幾何直觀在小學“數與代數”教學中的運用

金建琴

摘 要： 隨著數學課程標準指出要培養和發展學生的幾何直觀能力，幾何直觀便成為數學教育的一個重要問題。本文通過在小學數學“數與代數”的教學中運用幾何直觀的實踐與探索，闡述運用幾何直觀對理解數學概念、發現數學規律、探究計算方法和分析數量關系四方面的作用，提出運用幾何直觀教學是新教材的要求，也是提高學生數學素質的要求。

關鍵詞： 幾何直觀 小學數學 數與代數 教學運用

幾何直觀是數學研究及數學教學的重要方法之一。《課程標準（2011版）》指出：幾何直觀是指利用圖形描述幾何或者其他數學問題、探索解決問題的思路、預測結果。在許多情況下，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中發揮著不可替代的作用，而且貫穿整個數學學習。就如何在小學數學“數與代數”的教學中運用幾何直觀這一問題，筆者進行了實踐與探索。

一、運用幾何直觀，形成數學概念

德國哲學家康德認為：“缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的。”小學生形象思維占主導地位，對知識的理解應該建立在豐富典型的直觀表象基礎上。因此，把教材中靜止的、較難理解的概念，運用幾何直觀生動形象地呈現出來，使抽象的概念變成看得見的數學知識，有助于學生更直觀地理解所學習的內容。

如教學四年級《速度、時間和路程》這節課，速度概念的理解是本節課的教學重點，也是解決相關問題的基礎。速度這個詞在生活中經常出現，學生一般也能知道通常說的快慢指的就是速度。但它不同于路程和時間，因為路程這個量是學生能夠直觀看到，非常明確，時間也是學生常見的，而速度概念比較抽象，是指單位時間內運動的路程，其單位是由長度單位和時間單位兩部分復合組成，這種表示形式學生比較陌生，理解起來有一定的困難。所以，在教學中我充分運用直觀圖。首先情境導入，學校到書店有300米，小明要走4分鐘，小紅要走6分鐘，誰走得快些？學生通過計算，發現小明每分鐘走75米，小紅每分鐘走50米，小明快些。這時候學生是通過數據的比較解決問題的，對這個數據表示的就是速度，概念的理解還非常模糊。這時候，老師出示兩段同樣長的線段，表示300米，分別平均分成4份和6份。指出一段就是“每分走多少米”，也就是他們各自的速度，通過每份長短的比較，明白小明的速度比小紅要快一些。通過幾何直觀把速度這個概念具體形象化，幫助學生突破概念理解上的難點，真正把握概念的實質和內涵。

又如《百分數的意義》的教學，這節課的重點是讓學生理解百分數的含義，明確是兩個量之間的比較關系。教學時可以通過直觀圖深化理解這一概念。首先出示信息：鹽占鹽水的30%，讓學生在百格圖中表示出這個百分數，并說一說鹽和鹽水各指哪一部分。在涂畫百格圖和兩個量的比較中，幫助學生建立起對抽象的20%與相應的直觀圖的認知聯系，形成相應的認知圖式，這是對任何一個百分數的理解最基本的形象支撐。隨后老師要求學生在10等份的線段圖上表示出這個30%。追問：為什么平均分成10份，也可以表示出30%？學生經過思考，得出把10份中的每一份想象成再平均分成10小份，這樣整條線段就平均分成100份，而其中的3大份就是30小份，所以同樣可以表示20%。這樣，在兩幅圖的比較中幫助學生逐步脫離具體的100份，加深了對百分數意義的理解。在教學中，運用幾何直觀既能加深學生對知識的理解，又能培養學生的空間想象能力和用圖形語言思考問題的能力。

二、運用幾何直觀，發現數學規律

幾何直觀是一種創造性思維，對于數學中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數學家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數學發現的向導。

