APOS理論指導下的初中數學概念教學

王靜 段有強

[摘 要] APOS理論是近年來美國數學家杜賓斯基提出的一種關于概念教學的理論模型，它包括Action（活動階段），Process（過程階段），Object（對象階段）和Scheme（圖式階段）四個階段. 筆者以“二次函數”為例來研究APOS理論在初中數學概念教學中的應用，這個理論模型實現了舊知識到新知識的自然銜接，在活動中生成、在過程中體驗、在操作中建構數學概念.

[關鍵詞] APOS理論；初中數學；二次函數

什么是APOS理論

APOS理論是近年來美國數學家杜賓斯基在數學教學研究的實踐中提出的一種關于概念教學的理論模型，它包括Action（活動階段），Process（過程階段），Object（對象階段）和Scheme（圖式階段）四個階段. 這四個步驟努力營造學生自覺發現、自主建構與形成概念的特點，它是循序漸進、層層遞進的.

APOS理論認為，學生學習數學概念的過程其實是一種自我心理建構的過程，在這個過程中學生只有調整自己的認知結構或者外部的認知結構，使得主客觀彼此一致，才能建構新的認知結構. 因此，在數學概念的教學中，教師應努力引導學生經過思維的操作、過程和對象等幾個階段，使學生在自主建構和不斷反思的基礎上，把概念組成圖式，通過同化或順應的方式，完善自己的知識結構，從而順利解決問題.

鑒于APOS理論對于數學概念教學的科學性和實用性，筆者就如何進行概念教學作了一些探索. 本文以人教版“二次函數”為載體，談談對APOS理論應用于概念教學的一些思考.

教學設計

1. 教材分析

“二次函數”是人教版九年級上冊第22章第1節的內容，本節課是在學生學習了變量與函數、一次函數、正比例函數、反比例函數的基礎上，引出二次函數的概念. 二次函數是初中階段研究的最后一個具體的函數，也是初中階段整個函數知識體系中最重要的部分. 它在歷年的中考題中占有較大比例，它的學習也為高中階段的函數學習打下了基礎，所以本節內容的教學安排符合學生的認知需求和整個函數體系的自然發展，對培養學生的數學思維有著重要的作用. 而本節課的二次函數的概念是學習二次函數的基礎，為后面學習二次函數的圖像、性質及二次函數與一元二次方程的關系等做鋪墊，所以這節課在整個教材中具有承上啟下的重要作用. 另外，通過讓學生經歷實際問題情境的探究，體驗二次函數產生的過程，體會到它是實際生活的產物，并逐步讓學生體會怎樣建立實際問題的函數模型，培養他們用函數思想分析、解決問題的意識和能力.

2. 教學目標

（1）知識與技能：使學生理解二次函數的概念，掌握根據實際問題列出二次函數關系式的方法，并了解如何根據實際問題確定自變量的取值范圍.

（2）過程與方法：復習舊知，通過實際問題的引入，經歷二次函數概念的探索過程，提高學生解決問題的能力.

（3）情感、態度與價值觀：通過觀察、操作、交流歸納等數學活動加深對二次函數概念的理解，發展學生的數學思維，增強學生學好數學的愿望與信心.

3. 教學重點及難點

教學重點：對二次函數概念的理解.

教學難點：由實際問題確定二次函數解析式和自變量的取值范圍.

4. APOS視角下的教學過程

（1）活動階段（Action）——創設情境，引入概念.

活動1：（多媒體展示圖片）學生觀察圖片，教師創設問題情境.

籃球運動員投籃、運動場上飛舞的跳繩、花園噴水池噴出的水都會形成一條曲線，這些曲線是什么形狀？它們能否用函數關系式來表示？這些曲線有什么性質？這些知識將在本章學習.

活動2：我們學習了一次函數和反比例函數，請同學們思考下面問題的函數關系及表達式.

①正方體的棱長為x，它的表面積為S，那么S與x的關系是什么？

②多邊形的對角線d與邊數n有什么關系？

③某工廠一種產品現在的年產量是20件，計劃今后兩年增加產量. 如果每年都比上一年的產量增加x倍，那么兩年后這種產品的產量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關系該怎樣表示？

設計意圖：APOS理論中的“活動階段”相當于觀察、呈現數學概念的具體實體階段，讓學生對概念的形成過程有一個充分體驗. 情境的引入是概念建構的起點和生長點，是認識概念的必要條件. 活動1的目的是從生活中的實例出發，引起學生對二次函數的好奇和興趣. 活動2設置的幾個實例，讓學生體會引入二次函數概念的實際背景，感受其實際意義，自己動手在實際問題中建立函數模型，列出解析式. 這一環節是對函數概念從抽象到具體，再從具體到抽象的再認識過程，也為后面從解析式中觀察、抽象出二次函數的概念做好鋪墊.

（2）過程階段（Process）——抽象概括，表述概念.

問題：觀察思考上面列出的三個式子有什么共同點.

歸納總結：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的函數叫作二次函數，其中a，b分別是二次項系數和一次項系數，c是常數項.

對于a≠0這個條件準備采用下面的方式進行處理：

問題1：請指出一般式y=ax2+bx+c中的常數、變量、自變量、函數.

