滲透數形結合思想，提高高中數學教學效果

陳榮輝

【摘要】如何在數學教學中培養學生數學應用能力、提高教學質量首當其沖成了高中數學教師的一大挑戰.各式各樣的數學思想貫穿著整個高中數學課程，其中數形結合是最為重要的數學思想方法之一，它使“形”和“數”互相聯系，從不同角度呈現數學知識的同時又靈活便捷地為我們解決了高中數學學習中的各種難題.本文將通過闡述數形結合思想方法的相關理論，就其“以數化形”、“以形變數”、“形數互變”三種應用方法在高中人教A版數學教學中的具體實踐作一探討，以期達到理想的教學效果.

【關鍵詞】高中數學；數形結合思想；以數化形；以形變數；形數互變

我國偉大的數學家華羅庚說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非.”數與形是數學中的兩個最古老、最基本的研究對象，同時也反映了事物的兩面性.數形結合，主張的是數學世界中數與形有著一一對應的關系.數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系、直觀的幾何圖形、位置關系等等數學知識相結合起來，通過抽象思維和具體思維的結合，從而達到復雜問題簡單化、抽象問題具體化、解題最優化的目的.數學的種種知識都離不開數形結合思想的影子，所以高中數學教師如何在教學中滲透數形結合的思想方法，讓學生掌握學習思維方式，顯得尤為重要.下文，筆者將結合人教A版高中數學的具體教學實踐，談談一些見解.

一、以“數”化“形”的應用，使抽象數據具體化

數學語言中處處體現著數量，但是有些數量是比較抽象，讓學生在學習過程中難以掌握.像上文說道，“數”與“形”是有著一一對應關系的，教師們可以利用“形”的形象性、直觀性把“數”表達出的“形”找出來，從題目的情境中分析出符合問題目標的某個理論“模式”，然后構建對應的圖形來解決問題.在高中數學中，平面幾何知識、立體幾何知識、解析幾何知識等章節的教學都可以從“數”轉化為“形”問題.

例如，在進行高中數學人教A版必修2 直線的點斜式方程時，筆者首先引導學生思考一個問題：對于直角坐標系內的直線，它的位置由哪些條件確定？學生知道“兩點確定一條直線”，在認識到可以用直線與坐標軸的位置確定后，筆者在與同學們一同用代數方法表示直線的“傾斜程度”，引入斜率概念.最后，通過教材引導語：“在直角坐標系中，給定一點P0（x0，y0）和斜率k，就能唯一確定一條直線，即平面直角坐標系中的點在不在這條直線上，完全由點P0（x0，y0）和斜率k確定.也就是說，直線上任意一點P（x，y）的坐標完全由P0的坐標x0，y0和k確定.那么這種關系的代數表達式是什么呢？”引出本章節的主要知識——點斜式方程，筆者將引導語中的數學語言在黑板上用坐標系把點斜式方程推導了出來，以“數”輔“形”，完整地表述了“平面幾何語言——解析幾何語言——坐標關系”的轉化.實踐表明，這樣的以“數”化“形”教學，不僅促進了學生對點斜式方程推導過程的理解，更提高學生綜合運用數學知識解決問題的能力.

二、以“形”變“數”的應用，使圖形變化公式化

雖然形具有形象性、直觀性的優點，但在定量方面還要借助各種代數公式的計算，在遇到比較復雜 的“形”問題時，學生要學會正確地將圖形數字化，細心觀察圖形的變化特點，研究題目中所給出的條件，通過圖形的性質或幾何意義，用已學過的相應公式或定理正確地將題目中的圖形用代數式表達出來，得出計算公式的條件和結論等.

新人教版A版高中數學（必修5）3.4《基本不等式》教學中，教學內容多為圖形引出數學公式為主，在課本110頁探究中，便要求利用教材圖形得出不等式的幾何意義，題目如下：如圖，AB是圓的直徑，O為圓心，點C是AB上一點，AC=a，BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD、OD.

①如何用a，b表示OD？OD=

②如何用a，b表示CD？CD=

③OD與CD的大小關系怎樣？ODCD

利用圖形直觀地表示定量的值，學生能在圖形結合中得到直觀理解，水到渠成地得到相應解決問題的方法.

三、“形”“數”互變的應用，使形數共同作用

“形”“數”互變是指不僅只是簡單地以“數”變“形”或以“形”變“數”就能解決數學問題的方法，而是需要“形”“數”互相變換，要在這兩者之間找到共同點進行聯系互換.解決這類問題往往需要同時從已知公式和結論出發，認真分析題目中所給出的“形”“數”互變條件，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化.

在解決三角函數問題時，數形結合的思想方法在這章知識的教學中便顯得尤為重要.筆者在進行y=Asin（wx+）+b的函數圖像變化的內容教學時，為了讓學生直觀地觀察此函數變量A，w，φ，b對函數圖像的影響，筆者利用幾何畫板對函數的各個變量變化進行如下解析式的演示：（1）y=sinx，y=sin（x+1），y=2sin（x+1）+4.幾何畫板有著強大動態展示動能，只要輸入A，w，φ幾個變量數據，教師通過隨著鼠標拖動改變A、w、φ的值，幾個函數解析式的圖像就會發生相應的變化.學生通過不同顏色的圖像變化進行觀察，對探索圖像變化規律可謂一目了然.

數形結合的思想，其本質就是將抽象的數學語言與直觀的圖像聯系起來為數學服務，使代數問題與圖形問題的相互轉化.教師們要在漫長的高中數學教學中將數形結合思想滲入到學生的數學知識體系，將其內化為己有，才能更好地培養學生嚴謹縝密的數學邏輯思維，為數學領域打造新人才.

【參考文獻】

[1]林佳佳.中學數學公式教學研究[J].數學教學通訊.2011（33）；

[2]龐彥福，詹慧，翁壽峰.數學教師的“六研究”[J].中學數學.2014（06）；

[3]張奠宙，孔企平.21世紀前10年數學教育：預測和回顧[J].數學教學.2011（01）；

[4]吳寶瑩，陳敏.數學教學設計的取向與定位[J].數學教育學報.2012（03）；