高中數學中函數與方程思想的互化

王永鋒

摘 要：函數與方程思想是一種重要的數學思想，在高考中所占的比例一直很大，很多函數的問題用方程解決，很多方程的問題利用相應函數的有關性質來解決，都可以達到化繁為簡的目的。

關鍵詞：高中數學;函數與方程;相互轉化

函數與方程是兩個不同的概念，但它們之間又有著密切的聯系。對于函數y=f（x），當y=0時，就得到相應的方程f（x）=0，也可以把函數y=f（x）看作二元方程f（x）-y=0，函數y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標就是方程f（x）=0的實數根。方程f（x）=0的實數根就是函數y=f（x）的零點。因此，方程思想與函數思想可以相互轉化，以下結合具體例題談談本人對這一部分內容的理解。

一、函數問題轉化為方程問題求解

例1.如果函數y=的最大值是4，最小值是-1，求實數a，b的值。

解析：函數的定義域為R，由函數的最大值為4可知，存在實數x使得=4，即方程4x2-ax+4-b=0有實數根，所以？駐1=a2-16（4-b）≥0，又因為4是函數的最大值，所以對任意的x，≤4恒成立，即4x2-ax+4-b≥0恒成立，所以？駐2=a2-16（4-b）≥0，所以 a2-16（4-b）=0①。由函數的最小值是-1可知，存在實數x使得=-1，即方程x2+ax+b+1=0有實根，所以？駐2=a2-4（b+1）≥0，又因為-1是函數的最小值，所以對任意的x，≥-1恒成立，即x2+ax+b+1≥0恒成立，所以？駐2=a2-4（b+1）≤0，所以a2-4（b+1）=0②，由①②解得a=4b=3或a=-4b=3。

二、方程問題轉化為函數問題求解

例2.若a>2，求方程x3-ax2+1=0在（0，2）的實根個數。

解析：設f（x）=x3-ax2+1，則f'（x）=x2-2ax=x（x-2a），∵02，

∴f'（x）<0，∴f（x）在（0，2）上是減函數，又∵f（0）=1>0，f（2）=-4a+1=-4a<0，所以f（x）在（0，2）上只有一個零點。所以方程x3-ax2+1=0在（0，2）只有一個實根。

評析：本題是一道求方程根的問題，我們構造函數，考慮這個函數的零點的個數，應用導數的方法判斷這個函數在（0，2）上的單調性，并結合零點存在性定理，便可得出結論。

三、方程思想與函數思想綜合應用

例3.若拋物線y=-2x2+kx-3和端點分別為A（0，4），B（4，0）的線段AB有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍。

解析：線段AB的方程為+=1（0≤x≤4），即y=4-x（0≤x≤4）

將上式代入y=-2x2+kx-3得2x2-（k+1）x+7=0（0≤x≤4）

令f（x）=2x2-（k+1）x+7，因為拋物線與線段AB有兩個不同的交點。

所以方程2x2-（k+1）x+7=0在[0，4]上有兩個不等的實數根。

所以應該有？駐=（k+1）2-4×2×7>00<<4f（0）=7>0f（4）=32-4（k+1）+7≥0

解得2-1

故k的取值范圍是（2-1，]。

評析：本題先將函數圖象有交點問題轉化為方程有解的問題，再將方程有解的問題轉化為二次函數根的分布問題，結合圖象，從判別式、對稱軸、函數值的大小等方面考慮使結論成立的所有約束條件，建立不等式再求解得到所求范圍。本題在求解過程中遵循了“函數→方程→函數”的轉化過程，由此可見，方程與函數聯系緊密，做題時注意兩者的靈活轉化。

總之，函數與方程的思想是重要的數學思想，應用非常廣泛，主要依據題意，構造恰當的函數或建立相應的方程來解決問題，遇到題目時，注意轉化角度，改變思維，可以使復雜問題簡單化。

參考文獻：

[1]羅建宇.函數與方程的思想在解題中的應用[J].中學數學研究，2008（2）.

[2]王太青.函數與方程思想解題的體會[J].滄州師范專科學校學報，2009（3）.

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