高中數(shù)學(xué)中思想方法的應(yīng)用

陳燕青

摘 要：函數(shù)屬于高中數(shù)學(xué)中的重要概念與思想，而且它所包含的內(nèi)容也相當(dāng)廣泛，其概念與思想滲透到高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分，所以函數(shù)思想對高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要的意義與作用.因此，主要針對此，對函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用進(jìn)行分析，借助案例分析的形式，研究函數(shù)思想的合理運(yùn)用，并為高中的數(shù)學(xué)教育做出一定的貢獻(xiàn)，希望能夠促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的積極發(fā)展.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)與方程思想；直線

認(rèn)知主義學(xué)習(xí)理論將數(shù)學(xué)看成是對知識、規(guī)律逐漸發(fā)現(xiàn)與理解的過程，這就要求學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷摸索，了解數(shù)學(xué)的精神，掌握其思想方法，尤其是與生活息息相關(guān)的函數(shù)與方程思想.建構(gòu)主義認(rèn)為，知識是主動(dòng)建構(gòu)的，不是被動(dòng)接受的，知識在每個(gè)學(xué)習(xí)者頭腦中都不是客觀存在的，而是由每個(gè)學(xué)習(xí)者主動(dòng)參與認(rèn)識活動(dòng)而主觀創(chuàng)造出來的.

一、函數(shù)與方程思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在近幾年的高考中占據(jù)重要地位，而構(gòu)造函數(shù)與方程思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用是各級、各類考試中的熱點(diǎn)問題.導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)的研究常常和函數(shù)與方程思想相結(jié)合，主要綜合考查學(xué)生的思維能力.

例1 （2014南通三模）已知函數(shù)f（x）=（x-a）2ex在x=2時(shí)取得極小值.

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）是否存在區(qū)間[m，n]，使得f（x）在該區(qū)間上的值域?yàn)閇e4m，e4n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由.

解：a=2，過程略.

（2）因?yàn)閒（x）≥0，所以m≥0.

①若m=0，則x≥2，因?yàn)閒（0）=4

設(shè)g（x）=ex（x≥2），則g'（x）=+ex≥0，

所以g（x）在[2，+∞]上為增函數(shù).

由于g（4）=e4，即方程（n-2）2en=e4n有唯一解為n=4.

②若m>0，則2[m，n]，即n>m>2或0

（Ⅰ）n>m>2時(shí)，f（m）=（m-2）2em=e4mf（n）=（n-2）2en=e4n，

由①可知不存在滿足條件的m，n.

（Ⅱ）0

設(shè)h（x）=x（x-2）2ex（0

h（x）在（0，1）上遞增，在（1，2）上遞減，由h（m）=h（n）得0

綜上所述，滿足條件的m，n值只有一組，且m=0，n=4.

點(diǎn)評：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值及其他性質(zhì)時(shí)都不可避免地會(huì)經(jīng)歷構(gòu)建方程的過程.這道題目的突破口是建立兩種情況下的方程組f（m）=（m-2）2em=e4mf（n）=（n-2）2en=e4n和（m-2）2em=e4n（n-2）2en=e4m然后分別再用函數(shù)研究，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想在解題的重要作用.

二、函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用

在解析幾何的相關(guān)問題中，若遇到直線和圓、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，常常會(huì)聯(lián)立方程組研究，而遇到解析幾何中的最值問題時(shí)常常會(huì)用函數(shù)去研究.

例2 （2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓O1，圓O2都與直線l∶y=kx及x軸正半軸相切.若兩圓的半徑之積為2，兩圓的一個(gè)交點(diǎn)為P（2，2），求直線l的方程.

解：由題意，圓心O1，O2都在x軸與直線l的角平分線上.

若直線l的斜率k=tanα，

設(shè)t=tan，則k=.

圓心O1，O2在直線y=tx上，

可設(shè)O1（m，mt），O2（n，nt）.

交點(diǎn)P（2，2）在第一象限，m，n，t>0.

所以，O1∶（x-m）2+（y-mt）2=（mt）2，O2∶（x-n）2+（y-nt）2=（nt）2，

所以（2-m）2+（2-mt）2=（mt）2（2-n）2+（2-nt）2=（nt）2，即m2-（4+4t）m+8=0n2-（4+4t）n+8=0，

所以m，n是方程x2-（4+4t）x+8=0的兩根，mn=8.

由半徑的積（mt）（nt）=2，得t2=，故t=.所以k==， 直線l∶y=x.

點(diǎn)評：這道題考查了直線的方程、圓的方程等知識，考查了方程思想的應(yīng)用.由直線l的方程，可以引進(jìn)參數(shù)t，建立的直線O1O2的方程.再根據(jù)過點(diǎn)P（2，2）建立方程組，滲透了方程組的思想，但是在整個(gè)問題的解決過程中自始至終都滲透了建立關(guān)于參數(shù)t的方程的思想.

