在變與不變中理解“倍”的實質

應秀峰

[摘 要]“倍”概念的認識，是一個操作中的理解和理解中的操作、表述中的理解和理解中的表述的過程，是一個變化中有不變、不變中有共變的過程，是一個幫助學生逐漸抽象、領悟實質的過程。學生正是在不斷地對比與抽象中把握了“倍”的概念，理解了“倍”的實質。

[關鍵詞]變與不變 幾何直觀 函數思想 核心素養 倍

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）23-030

“倍的認識”是“數與代數”領域中的一節概念課。數學概念的“倍”是兩數比較的一種關系，是在比較多少的數量關系認識基礎上的一次飛躍。學生在生活中接觸“倍”的機會很少，認識“倍”的渠道也很狹窄，缺少“倍”的準確表象，而“倍”的概念又相對比較抽象，再加上學生容易受兩數相差關系的干擾，其教學難度之大顯而易見。課堂教學中，以哪種操作素材和什么樣的操作要求引領學生進行數學活動呢？以什么樣的變式學習拓展學生的思維寬度呢？以什么樣的方式使抽象的概念直觀化、形象化、簡約化，適合學生的學習呢？這些問題的有效解決，將是教學“倍”的重點和難點。基于函數思想的理解，“倍”表示兩個集合之間相對應的關系——一個和多個的關系，體現函數中“共變”現象與“變中有不變”的思想方法。因此，要理解“倍”的實質，就要研究“倍”的“共變”現象和“變中有不變”的思想。

一、用“變與不變”的觀點解讀教材內容，架構“倍”的框架

橫向比較人教版和蘇教版數學教材中有關“倍”的內容編排，發現共同之處都是在學習乘法之后認識“倍”，例題呈現的都是幾倍（如3倍、4倍、5倍等）的內容，不僅創設了“小兔吃蘿卜”“小朋友數花”等情境，而且提出了三種物品在數量上有什么關系的問題，把學生的思考引向兩個數量之間的比較，并順學而導，抽象出用除法解決“一個數是另一個數的幾倍”的問題。縱向比較2002版數學實驗教科書和2013版義務教育教科書的蘇教版數學教材，發現兩個版本教材的主題圖相似。如2013版數學教材增加了“你能比一比這三種花的朵數嗎”的內容，從兩數相差關系引入，引導學生進一步學習兩數的倍比關系，便于學生把“倍”的認識放在兩個數量關系的整體知識體系中，完善自身的結構性知識；增加了“紅花的朵數是藍花的幾倍？先圈一圈，再填一填”的內容，使學生明確圈、填的操作指向；增加了“藍花有2朵”的內容，使學生對“倍”的語言表述更加嚴謹、準確。

對人教版和蘇教版兩個版本教材的橫向比較及數學實驗教科書與蘇教版教材的縱向比較之后，為了讓學生能從源頭上感受“倍”的意義，我設計了以下的三大框架：標準量不變，比較量變化，引起倍數的變化；比較量不變，標準量變化，引起倍數的變化；倍數不變，標準量和比較量的“共變”現象。

二、在學情調研中了解“倍”的學習起點，醞釀“倍”的教學設計

設計簡單的學情調研單，同時提出以下兩個常見的問題：（1）聽說過“倍”嗎？如果你沒有聽說過“倍”，請在（ ）里打“√”；如果你聽說過“倍”，那知道“倍”是什么意思嗎？請列舉一個或多個例子。（2）關于“倍”，你想了解什么？請寫出來。

對兩個班級共87名學生進行書面調研，發現83.9%的學生沒有聽說過“倍”，16.1%的學生能用舉例來表達“倍”的意思，其中正確的有11.5%，錯誤的有4.6%。分析錯因，學生有的把“倍”與“比多比少”混淆在一起。如出示，提出“2朵黃花是2朵藍花的幾倍”的問題，有3個學生的回答是“0倍”，還有一個學生說不清楚。調研中還發現，學生最想了解以下問題：“倍”是什么？（46人，占52.9%）“倍”有什么作用？（10人，占11.5%）什么時候可以用“倍”？（8人，占9.2%）“倍”是怎么來的？（4人，占4.6%）

從學情調查中可以看出，學生對“倍”的概念接觸較少，幾乎沒有任何經歷和體驗，再加上“倍”的概念比較抽象，所以“倍”的學習對學生而言難度較大。但從第（2）個問題去看，學生對“倍”了解的越少，也就越想揭開“倍”的神秘面紗，探究的欲望更強烈。那么，如何將“倍”的學習變成學生看得見、摸得著、能理解的數學事實呢？如何精選不同的學習素材，讓學生通過有效的操作、思考、辨析，在變與不變之中理解“倍”的實質？

