幫助學生從直觀到抽象的過程中理解算理

林曉

[摘 要] 數與運算在小學數學課程中占有非常重要的地位。因此，在小學階段的教學過程中，培養具備基本運算技能的學生以及讓學生形成一定的計算能力則成了數學教師們的首要任務。然而，在計算教學過程中，算理的理解則是學生們掌握具體的計算方法，形成計算技能的重要前提。低年級的學生需要在具體的情境中，通過具體操作實踐來更好地理解抽象的算理，從而有效地提高學生的計算能力。

[關鍵詞] 小學數學教學；直觀；算理

【教學內容】

《義務教育教科書數學》（青島版）六年制二年級下冊《有余數的除法》信息窗第1課時第2—5頁。

【教材簡析】

本節課是在學生已經了解了除法的意義、掌握了用口訣求商的基礎上，進行擴展和延伸。教材選擇了學生感興趣的野營活動作為教學素材，引導學生發現生活中的“余數”現象，體驗生活中的數學應用，感受到有余數的除法就在身邊，加強學生對“有余數的除法”意義的認識。

【教學目標】

1.結合具體的情景初步感知有余數除法的意義，通過實踐操作，能正確讀寫有余數的除法算式。

2.通過分一分、擺一擺、寫一寫、議一議等活動，經歷余數產生的過程，借助幾何直觀培養觀察、分析和概括能力，在具體情境中，初步探索余數比除數小的規律。

3.培養學生獨立探索的意識，感受有余數的除法與現實生活的密切聯系。讓學生能夠主動參與學習活動，在探究過程中，逐步提高提出問題、解決問題的意識和能力，形成初步的合作意識。

【教學重點】

結合具體情景初步感知有余數的除法的意義，能正確讀寫有余數的除法算式，明確除法各部分表示的意義。

【教學難點】

在操作、比較的過程中，探索發現余數比除數小的規律。

【教具準備】

課件、小磁板、磁力貼。

【教學過程】

一、由創設情境激發學生興趣

出示情境圖（如下圖所示）談話引入：“春天真是個美麗的季節，公園里有4個小朋友正在游玩。午飯時間到了，瞧，他們帶了這么多好吃的，咱們幫他們分一分吧？”

設計意圖：從學生熟悉的生活用品入手，開門見山，借助學生已有的認知經驗，激發學生學習欲望，自然導入新知。通過展示主題圖，引導學生體會有余數除法在生活中的實際作用，使學生感覺到提出計算問題的現實意義。

二、引導學生操作探究

（一）借助直觀操作，感受余數產生的過程

1.出示甜甜圈的圖片：小明帶了一盒甜甜圈，要和大家分享。這盒甜甜圈一共有9個，平均分給4個人，如何分？

2.用9個小圓片代替9個甜甜圈，分一分（學生獨立完成操作）。

設計意圖：學具操作能使抽象的數學知識變得明了，使學生由被動地接受數學知識，轉向主動地探究和主動思考。通過動手操作，引導學生通過直觀操作體會到平均分有剩余的情況，初步感受余數產生的必要性。

3.請學生到講臺位置實踐分配，其他同學仔細看，與自己的分配方法有何不同

預設：①一個一個地分，每個人分得2個，還剩1個；②兩個兩個地分，每個人分得2個，還剩1個。

師：說一說你是怎樣分的？大家有問題要問嗎？為什么剩下的1個不繼續分下去了呢？（引導學生說出每個人分不到1個了，所以不再繼續分。）

4.總結：不管怎樣分，最后的結果其實都一樣。

5.引導學生用算式把剛才分甜甜圈的過程表示出來。

6.總結板書：9÷4=2（個）……1（個）。這個算式讀作：9除以4 商2余1。

理解算式的各部分表示的意義：在這里9表示什么4表示什么2表示什么1表示什么？讓學生完整地說出這個算式表示的意義。

設計意圖：通過創設便于直觀操作的的問題情境，喚醒學生已有的關于平均分的知識和經驗，為新知識找到生長點，同時將研究的內容直接指向有余數的除法。引導學生經歷從實物抽象到圖形再到算式的過程，給學生提供嘗試“創造有余數算式”的機會，讓每一個學生在充分獨立思考的基礎上，通過小組交流，展示不同的想法，在不斷的對比反思中形成共識。學生嘗試的過程，既是一個自主探索的過程，又是一個集思維、實踐、解惑為一體的感悟生成過程，較好地培養了學生的自主探究、合作交流能力與創新意識。通過動手操作，引導學生經歷平均分的過程，體會到平均分有剩余的情況，初步感受余數產生的過程。借助直觀操作、課件演示等手段，幫助學生理解有余數除法的意義。

（二）理解余數的意義

1.師：剛才，我們一起幫助4個小朋友們分享了9個甜甜圈，小朋友們還帶了10根香腸、11個壽司、12根棒棒糖、13個橘子，都要平均分給4個小朋友，如何分？每個人任選一種食品，先動手分一分，再把算式寫在活動記錄單上。道具不夠的時候，可以從老師發給你們的小袋子里數出。