希爾伯特說過：數(shù)學(xué)學(xué)科是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系.函數(shù)與方程思想固然重要，但是也離不開與其他思想方法的聯(lián)系，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，攻克解題難關(guān)就必須掌握好各種基本知識、方法、思想之間的聯(lián)系.學(xué)生在解題過程中，認(rèn)真分析各個(gè)條件及各個(gè)條件之間的聯(lián)系，嘗試用數(shù)學(xué)思想方法找到解題方向.所以僅僅教會(huì)學(xué)生知識和方法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，沒有思想方法的提煉和融會(huì)貫通是走不遠(yuǎn)的，函數(shù)與方程思想是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，教師在平常的教學(xué)過程中，要不斷地滲透給學(xué)生，還要注意和各種思想方法綜合使用.

三、函數(shù)在數(shù)列問題中的應(yīng)用

函數(shù)與數(shù)列之間存在一定的關(guān)系，而在數(shù)列問題的解決中函數(shù)能夠發(fā)揮積極的作用。如設(shè){an}為等差數(shù)列，它的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0。（1）求公差的取值范圍。（2）判斷S1、S2…S12中哪個(gè)最大，然后說明理由。對于此類數(shù)列問題，首先由a3=12得a1=12-2d。因?yàn)镾12=12a1+44d=144+42d>0，S13=13a1+78d=156+52d<0所以，-0，是關(guān)于n的二次函數(shù)，對稱軸方程為n=-。因?yàn)?

四、函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用

不等式2x-1>m（x2-1）能夠?qū)≤2的一切實(shí)數(shù)m恒成立，求得實(shí)數(shù)x的取值范圍。對于不等式這種問題，了解關(guān)于x的不等式后，這種問題會(huì)形成一種思維定式，但是應(yīng)該進(jìn)行視角的改變，把不等式當(dāng)做關(guān)于m的不等式，并且構(gòu)造函數(shù)f（m）=（x2-1）m-（2x-1），這一問題就會(huì)轉(zhuǎn)化為求得m∈[-2，2]上，使f（m）<0恒成立的x的取值范圍。而對于一次函數(shù)來說，圖象為一條線段，如果想要f（m）<0，應(yīng)該讓f（-2）<0，f（2）<0才能解得x∈（，）。在通常情況下，含有多個(gè)變量或參數(shù)的問題，應(yīng)該對變量與參數(shù)進(jìn)行積極確定，將函數(shù)關(guān)系提出來，從而使問題更加明朗。

五、函數(shù)與方程思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用

例如，有這樣的實(shí)際問題：某班的20名同學(xué)在直線公路上栽樹，每人植一棵，而且相鄰兩棵樹的距離為10米。在開始過程中，需要把樹苗集中放在某一個(gè)樹坑旁邊，能夠讓每位同學(xué)領(lǐng)取樹苗所用的路程總和最小，求這個(gè)最小值。對于這一問題來說，應(yīng)該建立合適的數(shù)學(xué)模型，通過列式向函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化。如圖2所示。

圖2

假設(shè)樹苗放在第i個(gè)樹坑旁邊，因此各個(gè)樹坑到第i個(gè)樹坑的距離總和為：

s=（i-1）×10+（i-2）×10+…+（i-i）×10+[（i+1）-i]×10+…+（20-i）×10=10×i×i--i×（20-i）+=10（i2-21i+210）

因此，當(dāng)i=10或11時(shí)，s的值最小，為1000.因此往返路程的最小值為2000米。對于這類問題，還有另外一種解答方式，針對軸對稱圖形的原理，兩端的樹坑旁邊放著樹苗，路程的總和相同，能夠取得一個(gè)最值。因此從兩端的樹坑移動(dòng)到中間過程中，路程總和的變化是相同的，到第10個(gè)以及11個(gè)樹坑旁邊時(shí)，路程總和達(dá)到一個(gè)最值，因此只需進(jìn)行兩個(gè)路程總和的計(jì)算就可以。將樹苗放在第一個(gè)樹坑旁，路程總和為10×（1+2+…+19）×2=10××2=3800。樹苗放在第10個(gè)與第11個(gè)旁邊時(shí)，路程總和為10×（1+2+…+9）+10×（1+2+…+10）×2=2000。因此，路程總和最小應(yīng)為2000米。對于二次函數(shù)形式的構(gòu)造具有重要作用，函數(shù)對實(shí)際問題的解決具有重要意義。對于這道題能夠借助實(shí)際模型的建立，通過函數(shù)解析式的方式，對函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究，從而促進(jìn)實(shí)際問題得到合理的解決。

總之，作為高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法屬于教學(xué)中的重點(diǎn)，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)。通過數(shù)學(xué)思想與方法的學(xué)習(xí)能夠真正理解數(shù)學(xué)的價(jià)值與意義。高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開函數(shù)的思想與作用，函數(shù)的學(xué)習(xí)能夠?yàn)槠渌R的掌握奠定一定的基礎(chǔ)，而且函數(shù)思想也屬于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要指導(dǎo)思想。因此，本課題針對函數(shù)與方程思想，對其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用進(jìn)行研究，主要是關(guān)于解決數(shù)學(xué)問題的案例分析，以此能夠?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)提供合理的借鑒，促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與進(jìn)步。

編輯 李琴芳