多元表征引領動態思維

肖芳彬

摘 要： 表征是學生解決數學問題的思維工具或問題交流的理解表達，表征水平影響甚至決定著學生的能力.在教學中注重多元表征對學生思維的影響，幫助學生根據具體的情況和要求創造和運用不同的表征時，使其加深對數學知識、定理的本質理解，促使學生交流他們的思維.

關鍵詞： 高中數學 多元表征 動態思維

數學教學中要幫助學生對數學對象進行多元表征，讓學生對數學知識形成強大又靈活的內、外部表征系統，是教師的職責，也是高效課堂上的重要保障.

一、訓練多元表征能力，提高思維的靈活性

新課程的實施對數學教學有更高、更全面的要求——要求培養學生探究興趣、創新型思維方式及能力，因此在教學中要高度重視對學生已有知識與經驗的必要超越，使他們能用更高的抽象水平重新認識這些知識和經驗，從而對已有的認知框架進行拓展與挖掘；還要重視如何通過已有的知識和經驗把多元表征變得豐富又生動.加強多元表征的訓練，通過交流與溝通，豐富多元表征系統，提高動態思維的靈活性.

教學案例1：如果直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓：得1≤m≤9.本題的兩個關鍵點：直線y=kx+1中隱藏著直線恒過定點問題及其對“總有公共點”的“總”的理解.不同的理解建立在不同的表征基礎上.通過多元表征，增強學生對幾何圖形的感知能力，幫助他們更徹底地了解題目的本質，從而對解題策略做出動態、靈活的調整，尋求解決問題的最佳策略.

二、展示多元表征思維過程，提高思維合理性

多元表征能夠從具體到抽象地把握數學的關系結構模式，強化事物的本質特征.教學時要鼓勵學生分享自己的表征信息，促成學生自我反思、調整，從不同的視角豐富和完善自己的內部表征.其整個操作符合人們認識事物本質的規律，做到了不同特征的整體組合，生成足夠的有效負荷，提高認知操作的策略水平.

1.打包教學信息，整合教學資源.

教學案例2：在直線與平面垂直的判定定理的教學中，教學內容在以下方面優化后進行打包：（1）實驗探究：你能將一張三角形紙片ABC豎起放在桌面上嗎？折痕與桌面垂直嗎？如果要經過點A翻折，如何才能使得折痕與桌面垂直？（2）必須在某一邊上定一點，將紙片打折，使這邊上的三點不共線后放在桌面；（3）用幾何圖形表示探究的各種情形（圖略）；（4）“直線與平面垂直的判定定理”的文字語言表征：一條直線與一個平面內的兩條楣交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；（5）“直線與平面垂直判定定理”的數學語言符號表征為：a，b∈π，a∩b=0，l⊥a，l⊥b？圯l⊥π；（6）“直線與平面垂直判定定理”的幾何圖形表征；（7）命題辨析：判定定理中，平面π內的直線只需兩條，但必須是相交的，交點也不一定是l與π的交點（垂足）等.

2.優化多元表征，展示思維過程.

優化多元表征的信息結構、教學設計的時間臨近、空間鄰近及雙通道的原則，呈現各模塊，與學生共同分析、歸納.

表征一：你能將一張三角形紙片ABC豎起放在桌面上嗎？折痕與桌面垂直嗎？

表征二：如果要經過點A翻折，如何才能使得折痕與桌面垂直？

表征三：“直線與平面垂直的判定定理”的文字語言表征是什么？

表征四：“直線與平面垂直判定定理”的數學語言符號表征是什么？

表征五：“直線與平面垂直判定定理”的幾何圖形表征是什么？

表征六：命題辨析：判定定理中，平面π內的直線只需兩條，但必須是相交的，交點也不一定是與l與π的交點（垂足）.

多元表征的主要方式有動作表征、形象表征、語義表征、數學符號表征.在教學中，利用多種表征方式可以幫助學生從較復雜的情境圖中捕捉有用的信息，在真實的情境中體驗數學的魅力，特別在立體幾何中，滲透了點、線、面的不固定性與開放性問題，通過多元表征，巧妙運用動靜之間的轉化，拉長了學生理解情境圖、感悟數量之間關系的過程，也經歷了將一些生活問題抽象為數學問題的過程，挖掘動態素材，有助于空間想象和綜合思維能力的培養，尋求問題解決的變換途徑和方法，培養動態、創新的思維品質和能力，創造多元表征的交流平臺，提高動態思維的靈活性.

三、創設多元表征交流平臺，提高思維發散性

多元表征有助于解題思路產生，合理的表征是理解問題的前提，是問題解決的信息儲存和加工過程的有效表現形式.有助于問題的形象直觀思考和簡約問題解決的思維長度，能激活學生原有的知識塊，通過觀察、發現、分析、聯想，誘發學生進行多維表征，發散思路，并能根據解題的需要與情境的變化做出靈活轉換.

教學案例3：（s-1）n+s+2=0看做關于n的二次方程，若將此式直接改寫成x-（s-1）x+s+2=0在x∈（1，+∞）上有實數解時，求s的最小值，學生就會聯想到運用判別式法求解，但要注意求出最小值后一定要檢驗.

表征4：從圖形表征考慮，由反比例函數及圖像平移知識可知（m-2）（n-1）=4（m>2，n>1）表示雙曲線一支，令m+n=s，則其表示斜率為-1的直線，則原問題可轉化為“直線m+n=s與曲線（m-2）（n-1）=4（m>2，n>1）有公共點，求s的最小值”.學生通過圖像可以發現：當直線與曲線相切時s最小.

由此可知，多元表征啟迪動態思維，提高思維的靈活性和廣闊性，適宜的表征可以減少運算量，縮短思維過程，優化解題步驟.因此，進行表征時，給學生時間，互相探討，通過對多元表征的交流，讓學生認清每一種表征的優越性與局限性，辨析數學問題的實質，從而有機選擇恰當的解題方法.

總之，培養多元表征要注重知識間的網絡關系，從不同角度審視同一個問題會得到不同的解題靈感，培養較強的動態思維能力和廣闊的思維空間，在問題的研究中進行跳躍式、發散式的動態思考.因此，在數學教學中，為提高學生表征能力和對數學問題的理解能力，教師要引導學生積累知識與數學活動的基本經驗，促進學生學習遷移能力的發展，有計劃、有目的地進行問題表征的訓練，發展學生直覺思維能力和數學語言轉換能力，從而加強學生數學問題表征能力的培養.

參考文獻：

[1]李靜.基于多元表征發展代數思維的教學模式研究[J].西南師范大學學報（自然科學版），2011（3）.

[2]葉晶.基于表征的試題評析[J].福建中學數學，2013（6）.