深化初中數學概念理解的教學嘗試

徐鴻飛

[摘 要] 概念是數學知識的基礎，概念教學是數學教學的重要環節. 傳統概念教學重應試而忽視概念構建的過程，這不利于學生數學素養的提高. 基于初中學生的認知特點，構建新的概念教學的模式，可以提高概念教學的效度. 本文以一元一次方程概念為例，從概念教學的若干個環節設計了教學的思路，在預設與生成作用下生成了該概念的模型，促進了學生對一元一次方程概念的深層次認識，從而可以為后續的概念學習奠定基礎.

[關鍵詞] 初中數學；數學概念；概念模型

概念是客觀事物在人腦內的概括性反映，概念是人們理解事物的基礎. 對于教學而言，概念的教學是一個基本任務，初中數學的學習過程，其實就是學生在概念的基礎上構建數學知識的大廈，并進而達到用數學知識解決數學問題乃至生活問題的過程. 但實際教學中，概念的教學又往往不太受重視，因為應試教育背景下，教師更注重學生運用概念的能力，而不是建構、理解概念的能力. 盡管從理論上來說，這有舍本逐末的嫌疑，但客觀上確實不太影響學生應試能力的提升，因而現實當中輕概念教學的現象可以說是非常普遍. 但有一點可以肯定的是，如果在概念教學中忽視了概念建構的過程，那學生即使能夠形成較強的解題能力，那也是大量訓練的結果，并不能說明學生的數學素養得到了提升. 因此，重視概念教學，在概念教學中努力讓學生深化概念理解，仍然應當是每一個初中數學教師應當關注的重點.

初中數學概念教學常態例析

在尋求新的概念教學方式之前，還是有必要梳理常規教學中概念教學的一些優點與不足，這樣才可以更好地認清過去從而尋找新的思路. 現以“一元一次方程”（人教版七年級數學上冊）概念的教學為例進行梳理.

一元一次方程的教學，首先是概念的教學，即首先需要引領學生一起建構一元一次方程的概念. 根據一般教學經驗基礎上形成的直覺感受，這個概念的建立并不難，在實際教學中只要強調“一元”與“一次”就行了. 而這兩個概念也不存在理解上的難點，教學經驗表明，絕大部分學生都能理解“一元”即為“一個未知數”，“一次”就是指“未知數的次數為1”. 因此，在實際教學中，教師通常的做法與教材上的設計基本相同：提供一個實例，讓學生設出一個未知數，去建立一個等式，然后判斷其中的未知數個數與次數. 這樣的例子可以同時提供兩至三個，這樣就可以歸納出不同一元一次方程的特征：一元與一次. 進而就可以得出對一元一次方程的理解.

這樣的教學可以說是直接瞄準一元一次方程本身的，設計的初衷就是：只要認識了一元與一次，那就認識了一元一次方程. 那么，實際情形是否完全如此呢？筆者的教學經驗以及與同行的交流結果讓自己發現，實際情形與這樣的教學設計初衷還是存在差異的. 經驗表明，學生難以有清晰的思路去建立等式，甚至有學生連等式或方程的概念也是理解不透的. 對他們而言，此時的一元一次方程概念的教學，就有點類似于建造空中樓閣的意思. 也就是說，一元一次方程的概念從某種程度上講，應當是等式、方程、元、次數等基本概念的復合概念，好的概念教學應當注重這些基礎，并在這些基礎之上創設情境并進一步引導. 這其實就是概念教學強調的內涵與外延.

探究數學概念教學的新思維

基于以上分析，筆者以為，初中數學概念需要創新教學思路，而這就意味著教師自身要有新的教學思維. 問題的關鍵在于，新的思維從哪里來？筆者的探究經驗告訴自己，應當從研究學生構建數學概念的規律中來. 現仍以一元一次方程概念的教學來說明.

一元一次方程概念的建立需要遵循哪些規律？對這個問題的回答可以從以下幾個層面來進行. 從概念本身的構建來說，上面已經提到，這需要學生對等式、方程、元、次數等更基本的概念完全理解；從教學的角度來說，教師必須了解學生的情況，判斷學生對這些基本概念掌握得怎么樣，但這并不意味著教師非得要跟學生一起回顧甚至是重新講解這四個基本概念；從學生構建概念的思維過程角度來說，不同學生個體由于原先基礎不同，思維能力強弱不同，由于對教師所講授的知識的接受程度不同，他們對一元一次方程概念的理解水平也會有高低. 這三個角度分析下來的結果就是學生在概念學習中的共性，以及可能出現的差異性.

