例談全等三角形問題中常見的輔助線的作法

李蓉

【摘 要】“全等三角形的證明”是在初中數學平面幾何中的重要內容之一，是研究圖形性質的基礎，而且在近幾年的中考中都有出現，新課標的要求是“探索并掌握兩個三角形全等的條件”，因此掌握三角形全等的證明及運用方法對初中生來說至關重要。其證明方法繁多，技巧性強，有一定的通法，所以研究范圍極廣，難度極大.論文整理和歸納了全等三角形問題中常見的輔助線的做法。分別列舉了幾種常用的輔助線的經典例題及解析，讓每一種方法兼有理論與實踐性.旨在使學生對全等三角形證明及其應用問題有一個較為深入的了解，進而在解決相關全等三角形問題時能融會貫通、舉一反三，達到事半功倍的效果。

【關鍵詞】全等三角形；初中數學；常見輔助線；中考真題

【全等三角形輔助線做法口訣】

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看，對稱以后關系現。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構造全等三角形，構造二條邊之間的相等，二個角之間的相等。

遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”法構造全等三角形.

遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉” 法構造全等三角形.

遇到角平分線的三種添輔助線的方法，①可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。②可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形。③可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構造一對全等三角形。

過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”

已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，出一對全等三角形。

特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答。

一、倍長中線（線段）造全等

例1.如圖，已知CB、CD分別是鈍角△AEC和銳角△ABC的中線，且AC=AB，給出下列結論：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，則以上結論正確的是（）

A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 答案：A

解題思路：①正確，延長CD至點F，使得DF=CD，連接AF，可先證明△ADF≌△BDC，再證明△ACF≌△BEC，由這兩個三角形全等可以得知②、④正確。由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E，若要∠ACD=∠BCE，則需∠E=∠BCE，則需BC=BE，顯然不成立，故③選項錯誤

二、截長補短（通常用來證明線段和差相等）

截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。

例2.已知，如圖1-1，在四邊形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC.

求證：∠BAD+∠BCD=180°. 分析：因為平角等于180°，因而應考慮把兩個不在一起的通過全等轉化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關鍵在于構造直角三角形，可通過“截長補短法”來實現。

證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點E，作DF⊥BC于點F，如圖1-2

∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，

在Rt△ADE與Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），

∴∠DAE=∠DCF.

又∠BAD+∠DAE=180°，

∴∠BAD+∠DCF=180°，

即∠BAD+∠BCD=180°

例3.已知：如圖4-1，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2.

求證：AB=AC+CD.

分析：從結論分析，“截長”或“補短”都可實現問題的轉化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.

證明：方法一（補短法）

延長AC到E，使DC=CE，則∠CDE=∠CED，如圖4-2

∴∠ACB=2∠E，

∵∠ACB=2∠B，∴∠B=∠E，

在△ABD與△AED中，

∴△ABD≌△AED（AAS），∴AB=AE.

又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.

方法二（截長法）

在AB上截取AF=AC，如圖4-3

在△AFD與△ACD中，

∴△AFD≌△ACD（SAS），∴DF=DC，∠AFD=∠ACD.

又∵∠ACB=2∠B，∴∠FDB=∠B，∴FD=FB.

∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.

上述兩種方法在實際應用中，時常是互為補充，但應結合具體題目恰當選擇合適思路進行分析。讓掌握學生掌握好“截長補短法”對于更好的理解數學中的化歸思想有較大的幫助。

三、平移變換

若題目中含有中點可以試過中點作平行線或中位線（平行且等于第三邊的一半），對直角三角形，有時可作出斜邊的中線.

例4、如圖，在?ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：.

