淺談高中數(shù)學(xué)重要不等式的幾何直觀

摘 要：代數(shù)與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化，是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中運用廣泛、意義深刻的一種思維方法。借助幾何直觀研究代數(shù)問題，會使問題直觀形象，解法靈活簡便。以高中數(shù)學(xué)一些重要的不等式的幾何直觀為例，體現(xiàn)幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中的重要作用。

關(guān)鍵詞：不等式;幾何直觀;高中數(shù)學(xué)

不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點，也是歷屆高考中的熱點問題。新課程標(biāo)準(zhǔn)把不等式設(shè)置為專題選講內(nèi)容，對本專題的設(shè)計特別強調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，注重讓大多數(shù)學(xué)生通過不等式的幾何背景理解數(shù)學(xué)思想、認識數(shù)學(xué)本質(zhì)，強調(diào)了不等式的幾何直觀，而淡化了證明不等式中比較復(fù)雜或過于技巧化的方法。

每一個幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^圖形的直觀性作出形象的描述，代數(shù)公式的幾何直觀，給原本抽象的代數(shù)式賦予更本質(zhì)、更易于理解和記憶的意義，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中最重要也是最基本的思想方法之一——數(shù)形結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。美國數(shù)學(xué)家斯蒂思曾說：如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么，思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法。法國數(shù)學(xué)家G.紹蓋曾說：一堆沒有實驗和直觀所支持的定義，不能開發(fā)智力，而只能關(guān)閉思路。直觀是創(chuàng)造活動和幾何學(xué)之間的連桿，思維想象則是另一重要連桿。可見幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中的廣泛應(yīng)用和重要作用。

不等式的幾何直觀為解題提供思路和方法，幫助學(xué)生深刻理解、記憶代數(shù)公式的有效途徑，是證明不等式的簡捷方法。

一、絕對值不等式：a+b≥a+b≥a-b

<D：＼期刊2015＼中學(xué)2015-9A＼正文＼王海燕1.tif>[圖1][a+b][b][a][a][b][a+b][a+b][b][a][C][A][B][C][A][B][C][A][B]

在△ABC中，BC=a，AB=b由向量關(guān)系，AC=a+b，則由三角形三邊關(guān)系定理AB+BC>AC，即：a+b>a+b;BC-AB<AC，即：a-b<a+b。

當(dāng)點B在線段AC上時有a+b=a+b;

當(dāng)點A在線段BC上時有a+b=a-b。

二、“濃度”不等式：>（0<a<b，c>0）

如圖2，點A，B的坐標(biāo)分別為（b，a），（b+c，a+c），且滿足0<a<b，易得直線OA的斜率kOA=，直線OB的斜率kOB=，由圖示顯然有：kOB>kOA，即>。

<D：＼期刊2015＼中學(xué)2015-9A＼正文＼王海燕2.tif>[圖2][A][B][O][x][a][b][c][y][c]

三、均值不等式：≥（a>0，b>0）

如圖3，易得正方形ABCD的面積大于四個直角三角形的面積，得到不等式：a2+b2>2ab，當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一點，這時有a2+b2=2ab。如果a>0，b>0，用，分別代替a，b，則有a+b≥2，即≥（a>0，b>0）。

<D：＼期刊2015＼中學(xué)2015-9A＼正文＼王海燕3.tif>[A][B][C][a][b][圖3][D][F][G][H][E]

在圖4中，AB為圓O的直徑，點C是AB上一點，AC=a，BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE。易證△ACD～△DCB，因而CD=.由CD小于等于圓的半徑OD，即得≤，當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心O重合，即a=b時等號成立。

<D：＼期刊2015＼中學(xué)2015-9A＼正文＼王海燕4.tif>[b][O][a][D][E][圖4][C][B][A]

在圖5中，設(shè)C，E為直線y=x上坐標(biāo)為（a，a），（b，b）的兩點，并考慮點A（0，a），B（b，0），D（b，a）。易得△BOE的面積SBOE=，△AOC的面積SAOC=，考察矩形AOBD，它的面積SAOBD=ab，易看出它被△BOE與△AOC完全覆蓋，因此SAOC+SBOE≥SAOBD，即有a2+b2≥2ab，若a>0，b>0，用，分別代替a，b，則有：≥（a>0，b>0）。當(dāng)且僅當(dāng)△CDE的面積為零時，即C與E重合，因而a=b時，等號成立。

