高中數學發散性習題教學思路探析

呂從利

[摘 要] 習題教學是高中數學教學中的重點. 習題教學要遵循傳統與現代教學的原則，發散性習題教學在培養學生解題能力、提高學生數學理解能力，以及提升學生的數學學習品質方面有不可替代的作用，在高中數學教學中必須堅持. 當然，其也需要與現代學習方式相結合.

[關鍵詞] 高中數學；習題教學；發散性習題教學

高中數學教學中通過習題來強化學生對數學知識的理解，進而培養學生的數學思維，是一條基本且被證實有效的教學途徑. 面對新的教學要求，面對新時期下學生數學素養提升的需要，習題教學如何在傳統與創新之間尋求一種有效的結合，成為當下高中數學教師必須面對的重要課題. 筆者以為解決這一課題，需要建立基本的認知指向：一方面不能忽視傳統，不能用空洞的所謂創新來否定傳統習題教學中的有效做法，畢竟多年來高中數學教學中積淀下來的許多做法對于培養學生的數學思維是非常有效的；另一方面又不能囿于傳統，傳統的數學教育尤其是應試狀態下的數學教學，確實存在著許多機械、重復、灌輸的弊端，這是在習題教學研究中需要規避的. 筆者以為，傳統數學教學中有一種方法值得傳承，那就是發散性的教學思路，但同時其又要與現代教學理念與教學方式結合起來，這樣才能在新的教學背景下發揮其新的魅力. 本文嘗試對此做出闡述.

[?] 高中數學發散性教學思路簡析

習題教學最直接的指向就是數學知識的運用，在這里需要闡述的一個觀點是：當前的高中數學有研究新題的習慣，這是一件好事，因為新題往往能夠用新的背景去較好地考查學生對數學知識的掌握情況. 但是需要強調的是，數學習題教學不能一味求新，尤其是在鞏固學生的數學知識基礎與數學知識初步應用的時候，一味地追求形式新穎，往往容易讓學生忽視數學本義. 而筆者的這一觀點在多個場合闡述的時候，也得到了不少一線教師的贊同. 實際上大家對當前的數學習題教學存在一個擔心，那就是一味地追求形式新穎，很可能會讓學生在數學知識理解的過程中，有意無意地忽視了對數學知識本質的理解.

如“最值問題”是高中數學中的一個重要類型，通過不同條件的提供，讓學生基于數學規律（一般是通過公式來進行分析），確定一個最值. 經驗證明，這種類型的數學題，由于思維過程的開放性，由于對數學工具選擇的未知性，因而對學生的思維是非常具有挑戰作用的，進而就能夠很好地激活學生的數學思維. 但是近年來的一些最值問題常常通過一些看似華麗其實無效的信息包裝，這樣學生解題時的注意力會更多地集中在那些無效信息上，對于最值問題的求解思路反而倒忽視了，這也造成相當一部分學生在遇到最值問題的時候，把握不住重點.

基于這一現狀，筆者以為類似于這些數學基礎知識與基本解題能力的培養，一定要返璞歸真，一定要通過“原味”的數學習題，并借助于發散性思路來真正提升學生的解題能力.

所謂發散性習題教學，就是給學生提供一個純粹的數學試題，讓學生運用所學的知識及其之前的解題經驗，從解題思路、發散思路、試題變式、試題立意等多個方面展開思考，以對這一類習題構建一個立體的認識. 事實證明，發散性習題教學相對于一般的習題教學方式而言，其不僅能夠提升學生的解題能力，還能促進學生對數學習題的理解，可以讓學生站在一個更高的高度，可以讓學生從多重角度去理解數學試題的價值. 筆者的實踐經驗還表明，發散性習題教學如果選擇以一些經典、簡潔的試題為“母題”，然后進行多重角度的發散，往往能夠收到更佳的教學效果.

基于新的學習方式的發散教學

課程改革的背景下，高中數學教學追求教學方式的多樣化，筆者所在的地區是教育強省，對于學生自主、合作、探究式的教學方式尤為重視，多年來在課程改革的春風吹拂下，一些課改理念已經成為課堂上的教學自覺. 即使在課程改革進入深水區的今天，雖然課改概念不再滿天飛，但一些被證實為行之有效的教學方式，卻真正成為課堂的常態. 在發散性習題教學的課堂上，這些新的教學方式也有所體現. 下面就選擇一道經典的數學試題為母題，闡述筆者發散性的教學思路.

例：給你五根長度分別為2、3、4、5、6厘米的細棒，你能圍出最大面積為多少平方厘米的三角形？（要求：細棒可以連接，但不可以折斷.）

從題干描述來看，本題極為簡潔，沒有任何華麗修飾，但其在學生的思維中卻可以迅速生成數學表象——學生會在思維中通過想象構建出三角形. 而面向三角形面積所提出的最值問題，就使得學生的數學思維會被迅速激活——他們會思考三角形面積求解過程中，有什么途徑可以用來求最值.

