關于高中數學向量教學問題的探討

馮杰

【摘要】向量在高中數學教學中具有較強的實用性，尤其是它獨特的數形結合特征，可以幫助我們解決許多數學難題.同時，向量還可以將高中數學的各部分知識有機組合在一起.因此，若要增強高中數學教學的系統性，就必須關注向量教學.本文首先分析了向量在不等式證明、三角函數、平面幾何等方面的應用.又在此基礎上提出了高中數學向量教學的建議，即關注向量的語言教學、強化向量概念教學、提倡向量的探究性教學、在向量教學中滲透數學思想.希望以此促進向量教學的進一步發展.

【關鍵詞】高中數學；向量；建議

早在19世紀數學家與物理學家就已經對向量進行了深入研究，但直至20世紀，向量才被運用到數學領域.到20世紀90年代，向量正式成為高中數學教學重點，被納入高中教學體系.有效利用向量可以解決許多數學問題.向量將數和形有機結合在一起，具有數形結合的特點.它既可以表示物體的長度、面積等，也能夠反映物體的位置.此外，向量還可以將一些抽象問題具體化，轉換為更為直觀的模型，幫助我們分析和解決問題，提高數學教學效率.因此，深入研究向量問題不僅具有理論意義，還具有鮮明的現實意義.

一、向量在高中數學中的應用

1.向量在不等式證明中的應用

高中階段，不等式證明是學生學習的難點，若我們合理運用向量知識對不等式進行適當變形，就會簡化做題過程.例如：不等式（a2+b2）（c2+d2） ≥（ac+bd）2， c≠0，d≠0.證明：當且僅當a/c=b/d時，不等式等號成立.細致觀察此類不等式就不難發現，括號中的部分與向量的數量積類似.所以，我們可以設向量Q=（a，b），P=（c，d）.根據數量積定義，當兩向量平行時等號成立，由平行向量的特點不難得出等式：ad-bc=0.轉換一下就可以得出題中所要的證明結果a/c=b/d.可見，在進行不等式證明時，適當的運用向量知識，將數字轉換為向量，就能夠將抽象的問題具體化，進而簡化解題過程.需要注意的是，在運用向量解決不等式問題時，教師要提醒學生應認真觀察不等式的特點，尋找合適的切入點，然后運用向量逐步解答.

2.向量在三角函數中的應用

三角函數是高中數學的必考內容，同時也是高中數學學習的重難點.教師可以引導學生將一些三角函數問題與向量結合在一起，就可以做到有效解題.例如，在三角形ABC中，若cosA+cosB-cos（A+B）=3[]2，求角A，B的度數.誠然化簡式子求解比較困難.換個角度看，首先，我們可以根據兩角差的余弦公式，將這個等式變換為（1-cosB）cosA+sinAsinB=3/2-cosB.顯然，變換后得到的等式左邊可以看成以下向量的數量積.設向量Q=（cosA，sinA）；P=（1-cosB，sinB）.利用數量積運算并結合數量積定義、性質加以分析就可以得到cosB=1/2.得出角B為600.代入原式即可得到A的度數.通過以上例證可以看到，在三角函數的解答中引入向量，可以使三角函數的關系更加具體，并簡化變形步驟，加快解題速度.

3.向量在平面幾何中的應用

在平面幾何解題中同樣可以引入向量，可拓展并優化解題思路和方法.例如，三角形ABC的頂點坐標為A（2，0），B（-3，1），C（0，-2），若D，E，F分別為線段AB，AC，BC的中點，求解直線DE，EF，DF的方程.可以設D坐標（-0.5，0.5），E坐標（1，-1），F坐標（-1.5，-0.5）.G（x，y）為直線BC上的點，運用BC與BG的平行關系就能夠求解關于直線BC的方程.在平面解析幾何中直線位置關系、線段長度問題等經常轉化為向量的數量積問題求解.可見，在平面幾何中巧妙運用向量及其坐標，可以輕松解決相關幾何問題.

二、高中數學向量教學建議

通過以上分析不難發現，向量在高中數學教學中運用廣泛，學生在解答三角函數、平面幾何等問題時，若能合理運用向量就可以優化和簡化做題步驟，從而提高做題效率.但目前，仍有大部分學生無法靈活運用向量，這說明在向量教學中依然存在較多問題，需要我們繼續深入研究和解決，因此，本文在調查探究的基礎上，提出以下教學建議：

1.關注向量的語言教學

語言作為人類表達情意的重要符號，對人們的溝通交流起著重要作用.數學語言則屬于特殊的形式化符號，將人們的數學思維具體化，使抽象的思維形式以可見的形式展示出來.整體來看，數學語言主要包括圖形語言、文字語言和符號語言.作為一門實用性課程，數學往往將現實問題理論化、抽象化，然后在參照現實的基礎上建立數學模型，進而形成特定的數學語言，根據基本數學原理和公式加以解決.向量則是數與形的結合.因此，若要加強學生對向量的理解和認識，就必須指導學生掌握圖形語言、文字語言和符號語言，并加強學生的數學思維訓練.向量語言是向量教學的基礎，并貫穿始終.在高中數學教學過程中，教師首先要明白學生對向量語言的積累是一個緩慢的過程.因此，在初始階段，學生對向量認識不夠深入，所以不能要求學生立馬準確的完成向量語言的轉換.在實際教學過程中，教師可以引導學生依據向量語言的具體內容進行模仿、口頭表達和書面表達，循序漸進的掌握向量語言.需要強調的是，在這個積累和學習的過程中，教師必須及時給予學生正確的指導和規范的示范.這就要求教師本人首先要準確掌握向量的定義、概念和定理，并不斷地精煉和規范自己的表述.其次，為了增加學生對向量語言的學習興趣，教師可以搜集、整理一些關于向量符號語言、文字語言、圖形語言的習題，讓學生在實踐中分析向量語言，并在具體的題目中加以檢驗和鞏固.同時，教師還可以要求學生會運用、會表述、會翻譯向量的這三種語言，并準確掌握其定理、概念和定義，明確使用向量的條件.在準確、熟練掌握向量語言的基礎上，更好地發揮向量的工具性作用.