實踐過程反饋：

（1）分10碗方便面：10÷4=2（個）……2（個）。

師：這個算式表示的意義是什么？這兩個2表示的意義相同嗎？

（2）分11瓶礦泉水：11÷4=2（瓶）……3（瓶）。

師：這3瓶能繼續平均分給4個人嗎？

（3）分12根香腸：120÷4=3（根）。

師：你是怎么想到3的？（引導學生說出用口訣求商的辦法）為什么這個算式沒有余數？

（4）分13個香蕉：13÷4=3（個）……1（個）。

師：用什么方法算的？鞏固口訣求商的方法。

（5）分14個橘子：14÷4=3（個）……2（個）。教師引導學生比較為什么同樣是分給4個人，每人都分得3個，但一個余數是1，一個余數是2的原因。

2.觀察比較，揭示“余數”的意義。

師：迅速收起你的小題板，眼睛看屏幕。剛才我們在幫助小朋友們分享美食的過程中，得到了這些除法算式。一起看：

9÷4=2（個）……1（個）

10÷4=2（根）……2（根）

11÷4=2（個）……3（個）

12÷4=3（根）

13÷4=3（個）……1（個）

師：這些是（指被除數）？這是（指除數）？這是（指商）？這是什么？你能給這些剩余的數起個名字嗎？就叫余數。

（板書“余數”。）

師：像這樣的除法就叫做有余數的除法。今天，我們就來研究有余數的除法。（板書課題）

師：我們用這么多有余數的除法解決了問題，在生活中，我們還會經常用到有余數的除法。有余數的除法到底還藏著什么秘密？你想不想自己來研究呢？

設計意圖：這一環節的設計注重讓學生在動手分配的過程中，感受生活中分配不均的情況，大量的動手操作，充分的互動交流，可以幫助學生直觀地理解余數的含義。幫助學生把困難的數學問題變得容易，把抽象的問題變得直觀，把復雜的問題變得簡單。此環節借助幾何直觀、師生對話、生生對話來理解抽象算式中每個數表示的意義，建立“形”與有余數除法算式之間的聯系。

（三）探索余數與除數的關系

師：觀察這些算式中的余數，發現了什么？

9÷4=2（個）……1（個）

10÷4=2（根）……2（根）

11÷4=2（個）……3（個）

12÷4=3（根）

13÷4=3（個）……1（個）

預設：余數總是1、2、3。

提問：為什么余數總是1、2、3，而不是其他數？

預設：是4就夠繼續分。

引導總結：余數比除數小。解決問題后應鼓勵學生。

設計意圖：通過引導學生有層次的思考，加深對有余數除法意義的理解。引導學生發現“余數和除數的關系”，引導學生認真觀察算式中的余數，自主發現余數的特點。進一步探究“余數和除數的關系”，引導學生在觀察、比較的基礎上發現“余數比除數小”。

三、建立運算模型鞏固新知

（1）先連一連，再填一填

設計意圖：本節課之中從學生熟悉的生活背景中選取素材，學生經歷了“問題情境—建立模型—解釋應用與拓展”的過程，感悟到數學與生活的緊密聯系，建立了有余數除法的模型，滲透了模型思想。練習環節又回到情境中，保證了情境的完整性。

四、回顧反思，總結提升

師：同學們，不知不覺一節課已經接近尾聲了，這節課你有收獲嗎？一起來看著黑板或者大屏幕說一說，你有哪些收獲？也可把你的收獲回家說給爸爸媽媽聽。

課后反思：本節課教學秉持“以學生發展為本”的理念，基于學生的實際，鉆研教材，另辟蹊徑，整體建構知識結果，收到了良好的教學效果。

（一）借直觀操作助推思考，促進概念理解

“幾何直觀”是《新課程標準》中新增加的核心概念，它可以幫助學生直觀地理解數學。本節課使學生借助幾何直觀進行思維，學習和理解有余數的除法的意義，教學中通過分一分、擺一擺、寫一寫、議一議等活動，化“數”為“形”，建立“形”與有余數的除法算式中的“數”之間的練習，憑借圖形的直觀特點將抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機地結合起來，充分展現有余數除法產生的必要性，利用幾何直觀幫助學生突破數學理解上的難點。以“形”助“教”，不僅幫助學生體會“平均分以后有剩余”的現象，認識余數產生的價值，同時促進學生理解抽象的算式中每個數表示的意義，更以相對直觀的數學對象為基礎在自己的頭腦中對除法運算進行理性重建。

（二）關注經驗積累，發展思維能力

余數與除數的關系是這部分內容的重點。因此教師在教學時不要輕易告訴學生這一結論，而是設計分層問題，引導學生思考、討論、操作、猜想，驗證，親歷這些數學活動，讓孩子們在活動中經歷知識產生的過程。抽象概括是內化活動經驗的關鍵，在解決了大量的生活實際問題后，再引導他們觀察、發現余數與除數之間的關系，這樣會更有說服力。

總之，直觀操作活動中可以讓學生最大限度地動手操作、觀察、思考與交流創造，使學生在操作中獲得積極主動的情感體驗，在愉悅的心境中輕松獲得知識，在活躍的課堂氛圍中激發學生思維，促進數學學習活動更有效。讓學生通過實踐活動發現規律、概括特征、掌握方法，在體驗中領悟數學、學會想象、學會創造，在這些活動中濃縮、抽象、概括。學生在直觀操作到抽象思維的過程中理解算理，內化知識。教師適時地加以點撥和鼓勵，引導學生在寬松、和諧的氛圍中萌發創新意識，這樣的數學活動，較好地體現了“不同的人在數學上得到不同的發展”，從而促進了學生數學抽象思維的發展。

責任編輯 滿令怡