也正是因為學生的這一直覺反應，所以發散性習題教學的第一個步驟是面向解題思路的. 筆者的課堂上，學生的解題思路基本上是這樣的：

思路一：構建三角形. 顯然在構建的過程中，如果一條邊的邊長確定好了，那在另外兩邊之和為定值的情況下，三角形的面積就有可能出現最值. 這也是教學過程中學生的第一思路. 事實證明，這種思路所用到的數學思維是一種“連續思維”，也就是說盡管題目提供的是5根不同長度的細棒——具有“間斷性”，但在學生構建思維表象或者說在建構數學模型的時候，卻在無意當中形成一種連續思維. 而也正是這種連續思維，使得有學生將此問題與橢圓問題聯系了起來：畢竟橢圓的基本理解是到兩定點連線為定值（大于兩點距離）的點的集合. 如果視確定了一邊的兩個端點為定點，則剩下來的細棒長度之和就是一個定值，那么根據橢圓的模型，就可以發現當三角形為等腰三角形的時候面積是最大的. 于是問題的解決就轉換成這5根細棒可以圍成哪些等腰三角形，問題解決的思路也就清晰了. 應當說，這樣的不同知識點之間的聯系，尤其是借助于一個數學知識為另一個數學知識的解決建立模型，本身是本題培養學生思維的重要突破點.

思路二：事實上在上一思路形成的過程中，還有一個小組的學生在組內合作的過程中，提出了一個更為“笨拙”的方法，能不能一個三角形一個三角形去試，首先看能構成哪些三角形，然后看哪個三角形的面積最大. 在實際教學中有一個有意思的細節：當這個小組的學生代表提出這一思路之后，遭到了別的不少學生的反對，反對者認為這一思路太笨，不足以反映數學思維. 但筆者給予了這樣的評價：這實際上是一種窮舉思路，其實也是重要的數學思維方式，盡管其缺少規律性，但在數學探究的過程中很多思維的火花也就是在這種笨拙的思路中形成的. 因此，這個思路并不排斥，只是在運用的時候要注意效率罷了.

思路三：利用“極值定理”中的“和定積最大”. 事實上在第一個思路形成的過程中，有少數學生的切入點正是這個，既然給定了三角形的周長，而三角形的面積最終表現為一種乘積關系，那根據“和定積最大”的規則，就肯定存在一個最大面積. 但是這個思路中有一個挑戰，那就是和定積最大的運用結果是三邊相等時存在最大值，但根據給出的5個數據，是不可能構建出等邊三角形的，那怎么辦呢？當筆者向全班學生提出這一問題之后，沒有急著講思路，而是讓學生去自主思考，然后合作探究. 最后有學生提出：做不到等邊三角形，那就去找最像等邊三角形的三角形，那個就應當是最大面積. 那哪個三角形最接近等邊三角形呢？自然是三邊之差最小的，于是最終探究出了三邊分別為6、7（2+5）、7（3+4）的三角形的面積是最大的.

通過這樣的自主合作探究的過程，學生基本上都是靠自己的思維在解決不斷遇到的問題，由于解題思路的發散性，因此學生的知識綜合能力、問題分析與解決能力，以及重要的數學建模能力等都得到了培養.

發散性習題教學數學思維本質

在發散性習題教學的過程中，筆者特別重視學生的數學思維. 研究發現，數學思維并不是一個空洞的概念，而應當結合學生對習題的分析來形成. 在發散性習題教學的過程中，筆者常常跟學生進行習題立意的研究，因為這樣對于培養學生的數學思維而言有著明顯的促進作用.

習題立意原本是命題者的事情，但對于解題者來說，如果能夠站到這個高度，其解題視角與能力提升往往會有更好的效果. 譬如上題，從知識立意的角度來看，可以讓學生顯性地認識到用到了三角形知識、最值知識、極值定理、組合知識、橢圓知識等；從能力立意的角度來看，可以培養學生數學建模能力，以及將看似無關的知識有效聯系的能力等. 而這些內容如果顯性化，就會在學生后續的解題中發揮一種導引作用，也就是說學生對數學知識的把握不再是內隱的，而是顯性的、可以言語的. 這樣的試題立意的教學，某種程度上講也是傳統習題教學方式的發散，在提升學生解題能力的同時，還促進了學生基于數學知識進行交流、合作的能力，畢竟，學生言之有物了，而不是只會解題卻無法表達.

綜上所述，高中數學教學中，通過發散性的習題教學，可以從應用的角度對學生的能力提升有一個提綱挈領式的把握. 筆者以為，無論教學方式如何變革，這樣的習題教學思路不能丟棄.