從提高學生關于一元一次方程的共性認識，化解學生個性認識中的難點角度來看，教師所設計的具有統一性的教學流程或許應當是這樣的：

其一，于情境中產生問題，進而產生概念構建的動力. 一元一次方程是一個純粹的數學概念，但在生活中卻尋找到其源頭，利用這些源頭可以創設情境，從而讓學生產生構建概念的動力. 筆者設計的情境嚴格來說是一種思維情境，因為一元一次方程學生在小學階段已經接觸過，只是他們沒有從“元”和“次”的角度去進行認識而已. 因此，筆者讓學生自己去設計出一個問題，并且可以通過方程來解決. 這是一個發散性的問題情境，學生的答案除了簡單的x+5=6，x×3=9之外，也有類似于這樣的式子. 這種發散性情境最大的好處在于可以通過學生的思維提供出大量的一元一次方程，從而為下一步的規律概括提供了基礎. 又因為這是學生自己思考出的結果，因而可以讓學生在下面的學習中充滿動力.

其二，運用基本思維方法，概括出概念背后的規律性. 這里所用的方法主要是邏輯方法，即分析與歸納. 分析學生得出的這些方程，教師引導其從未知數的個數與次數的角度來進行分析，很容易便可以發現其規律性，即一元與一次. 這個時候筆者還提供了另外幾個一元二次、二元一次、二元二次方程供學生比較，這樣學生就能較好地從元與次的角度來把握一元一次方程的特征——幾元幾次方程，其實就是看未知數的個數與次數.

其三，借助于數學語言，描述這種規律性. 這個時候，“元”與“次”還沒有成為學生的語言，筆者以為教師不要急著給出這兩個名稱，而應當讓學生嘗試用自己的語言去描述這些方程的不同. 于是有學生會說，這種只有一個未知數且次數為“1”的方程可以叫作“一一方程”，相應的也就有了“一二方程”“二一方程”“二二方程”，而別的學生的反駁也有道理：如果未知數較多怎么辦？只用數字不就分不清了嗎？也有學生取名為“一未一次方程”. 這樣的語言與數學語言已經極為相似，在這樣的基礎上，給出“元”與“次”的稱謂，往往一元一次方程的概念便水到渠成了.

其四，借助于新的情境，體驗數學概念的外延. 概念外延是理解概念的極為重要的途徑，一元一次方程概念的外延有兩個層面的意思：一是具體一元一次方程向一般形式轉變；二是新情境中一元一次方程的認知. 從x+5=6到ax=b（a≠0）的轉變，對于學生來說是一個很大的變化（這種變化直到初三年級的數學及其他學科的學習中影響仍然存在），意味著學生思維加工的對象不只是具體的一元一次方程，更應當是不同方程的一般形式，從此以后，符號表達式應當成為數學學習的重要對象. 此外，教師還可以提供新的問題，以讓學生感知一元一次方程的應用，限于篇幅，此處就不贅述了.

數學概念教學需要提取模型

事實上，在上述教學設計與實施的過程中，有一個重要的因素在概念構建的過程中作用越來越明顯，這就是概念模型的建立. 筆者以為，任何一個重要的數學概念的教學，都必須重視概念模型的提取.

一元一次方程是初中階段系統學習的第一個重要概念，是數學中具體的由數向抽象的符號轉變的第一個重要場所. 在這個概念的教學中，如果能夠幫學生形成良好的概念模型的意識，那對以后的數學概念的學習尤其是方程、函數等概念的學習將有著極大的好處.

一元一次方程概念教學中所需要建立的概念模型就是其一般形式，只是這個形式需要對每一個細節做出強調：為什么必須用一般形式？這是因為一般形式才能夠代表所有的一元一次方程、為什么要強調a≠0？這是因為假如a的值為0，則式中將無未知數，自然也就談不上方程. 需要進一步強調的是，將來還會遇到類似的方程的一般形式，同樣會有此類強調. 為什么其一般形式不是ax+b=c？（這是筆者教學中一個學生實際的問題），這是因為其不如前面給出的ax=b那么簡潔（這個問題可以交由學生自己去回答）.

在這樣的師生問答過程中，學生可以逐步形成一個認識：方程必須有未知數，未知數的個數可以有若干個，未知數的次數可以是多次的，方程可以用一般形式來表示……等到將來函數的學習，其一般形式亦可由方程的一般形式導出，而此處其實就是為新的知識的學習奠定了基礎. 研究至此，相信同行們都已經明白，所謂基礎的奠定，其實就是概念模型在起著作用，只有學生對一元一次方程的概念模型掌握到位，將來在學一次函數的時候，才能順利構建出新的概念.

總的來說，初中數學概念的教學需要基于學生的概念構建規律，創新教學思路，尤其是要從基礎概念的強化與概念模型的建立角度來進行，這樣才能讓某些基礎概念的學習真正成為其他數學概念構建的真正基礎.