解析高中數(shù)學中的基本函數(shù)

彭勇

【摘 ? ?要】基本初等函數(shù)，是高中學習的主要內(nèi)容之一，同時，也是高中學習的重點之一。基本初等函數(shù)包括：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，三大函數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別便是學生要掌握的要點。數(shù)學老師在函數(shù)的教學計劃中都分配了較多的課時，誠然，函數(shù)的學習是數(shù)學的重點，那么解析基本初等函數(shù)就能在一定程度上幫助學生更加深入的理解數(shù)學理論。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學 ?基本初等函數(shù) ?解析 ?考點 ?理論

中圖分類號：G4 ? ?文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2016.03.084

函數(shù)是高中階段數(shù)學學習的重點內(nèi)容之一，其運算的復雜性讓很多學生難以掌握，對學生的全面發(fā)展造成了一定的影響。在此，我將結(jié)合自身的教學經(jīng)驗對高中的基本函數(shù)進行相關(guān)的解析，希望對大家有所幫助。

一、初等函數(shù)的學習要求

1.能進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學模型，在此的基礎(chǔ)上學習用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)的關(guān)系，刻畫函數(shù)概念中的作用。此外，了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域。同時，了解與學習函數(shù)時，也要了解映射的概念，這樣觸類旁通式的學習，才能讓數(shù)學的教學變得更加簡捷。

2.學生能在實際情景中，根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ā＠纾瑘D像法、列表法、解析法等表示函數(shù)，會求解函數(shù)的基本表達式，以及表達式中參數(shù)所表示的意義。

3.了解簡單的分段函數(shù)的定義、形式、結(jié)構(gòu)，并且能根據(jù)已經(jīng)了解到的知識，進行具體的實際操作。

4.能夠通過已經(jīng)學習過的函數(shù)，特別是像二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值以及它們的幾何意義，還能結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義。

5.學會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)既是解決問題的方法，同時，也是解決問題的手段，面對不同的問題，會有不一樣的方法來解決。一般能用函數(shù)解決的問題，都會是用函數(shù)來解決，不僅因為函數(shù)的直觀可見，而且函數(shù)能形象地將問題反映在一張圖表上。讀者想要的答案，就在圖表隱藏的位置，只要稍微地動動腦筋，答案便就出來了。誠然，函數(shù)的學習是重要的。教師培養(yǎng)學生看圖、讀圖、解圖“三步走”的能力，同時，也是培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)換思維的能力。

二、指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)是數(shù)學中重要的函數(shù)之一。它的一般的形式為：y=a^x（a>0且a≠1）（x∈R）。此外，還會應(yīng)用到e上的這個函數(shù)寫為exp（x），還可以等價寫為e，這里的e是數(shù)學常數(shù)，就是自然對數(shù)的底數(shù)，近似等于2.718281828，稱為歐拉數(shù)。下面是指數(shù)函數(shù)的圖像：

對于初等函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的學習，特別要掌握指數(shù)函數(shù)的圖形，以及它的基本表達式的寫法，因為，指數(shù)函數(shù)的圖像是屬于比較復雜的一類。由上圖可知：它的圖像關(guān)于y軸對稱，不同a的大小，圖形曲線的表達形式也不一樣。需要分類討論即：

1.由指數(shù)函數(shù)y=a^x與直線x=1相交于點（1，a）。在y軸的右側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大。

2.由指數(shù)函數(shù)y=a^x與直線x=-1相交于（-1，1＼a）。在y軸左側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小。

3.指數(shù)函數(shù)的a一定是大于零，當a>1時，指數(shù)函數(shù)對于x的負數(shù)值非常平坦，對于x的正數(shù)值迅速攀升，在x等于0的時候y等于1。

當然，指數(shù)函數(shù)只是一種解決問題的方法或者稱為手段，歸為本質(zhì)的便是：回歸課本，解決課本中的問題，卷子的試題，解決在實際生活中遇到的數(shù)學問題。最主要的還是，學生自身對知識的不斷積累與拓展，最終使得自己在同一學習環(huán)境中出類拔萃，同時在高考中出類拔萃，斬獲高分。