2.強化向量概念教學

首先，要運用數學模型和實際例子引出向量概念.其實學生通過物理學習已經掌握了位移、力、速度等有方向和大小的矢量，這就為向量概念學習提供了基礎.因此，在高中向量教學中教師可以采取措施，將學生已經掌握的這些知識與向量概念聯系起來，讓學生通過相關的物理模型對向量概念產生感性認知.進而以此為基礎，引導學生認識向量概念的本質.“位移”不僅是物理學概念，還是重要的幾何研究對象，在高中幾何教學中常用位移明確兩點之間的關系.因此，在向量教學中可以用位移作為了解向量概念的重要物理模型.同時，物理學中常見的拉力、壓力和浮力等都是有方向和大小的量.因此，教師可以讓學生在課堂上列舉物理學中關于力的例子，進而啟發學生探究向量概念與矢量概念的關系，從而自然過渡到向量概念的講解中.

其次，還可以通過類比方法學習向量的概念.教師可以先啟發學生思考路程、時間、速度、功、加速度是不是向量.引導學生將這些概念進行多方位比較，在比較中了解向量概念的相關知識.當然，除了這些課本教材中的例子，教師還可以讓學生在生活中尋找“只有大小，沒有方向”，以及“大小、方向都有”的量，并鼓勵學生積極說出自己的發現，這一方面可以活躍課堂氣氛，激發學生在向量學習中的積極性，另一方面也可以通過形象的例子，加深學生對向量概念的理解和掌握.

再次，要充分調動原有知識學習向量概念.在必修四中學生已經學習了有關平面向量的知識，教師可以引導學生思考平面向量與空間向量的關系，進而掌握空間向量的概念.平面向量到空間向量的推廣是二維到三維的擴充，例如在坐標系中，平面向量研究的對象范圍是（x，y），空間向量所屬范圍則是（x，y，z）.因此，在學習空間向量的概念時，由于學生已經有了關于平面向量坐標的印象，所以很容易就能想到空間向量坐標也是由有序實數組成的.同時，空間向量數量積概念和基本定理概念，及其坐標都能夠在平面向量的基礎上取得.總之，概念的部分意義往往已經被屬概念的定義揭示了，因此，教師在講解新概念時，要緊緊圍繞種概念的本質，將新的概念知識融入原有的認知結構中.這其實也是一種知識的同化過程.向量概念是學生學習向量的基礎，同時，向量又是學生學習幾何、代數的有效工具.因此，在高中數學教學中應當關注向量概念的講授，讓學生在扎實掌握向量概念的基礎上進行習題訓練，只有這樣才能避免向量知識的混亂.

3.提倡向量的探究性教學

探究式學習是新課改的重要理念，在這種理念的影響下，高中數學教材也做了相應調整.例如，關于平面向量的教學安排了五個章節，并設置了十個探究性問題.調查數據顯示，目前仍有部分教師未能完全適應這種探究式教學，對教材中的探究性問題不予理睬，很少留給學生時間讓他們進行探討、思辨.這主要是因為高中數學課程緊張，而課堂容量有限，許多教師擔心探究性問題耽誤時間，無法令其完成教學任務.但若真正掌握了探究性學習的要義，就能夠運用這種學習方法不斷開發學生的創新性思維，挖掘學生的數學潛力.當然，探究性學習要注意方式的多樣化.教師可以讓學生運用向量知識解決一些生活中常見的難題，一方面可以增加學生的學習興趣，另一方面也可以增添學生的成就感.此外，教師還可以與物理學知識聯系起來，為學生設置相關的向量探究問題，加強學科融合，增強學生知識的系統性.

4.在向量教學中滲透數學思想

首先，向量教學中可以滲透平移轉換的數學思想，這種思想方法不僅可以簡化復雜的函數解析式，還可以明確幾何圖形中的一些隱藏關系.例如，在引入空間向量這一概念時可以采用平行四邊形的平移法.教師可以指導學生在紙上畫出一個平行四邊形，然后將圖形剪下來，并在空間中多角度平移，進而引導學生根據平移的軌跡思考空間向量.教師還可以讓學生做一些大小不同的向量模型，以及有刻度的空間直角坐標系，并讓不同的向量在坐標系內平移，然后讓學生根據觀察、分析結果，得出（x，y，z）表示向量a的結論.其次，還可以運用數形結合的思想，因為向量本身就具有幾何與代數的雙重特性，因此，在向量教學中，教師要引導學生根據數形信息，由數思形，以形助數，提高學生的空間想象能力.此外，還可以運用化歸轉化的思想.在向量教學中，教師可以引導學生靈活運用這種數學思想，以便準確、迅速的解答題目.例如，關于向量的平行問題、夾角問題都可以轉化為對應的向量坐標運算.三角形形狀的判定，同樣可以運用這種思想，將其轉化為判斷向量數量積的問題.

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