問題2：a能否為0？

問題3：b，c能否為0？

練習：下列函數中，哪些是二次函數？

（1）y=x； （2）m=2n2-3n；

（3）y=2x（x-1）； （4）y=-x；

（5）y=（x+3）2-x2； （6）y=3x3+2x2；

（7）y=x-2+1.

設計意圖：APOS理論中的“過程階段”是學生對具體實體進行思維概括并描述得出數學概念的階段. 學生通過之前的“活動”對二次函數的概念形成了初步的認識，通過類比一次函數和反比例函數的概念形成過程，引導他們學習觀察、歸納二次函數的一般形式，理解解析式的特點，并學會用嚴謹的數學語言來表述. 而對于概念中的關鍵詞a≠0，通過3個小問題解決，并讓學生深刻理解：一個函數是不是二次函數的關鍵是看二次項系數是否為0，而一次項系數和常數項是否為0無所謂. 為了更好地理解二次函數的概念，及時進行辨析是非常必要的. 在練習中⑤是非常容易判斷出錯的，這里讓學生注意“先化簡后判斷”.

（3）對象階段（Object）——深入理解，剖析概念.

例1：說出下列二次函數的二次項系數、一次項系數、常數項.

①y=-x2+58x-112；

②y=πx2；

③y=x（1+x）.

例2：已知函數y=ax2+bx+c.

①當a，b，c是怎樣的數時，它是正比例函數？

②當a，b，c是怎樣的數時，它是一次函數？

③當a，b，c是怎樣的數時，它是二次函數？

例3：m取何值時，下列函數是二次函數？

y=（m+1）xm2-2m-1+（m-3）x+m.

設計意圖：APOS理論中的“對象階段”是將過程看作是一個整體，并將其上升為一種意識，作為獨立的對象，不斷地理解概念的本質. 例1引導學生從中理解二次函數的不同在于a，b，c的不同，為接下來學習二次函數的不同表達形式鋪路，打下基礎. 例2引導學生注意這里是“函數”而不是“二次函數”，讓學生體會系數對函數的影響，認識到研究函數其實就是研究相應系數的變化，這樣更能深刻理解二次函數的概念. 例3考查學生是否理解二次函數的概念，看學生是否考慮到自變量的最高次數為2，是否考慮到二次函數有意義的前提條件是二次項系數不為0. 這三道例題由淺入深，循序漸進，不斷引導學生理解二次函數的概念.

（4）圖式階段（Scheme）——實際應用，形成圖式.

例4：張大爺用20 m長的籬笆圍成一個一邊靠墻的長方形菜園，和墻垂直的一邊長為x m，菜園的面積為y m2，求y與x之間的函數關系式，并說出自變量的取值范圍. 當x=3 m時，計算菜園的面積.

例5：（拓展與提升）若函數y=x2m+n-2xm-n+3是以x為自變量的二次函數，求m，n的值.

設計意圖：活動、程序、對象可以看作數學知識的三種形態，而圖式就是這三種知識形態構成的一種認知結構. 例4體現了二次函數在日常生活中的基本應用，通過練習，學生對概念的理解上升到抽象層面. 同時，體會數學中通過函數建模來解決實際問題的思維方法. 例5考查的是學生對概念的理解運用能力，學生往往能夠寫出其中的幾種答案，但是寫全的不多，這里引導學生變換角度思考問題，培養學生分類討論問題的能力.

（5）課堂小結.

①二次函數的定義.

②二次函數的特殊形式有哪些？一個函數是不是二次函數關鍵看什么？

課后作業：略.

教學思考

在APOS理論的指導下，“二次函數”的教學案例圍繞“活動”“過程”“對象”和“圖式”四個階段實施概念教學，循序漸進，讓學生在概念發展的過程中體驗、經歷生動的思維活動，加深對概念的認識和理解，從而實現概念的建構. 但在運用APOS理論指導數學概念教學時需要注意以下幾點.

1. A-P-O-S四階段是一個相對連續的過程

這四個階段代表著概念在學生腦海中建立起來的四個階段，而且是相對連續的過程，不能跳過中間的某個階段，任何一個階段都是不可或缺的. 數學概念的建構是從感性到理性、從具體到抽象、從特殊到一般、從簡單到復雜的過程，必須遵循循序漸進的原則.

2. 選取合適的問題情境

活動階段的目的是為了引起學生的興趣，啟動學生的思考. 在這一階段需要以感性材料為基礎，設計的問題情境要注意能提示數學知識的現實背景和形成過程，要適合學生的學習水平和心理建構能力. 因此，在選擇問題情境時要關注下列方面：①可以揭示數學概念的背景和形成過程；②能層層挖掘概念；（3）有些趣味性，能引起學生積極參與.

3. 內容的安排要符合學生的“最近發展區”

在安排教學內容時要由易到難，層層遞進，符合學生的“最近發展區”. 數學知識有很強的邏輯性，前后知識聯系緊密，新知識由舊知識引申、擴展而來，舊知識又能為解決問題服務. 在教學中，教師可以根據學生的差異，幫助學生建立多個遞增的“最近發展區”，使教學過程始終有一定的坡度，使學生“跳一跳就能摘到果子”.