對此，了解指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用能幫助學生更好地學習函數(shù)的具體應(yīng)用，在教師的教學中，學生也能配合教師的教學計劃，將課堂更好地利用。指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用是非常廣泛的。例如，細胞的分裂、考古中所用的c的衰減、藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等。具體的問題具體分析，對于不同的實際問題，學生要學會歸納與總結(jié)，將同一類的問題歸一為一個具體的模型，以便以后再遇到此問題時，能很快速地解決問題。

三、對數(shù)函數(shù)

一般如果a（a大于0，且a不等于1）的b次冪等于N（N>0），那么數(shù)b就叫做以a為底N的對數(shù)。記作logaN=b。對數(shù)函數(shù)的圖像為：

對數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用沒有指數(shù)函數(shù)那么多，相反的，對數(shù)函數(shù)的題型更多的是，掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，會利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解決變形的題目，達到邏輯思維的高度訓練;不斷鍛煉學生自己縝密的解題思路，從而做到細節(jié)完美化。

對于對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是高中函數(shù)教學計劃中必須掌握的內(nèi)容。對數(shù)函數(shù)最多的題型是：利用其性質(zhì)轉(zhuǎn)換題型，然后解題。誠然，性質(zhì)的學習、理解、掌握是第一步，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，可以很快速地得出兩個函數(shù)值之間的大小關(guān)系。如果底數(shù)一樣，真數(shù)越大，函數(shù)值越大。（a>1時）如果底數(shù)一樣，真數(shù)越大，函數(shù)值越小。（0

當a>0且a≠1時，M>0，N>0，那么：

（1）log（a）（MN）=log（a）（M）+log（a）（N）;

（2）log（a）（M/N）=log（a）（M）-log（a）（N）;

（3）log（a）（M^n）=nlog（a）（M） （n∈R）.

四、冪函數(shù)

冪函數(shù)的基本形式為：y=x^a（a為常數(shù)），即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，不外乎就是將底數(shù)與指數(shù)進行轉(zhuǎn)換，因此，指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的聯(lián)系最為密切，通過指數(shù)函數(shù)的圖像，可以類比推出冪函數(shù)的圖像。對于每一個函數(shù)的學習，圖像是能直觀與形象地展示函數(shù)性質(zhì)的最好的表達形式之一，誠然，圖像的學習也是在教學大綱中，被教師經(jīng)常提及的。以下便是冪函數(shù)的圖像：

對于冪函數(shù)，教師較為注重的是：冪函數(shù)的常數(shù)a，因為不同的a對應(yīng)的函數(shù)的圖形存在差異，因此，冪函數(shù)的圖像是三個初等函數(shù)中，最為復雜的一個。同時，冪函數(shù)的應(yīng)用最多的也是不同a值所對應(yīng)的圖形，然后利用圖形解決變換問題。

五、三者之間的解析

對于高中數(shù)學的學習，不僅是難度的加深，深度的變廣，范圍的擴大，更是一種思維的訓練。像數(shù)學中的集合、空間幾何體、點、直線、平面之間的位置關(guān)系、圓與方程等等知識的范圍越來越多。學習的難度越來越深，對于函數(shù)的學習，也是如此。正確把握函數(shù)之間的關(guān)系與邏輯思維，掌握解題的思路與技巧，函數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別，將函數(shù)的模型運用到實際的生活問題當中來，無論是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)還是冪函數(shù)，它們的運用價值都是極其大。

將指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像，進行分析、對比然后總結(jié)出各個圖像之間存在的差異，以及它們之間的聯(lián)系，會從它們基本的形式結(jié)構(gòu)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、連續(xù)性、凹凸性等不同的指標，正確分析每一個函數(shù)的特點，然后能準確掌握，并運用。

近幾年，隨著課改腳步的推進，數(shù)學的學習越發(fā)變得緊張。高中面臨的問題，畢竟是高考，所以教師需要在了解改革體制的同時，加強教育教學模式，不斷進取、不斷創(chuàng)新、不斷開拓，為學生的學習提供更加優(yōu)秀的教學計劃。