淺談初中數學動點問題的解題策略

孫世軍

摘要：教育，一直都是時代發展的主題，特別是對于數學教育來說，作為一門分析數量、組合、變形以及空間狀況的教育科目，數學教育以其較強的邏輯性為主要難點，而對于數學教學來說，特別是一些變量的變化，同時也是目前考試常見的壓軸題型之一，讓很多學生產生困擾，甚至進入到思維的誤區。尤其是對于函數的動點方面的題型來說，解答往往存在一定的難度，需要通過不同的解題策略嘗試解答，最后得出最佳的解題方法，當然這些都離不開學生對于定理和公式的運用。

關鍵詞：初中數學;動點問題;解題策略

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1992-7711（2015）23-065-1

引言

動點問題，可以說是初中數學函數以及幾何題型常見的一類問題，顧名思義即是指一個或者多個活動點在限制區域內進行規律運動的求解，因為各類運動會影響到一些題型中的一些定量變化。而運動方法主要可以通過單一點的運動以及直線的運動。而對于教師來說，為保證講解效果的，教師可以借助幾何畫板等電子產品，以保證講解效果更加直觀。

在此，筆者將通過本文，就初中數學動點問題的解題策略展開詳細的分析與探索。

一、動點問題在平面幾何中的解題運用

平面幾何題型一般是初中數學經常涉及的一個內容，而動點問題也是平面幾何題型中比較難點的一類問題，所以解題往往需要代入一些簡單的概念。諸如以下例題1所示：

例題1：一個等腰梯形ABCD滿足AD平行于BC（以下圖所示），同時AB=DC=50，AD=75，BC=135，有一個動點P由點B處開始運動，運動軌跡為BAADDC，運動速度為每秒5個單位長度向C點方向勻速運動，另一個動點Q則由點C沿著線段CB方向勻速運動，運動速度為每秒3個單位長度，然后過Q點作垂線QK垂直于BC，并與折線CDDAAB相交于點E，同時動點P，Q的運動是同時進行，當點P運動到點C時，動點P、Q同時停止運動，最后假設點P、Q的運動時間為t秒（已知t是正數）。求解：1.當動點P與點C完全重合時，求解兩個動點的運動時間t，并且求解此條件下的線段BQ的長度;2.動點P如果運動到了線段AD上時，求解t的取值為多少時，PQ平行于DC;3.假設射線QK截取梯形ABCD的面積為S，求解當E點到達CD，DA時，截取面積S與運動時間t的函數關系（寫出關系式，不用寫出t的取值范圍）[1]。

求解過程：（1）可以算出總路程，然后用總路程除以運動速率，即可得出時間t=（50+75+35）÷5=35（秒）;然后求解QC的長度=35×3=105，因而可得BQ的長度：BQ=135-100=35。

（2）首先如果P、Q兩點滿足PQ∥DC，因而可得AD∥BC，那么可得四邊形PQCD是平行四邊形，再次引申出已知條件PD=QC=3t，而BA+AP=St，50+75-St=3t，最后可得：t=1258。即當t=1258時，有PQ∥DC。

（3）根據E在CD的運動軌跡，則可以分別通過A，D兩點作垂線AF⊥BC，垂點為F;DH⊥BC，垂點為H，由此可知四邊形ADHF屬于矩形，同時三角形ABF≌三角形DCH，最后可得條件FH=AD=75，BF=CH=30，所以可得DH=AF=40，因為QC=3t，那么QE=QC×tanC=3t×DHCH=4t，所以S=S△QCE=12QE×QC=6t2;另外，已知E點在DA上運動，則可以作DH⊥BC，垂點為H，最后可得DH=40，CH=30，又已知QC=3t，則可得ED=QH=QC-CH=3t-30，所以S=SQcde=12（ED+QC）×DH=120t-600。

二、動點問題在函數題型中的解題運用

函數題型也是常見的一類動點求解問題，而一些解題過程需要關聯一些平面幾何的知識點。諸如以下例題題2所示：

例題2：已知有一條直線，方程式為y=3x+3，其與x軸的交點為A，與y軸的交點為B，將三角形AOB沿著y軸進行翻折，讓點A映射出點C，同時有一條拋物線通過點B，C與D（3，0）。求解直線BD與拋物線的方程式[2]。

求解過程：首先這道題動點太多，所以也存在過多的未知條件，而需要采用待定系數法進行求解。即根據直線方程式y=3x+3與x軸的交點，而A點為（-1，0），B點為（0，3），同時得出映射點C（1，0），假設直線BD解析式為y=kx+b，代入點B和點D坐標可知，3k+b=0，已知b=3，最后可得k=-1，那么直線BD的解析式為y=-x+3;拋物線解析式：y=a（x-1）（x-3），而已知拋物線在點B（0，3）上，代入拋物線可知：3=ax（-3）×（-1），最后可得：a=1。最后拋物線的解析式為：y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3。

結語

對于初中數學教學來說，動點題型的解答是一個難度較大的問題。一般來說動點題型可以包含函數和平面幾何解題，而動點問題一般可以歸結于動點運動的瞬間，求解可以固定變量和定量，同時通過方程模型完成動點求解。此外，動點運動到特殊位置或者區域，可以與其他定點構建出一些特殊的圖形，進而通過圖形性質進行求解。而這些題型也是中考階段常見的題型，解題除了需要靈活配合多種概念，同時還需要具有層次化的思維。

[參考文獻]

[1]王中文.初中數學動點問題的解題策略[J].讀與寫雜志（教育教學刊），2012（03）.

[2]周航.初中數學動點問題的解題策略探討[J]，新課程（中學），2015（07）.