比例不大，主要涉及了向量的基本知識和基本運算，學生需要識記向量部分的基本公式，掌握基本算法。學生只有熟練掌握了向量的基本知識，才有可能將知識轉化為能力，在熟練掌握知識的前提下，教師引導學生將向量知識運用到其他章節的知識中，引導學生運用向量的知識去解題，讓這種解題稱為一種思維定式。向量在解決問題方方面有著獨特的優勢，本文主要從理論與實踐兩方面說明了向量方法在中學數學解題中的應用，主要應用的是初等數學方面的知識，說明了向量方法與幾何知識、不等式、函數、立體幾何等方面結合起來的應用。利用向量這一工具可以巧妙而簡捷的處理多種題型，而且比傳統的方法更簡單、方便，中學數學中，向量方法的運用，極大的激發了學生的學習興趣，拓寬了學生的思維，培養學生的創新意識和能力。

參考文獻： 王建明，數學課程改革中的向量背景和前景分析 .數學報，2002（5）