如教學《積的變化規律》這節課，它是在學生掌握三位數乘兩位數的計算方法的基礎上進行教學的，主要引導學生探索當一個因數不變時，另一個因數與積的變化情況，從而歸納積的變化規律。因此，一般老師在教學時都是先出示幾組算式，通過計算，觀察因數和積的特點，初步概括出規律，然后讓學生通過舉例進行驗證，最后運用規律解決問題。當然，這樣的教學對凸現學生學習自主性有一定的作用，但是如果在這節課中與平面圖形面積研究相結合，讓學生借助圖形的面積變化理解積的變化規律，則不僅更容易掌握知識，而且對學生幾何直觀的培養有很大的作用。教學中，教師先出示一個長方形，已知它們的長和寬分別為80、60，學生計算出面積為80×60=480。然后長方形的長不變，將寬縮短，讓學生估計變化后長方形的面積大約是多少，并說說估計的方法。學生紛紛表示長方形長不變，寬縮小，所以面積也縮小，估計都縮小了3倍。然后驗證學生估計是否正確。在這個環節的設計中，學生借助圖形的變化意識到，當長方形的長不變，面積隨著寬的縮小而縮小。接著長方形長還是不變，將長方形的寬擴大，讓學生說說這時候長方形的面積變化。當學生發現面積的變化規律后，老師讓學生觀察算式進行小結：兩個數相乘，這兩個數叫因數，其結果叫積。那么你能根據剛才發現的規律，說說算式中因數和積的變化情況嗎？于是，積的變化規律就水到渠成地總結出來。借助長方形面積與長和寬的關系，理解積的變化規律，發展學生的幾何直觀的意識，并且在估計中發展學生的空間想象能力。

和代數相比，幾何給人以生動、直觀的形象。因此，正比例意義的學習，可以借助正比例關系圖像的學習，讓學生體會正比例圖像的特點和作用，加深對正比例意義的認識。教學時，通過數據表在坐標系里描點，連成一條直線，然后通過觀察圖像，使學生了解從這個圖像可以直觀看到兩個量的變化情況，一個量增加，另一個量隨之增大。而且明白利用正比例關系圖像，不用計算，可以由一個量的值，直接找到對應的另一個量的值，體會正比例圖像直觀形象的優勢。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質和關系，使思維很容易轉向更高級更抽象的空間形式，使學生體驗數學創造性工作歷程，形成良好的思維品質。

三、運用幾何直觀，探究計算方法

計算課的教學重點是讓學生探究計算方法的過程，理解算理。運用幾何直觀理解算理更有效。如在教學《分數乘分數》一課時，可以讓學生通過畫圖，將圖與式對應起來，深刻地理解算理。先出示例題：“粉刷工人粉刷完一塊墻需要5小時，每小時粉刷這塊墻的幾分之幾呢？”指導學生畫一個長方形當做墻，學生很容易就表示出每小時粉刷的是這塊墻的（如圖1）：

四、運用幾何直觀，分析數量關系

徐利治先生提出，幾何直觀是借助見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。利用幾何圖形的直觀對問題中的關系和結構進行表述，幫助學生分析問題和解決問題，這是一種非常重要的策略。

如教學《用連除解決問題》時，通過情境圖（如圖3）引導學生在收集和整理信息的過程中發現要解決“每個小圈有多少人”這個問題還需解決一個中間問題，從而學會用連除解決問題，同時建立起解決這類問題的數量關系的模型，并能解釋應用，為后續學習解決此類問題打下基礎。因為前一節課是學習用連乘解決問題，學生已經有了從不同角度尋找解決問題的策略經驗，所以這節課在學生理解題意后，筆者大膽放手讓學生直接嘗試用不同的方法解決問題。當學生列出三種不同的算式時，提示他們可以嘗試用圖解釋這三種算式所表示的意義，再引導學生觀察直觀圖比較三種算法之間的聯系與區別。隨后，筆者又出示類似的題目：有400本書要放在2個書架上，每個書架有5層，每層可以放幾本書？要求學生列出算式后用圖表示出來，結果他們發現畫出的直觀圖與前一題畫出的圖是相同的，明白雖然這兩道題目的情境不同，總量不同，但題目中蘊含的數量關系的結構是相同的。最后，筆者又問：像這樣的圖還可以解決怎樣的問題？借助幾何直觀把復雜問題用畫圖的形式表達出來，是“去情境化”的過程，是一個數學建模的過程，它把情境中的數量關系進行提煉，并且直觀表達，然后運用這個數學模型解決類似的問題。這樣教學，形象思維由圖形帶來的直覺，增進學生對數學的理解，增強其創造能力。

在小學“數與代數”的教學中運用幾何直觀，將抽象的數學語言與直觀圖形語言有機地結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化。這樣教學，有助于加深學生對知識的理解，進而促進學生的數學理解。因此，運用幾何直觀教學是新教材的要求，是提高學生數學素質的要求。

參考文獻：

[1]教育部.義務教育數學課程標準（2011版）.北京師范大學出版社，2012（01）.

[2]周偉萍.關于幾何直觀的思考.陜西教育（數學版），2013（6）.

[3]張丹.數與代數應用題的內容主線和教學建議.小學數學教師，2010（7、8）.

[4]朱洪霞.幾何直觀在小學數學教學中的運用.新課程（教研版），2009，（01）.