解析：先連接AF并延長至G，使FG=AF，其中F是BC的中點，連接GB，GC，GD，GE.可知四邊形ABGC，四邊形ADGE是平行四邊形，延長AD至H，交BG于H.運用三角形的三邊關系：“兩邊之和大于第三邊”即可進行證明。

證明：連接AF并延長至G，使FG=AF，其中F是BC的中點，連接GB，GC，GD，GE

∵BD=CE

∴DF=EF

∴四邊形ABGC，四邊形ADGE是平行四邊形

∴BG=AC，DG=AE

延長AD至H，交BG于H

∵，

∴

∴

即

點評：本題考查了三角形三邊關系，將證明邊的大小關系的問題轉化為三角形三邊關系問題是解題的關鍵，本題借助輔助線DH起樞紐作用。

方法2：取BC中點M，連AM并延長至N，

使MN=AM，連BN，DN

∵BD=CE∴DM=EM

∴（SAS）

∴DN=AE

同理BN=CA

延長ND交AB于P，則，

相加得：

各減去DP，得：

∴

四、借助角平分線造全等

不管是兩個圖形軸對稱還是軸對稱圖形，我們都不難發現軸上一點（此點作為頂點）與對應點組成的角被軸平分，方便我們在做題中如果遇到角平分線我們就會聯想到，以角平分線為軸構造對稱（全等），從而把線段、角轉移達到解題目的。

例5.如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

（1）如圖②，在?ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；

（2）如圖③，在?ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（1）中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

解：（1）FE與FD之間的數量關系為（2）答：（1）中的結論仍然成立。

證法一：如圖1，在AC上截取AG=AE，連結FG

∵∠1=∠2，AF為公共邊，

∴

∴∠AFE=∠AFG， FE=FG

∵∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線

∴∠2+∠3=60°

∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°

∴∠CFG=60°

∵∠3=∠4及FC為公共邊

∴

∴FG=FD

∴FE=FD

證法二：如圖2，過點F分別作FG⊥AB于點G，FH⊥BC于點H

∵∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線

∴可得∠2+∠3=60°，F?ABC是的內心

∴∠GEF=60°+∠1，FH=FG

又∵∠HDF=∠B+∠1

∴ ∠GEF=∠HDF

∴可證

∴ FE=FD

五、通過旋轉構造全等

對題目中出現相等的線段有一個公共端點時，可嘗試用旋轉法來構造全等三角形

例6.（2013·河南）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

（1）操作發現如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空：

①線段DE與AC的位置關系是 ；②設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數量關系是 .

（2）猜想論證

當△DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC

中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想.

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，點D是其角平分線上一點，BD=CD=4，DE//AB交BC于點E（如圖4）.

若在射線BA上存在點F，使S△DCF=S△BDE，

請直接寫出相應的BF的長.

【解析】①由旋轉可知：AC=DC，∵∠C=90°，∠B=∠E=30°，∴∠A=∠D=60°∴△ADC是等邊三角形，

∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=60°∴DE∥AC

②過D作DN⊥AC交AC于點N，過E作EM⊥AC交AC延長線于M，過C作CF⊥AB交AB于點F。

由①可知：△ADC是等邊三角形，DE∥AC，∴DN=CF，DN=EM，∴CF=EM，∵∠C=90°，∠B=30°，∴AB=2AC，又∵ AD=AC ∴BD=AC

∵ ∴S1=S2

證明∵DCE=∠ACB=90°，∴∠DCM+∠ACE=180°

又∵∠ACN+∠ACE=180°，∴∠ACN=∠DCM

又∵ ∴△ANC≌△DMC∴AN=D又∵CE=CB，∴

【解析】如圖所示，作DF1∥BC交BA于點F1，作DF2⊥BD交BA于點F2。

按照（1）（2）求解的方法可以計算出

全等三角形的證明問題，就其方法而言，沒有定法可套，有較大的靈活性和技巧性，而且全等三角形證明歷來是中學、特別是初中數學教學的一個重點和難點，本文系統地歸納整理了幾類比較難的全等三角形的證明方法，如若學生在掌握全等三角形的基礎知識以后，能夠靈活應用文中幾類方法和思想，以其為指導，全等三角形問題將能夠迎刃而解，使得解決全等三角形問題時思路清晰，運算簡便.尤其是應用構造法，架起一座連接條件和結論的橋梁，在解決一些全等三角形問題時作用很大。