數形結合方法在高中數學中的應用

張紹平

摘 要：數形結合，顧名思義就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合。“形”具有形象直觀的優勢，但也有其粗略、繁瑣和不便于表達的劣勢，只有以簡潔的數學描述 、形式化的數學模型表達“形”的特性。

關鍵詞：高中數學；數形結合；數學素養；應用策略；數學應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）06-195-01

著名的數學家華羅庚說過：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數無形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。” 數形結合方法作為一種重要的數學思想和教學原則貫穿于整個高中數學學習的始終，在高中數學的學習過程中，新教材中的內容能很好地培養和發展學生的數形結合思想。

一、在高中數學教學中應用數形結合方法的重要性

有利于推動數學不斷向前發展在數學不斷發展的過程中，由于人們對于“形”的運算的增加，導致“數”的合理產生。所以我們在利用數學知識去解決實際的問題的時候，需要我們不斷轉化數量關系利用“數”的幫助作用，從而得到想要的數學答案。以分數為例，在古代的時候人們會在繩子的中間系上一個結扣，即表示是一般的意思。“形”可以把數更好地表現出來，同時數也需要形來進行記憶。只有熟練掌握了比較科學的數學思想，才能夠把數與形很好地結合起來，從而正確推理數量之間的關系，實現數形結合。例如，在高中數學函數知識學習過程中，就可以利用數形結合的方法。首先，教師把函數關系式中的數學關系繪制出來，并且引導學生學習。可以說，數形結合方法的應用，在一定程度上有效推動了數學向前發展。

二、數形結合方法在高中數學教學中的應用

1、等價性。等價性原則是指形的直觀幾何意義應該與“數”的抽象代數意義是可以相互轉化的等價量，即問題的幾何表示與代數數量關系應具有一致性。用圖形解題有著重大的局限，不同的人對題目的理解不盡相同，所以所構造的圖形就會受到自己理解的影響而出現和實際問題之間的誤差。因此不可避免的會出現解題失誤。如果加以代數思想來精確的構造圖形，就可以避免這種情況的出現。

2、雙向性。雙向性原則是指數形集合的方法既對問題的代數性質做研究，又對直觀幾何圖形進行分析，代數運算可以讓數在圖的基礎上形成有信服度的結果，且這個結果比單純幾何構圖更具有優越性，相反，幾何圖形的表示形式更直觀，這就充分地體現了數形集合方法的和諧之處。

3、簡潔性。簡潔性原則是指數轉換為圖形的同時，一定要使所構造的圖形簡單且充分符合題意，這樣既能通過簡單明了的圖形直觀地分析出問題主旨，又因為所構圖形的簡單，可以充分避免繁瑣的運算過程，大大縮短解題時間，同時也可使復雜的問題變的簡單化。符合數學解題簡潔美的根本要求，也體現了數學解決實際問題的藝術性與創新性。

三、數形互換，使數學問題的求解更為靈活

在數學領域數與形是一種既對立又統一的關系，并且相互之間可以靈活轉換，從而更為直接的表現出相關題目中的數量關系，解決數學學習中遇到的各種問題。任何一個階段、任何一個學科的學習在本質上都是為了能夠順利解決生活中的問題，數學教學也是如此，教師通過教學引導促使學生在學習過程中掌握一定的解題思路，能夠進一步強化學生解決問題的能力。但是應該注意到，學生個體存在一定的差異性，普遍認為相對簡單的解題思想并不意味著能夠適用于所有的學生。而數形互換思想則能夠很好的兼顧學生在數學學習方面的差異性，進而促使學生在學習過程中靈活的選擇適用于自身的解題方法，提升解題效率。如在一部分探求值域、最值的函數問題中，就能夠合理運用數形互換思想，使學生依據自身數學素養迅速的得出準確答案，在強化學生解題能力的同時，提升學生對于數學學習的信心，為其未來發展奠定基礎。

四、數形結合方法在教學中應用的策略

以數促形，用形助數，結合使用，能使復雜問題簡單化，抽象問題形象化。這就要求具備有將數量關系轉化成圖形和將圖形轉化成數量關系這兩個方面的融會貫通，能熟練使用。要求圖形和數量關系之間相互轉換要熟練，從題目所給的數量關系可以畫出圖形，又在所畫出的圖形中找到新的數量關系，這就是解題的關鍵。應用數形結合解題時要注意轉化前后的等價性，將復雜的問題轉化成簡單、熟知的數學問題，轉化前后的問題應是等價的；有些問題所對應的圖形不唯一，要根據不同的情況畫 出相應的圖形后，再進行討論求解。

要真正掌握數形結合思想，必須有扎實的基礎知識和熟練的解題技巧，如果只理解了幾個典型習題，就認為完全掌握了數形結合這一思想方法，是錯誤的。所以要認真上好每一 堂課，深入學習新教材的系統知識，掌握各種函數的圖象特點，理解各種幾何圖形的性質，多做練習，根據問題的具體情況，注意改變觀察和理解問題的角度，抓住問題的本質。

五、以數助形提升解題效率

在數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透，數形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題或把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的解題方法。

在高中數學教學中有一些問題，尤其是解析幾何中，根據圖像反映出的數量關系，將所要求解的問題轉化為具體的公式，并通過使用公式簡化解題步驟，能夠提升解題效率。運用數形結合的思想，就是將抽象的數學語言與直觀的幾何圖形結合起來，通過圖形的認識和數形的轉化，使問題化抽象為具體，最終使問題獲解。

綜上所述，數形結合解題思想在我國高中階段的數學教育中占據著十分重要的位置。通過應用數形結合思想，教師在講解過程中能夠將相對抽象乏味的數學知識變得直觀生動，進而調動學生參與數學學習的積極性，使學生在學習過程中逐漸養成探究多種解題思路的習慣，顯著提升數學學習效果，為學生未來發展奠定堅實的基礎。

參考文獻：

[1] 胡順添.淺談高中數學教學中“數形結合”思想的應用[J].數學學習與研究（教研版）；2009年09期

[2] 魯 浩.讓數形結合也成為一種數學學習習慣[J].教育科學論壇；2008年02期