四、調(diào)和不等式：≤≤≤

即調(diào)和中項≤幾何中項≤算數(shù)中項≤均方根

梯形ABCD中，AB=a，CD=b，O為對角線交點，GH為梯形的中位線，KL是平行于兩底且使梯形ABLK與梯形KLCD成相似的線段，EF為過O點且平行于兩底的線段，MN是平行于兩底且將梯形ABCD分為面積相等的兩個梯形的線段。易得GH=;由于梯形ABLK∽梯形KLCD，則有=，即=，得KL=;由=，=，易知：=，故=，則EO=OF=EF，又由===1-，和=，得到=1-，這樣EO==，從而EF=2EO=;設(shè)MN=x，并設(shè)h1，h2分別是組成梯形的兩個不規(guī)則的四邊形的高，因此h1+h2是梯形ABCD的高，于是有：

·h1=

·

（h1+h2）

·h2=

·

（h1+h2），

此方程組當(dāng)且僅當(dāng)x2=時有一個解，即x==MN，由圖得：EF<KL<GH<MN，從而<<<。

當(dāng)且僅當(dāng)梯形ABCD為平行四邊形時，即a=b時，EF，KL，GH，MN重合，即有===。

五、柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2

如圖7所示的三角形，易得OP=，OQ=，PQ=。由三角形余弦定理，PQ2=OP2+OQ2-2OP·OQ·cosθ，將OP，OQ，PQ的值代入，并化簡，得到：cosθ=，由0≤cos2θ≤1得到cos2θ=≤1，于是（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2

當(dāng)且僅當(dāng)θ=0時等號成立，即=，亦即ad=bd。故不等式中的等號當(dāng)且僅當(dāng)ad=bd時成立。

如圖8所示，P（a，b），Q（c，d）是直角坐標(biāo)平面上的兩點，= ， ? ?=。作平行四邊形OPRQ則點R的坐標(biāo)為（a+c，b+d）， =+ 。在△OPR中，由兩邊長之和大于第三邊這一事實得，OP+PR≥OR即

+

≥

+

，亦即+≥，兩邊平方整理，得·≥ac+bd，兩邊再平方，即得（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2。當(dāng)且僅當(dāng)與 共線，即ad=bc時等號成立。

通過以上一些重要不等式的幾何直觀，我們一定驚嘆于數(shù)與形結(jié)合的美感。這些重要的代數(shù)公式，都是通過一些淺顯的幾何事實得到的。這種數(shù)與形的轉(zhuǎn)化思想是值得我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視和學(xué)習(xí)的。幾何直觀體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的一方面，而數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的過程都不能只側(cè)重某一方面，要培養(yǎng)學(xué)生嘗試且熟練將數(shù)與形結(jié)合起來，既要會“以形助數(shù)”，又要會“以數(shù)解形”。

在實際教學(xué)過程中，教師在講授以上代數(shù)公式時，可以通過這些代數(shù)公式的幾何直觀來創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生從直觀幾何圖形中發(fā)現(xiàn)相等或不等關(guān)系，進而得到代數(shù)等式或不等式，使學(xué)生通過幾何直觀對代數(shù)公式有初步認識，然后再進行嚴格的邏輯推理證明加深認識，促進學(xué)生抽象思維的進一步發(fā)展，同時培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯的嚴密性。直觀與邏輯對我們來說缺一不可，但從發(fā)現(xiàn)真理培養(yǎng)意識與思維能力的角度看，直觀是第一位的。所以在講授這些代數(shù)公式的過程中，它們的幾何意義必不可少。

總之，幾何直觀可以以形象思維來彌補抽象思維的欠缺，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)能力，進而促進抽象思維的發(fā)展，最終達到理性思維的鍛煉和發(fā)展。幾何直觀會給學(xué)生解題帶來方便，可以培養(yǎng)學(xué)生自信心，增強學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣?？梢妿缀沃庇^在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中是非常重要的，在教學(xué)過程中教師要時刻有意地滲透這種思想，加強學(xué)生的應(yīng)用意識，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升。

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·編輯 謝尾合