三、在操作素材的甄選與變更中提高操作時效，理解“倍”的內涵

1.操作素材的甄選

選擇怎樣的學習素材更符合學生的認知特點？“倍”的教學經歷數次變化，前幾次都是尊重蘇教版教材的編排，采用例題中的情境，用多媒體動畫呈現，引導學生在圈圈、填填、算算中學習“倍”，但是學生的語言表述是生硬的，對“倍”的理解也比較淺顯。可見，這樣的學習僅是表面上的理解。后幾次的教學，讓學生用小棒操作，以三根小棒為一份擺一擺，學生多樣化的操作（如下圖）令人眼前一亮，如有擺成三角形的，有三根小棒緊挨著擺的，也有將小棒分開排列的。

這里把三根小棒看作一份，學生會很自然地想到一個整體，也從心理上認同為一份，并能自主形成一份的表象，然后建立兩份、三份的表象，最后在學生的腦海里形成兩倍、三倍的直觀模型。正是基于學生已有的經驗，我才把學習素材改成小棒，并在學生建立“倍”的直觀形象后，進一步展示彩帶、線段、櫻桃、草莓、圓片等多種素材，促使學生的關注點落在兩個量的比較上，讓學生經歷從具體到抽象的過程，幫助學生理解和感悟什么是“倍”。

2.操作層次的遞進

有了操作素材的比較、確定后，在操作層次上遵循由簡單到復雜的規律，層層深入，環環緊扣，引導學生逐步建構“倍”的表象，逐漸抽象出“倍”的概念，理解“倍”的內涵，把握“倍”的實質。

第一層次：標準量不變，比較量變化，引起倍數的變化。

（1）如圖④，師生共同擺小棒，喚醒1份的經驗，認識1倍。

（2）如圖⑤，扶放結合擺小棒，喚醒2份的經驗，認識2倍。

（3）如圖⑥，根據要求擺小棒，喚醒3份的經驗，認識3倍。

第二層次：比較量不變，標準量變化，引起倍數的變化。

第三層次：倍數不變，標準量和比較量的“共變”現象。

在不同擺法中，凸顯“倍”的實質，使學生深刻感悟：雖然學具、操作、想象等不同，但實質上是相同的，即一個數是另一個數的2倍，就有這樣的2份。簡單的表述，是學生對“倍”的自主理解。

（1）（ ）是（ ）的2倍。

（2）（ ）是（ ）的（ ）倍。

這樣教學，既調動了學生思考的積極性，給予學生開放性的探究時空，又激活了學生的思維，滿足了學生個性化的學習需求。

四、在“乘法倍”與“除法倍”中尋找結合焦點，溝通“倍”的聯系

“乘法倍”和“除法倍”是側重于“幾個幾”與“幾倍”的關系，還是偏向于“份”和“倍”的關系？“乘法倍”和“除法倍”的分類不重要，重要的是“倍”的實質與內涵，強調的是概念意義的系統建構，關鍵是要溝通“倍”與乘除法之間的聯系。在這里，“倍”與除法的關系為“平均分中的每一份同樣多，有幾份，就有這樣的幾倍”，“倍”與乘法的關系為“有幾個相同的加數，就有這樣的幾倍”。這里面有共同的一點，即1份量是唯一的，在“倍”中1份量都是同樣多的。在“倍”與乘除法的聯系上，讓學生對“倍”的意義進行列舉、闡述，不管學生的表述是否規范或非常簡略，只要是學生基于自己理解上的表述和表述中的理解即可，至于是“乘法倍”還是“除法倍”就不是那么重要了。

五、在“1倍”和“多倍”的認識中調整學習順序，凸顯“倍”的實質

“倍”就是兩個量之間比較，如果同樣多就是1倍；一個量中也有“倍”，每個量都是其本身的1倍。體會“倍”最重要的前提，就是1份量的唯一性。在學情調研及和學生的訪談中，我都出示圖，提出了“2朵黃花是2朵藍花的幾倍”的問題，有3個學生的回答是“0倍”；在學習3倍、4倍的認識后，當出現上圖時，還有學生出現“0倍”的答案。這是為什么呢？“0倍”背后是學生從比多比少的方面去理解，同樣多之后才說是“0倍”，他們理解的“倍”是多出來的部分。而在學情調研中，出現錯誤的學生對“倍”的理解就是多出來的部分。這不由得引起我們教師對教學內容編排順序的思考，對“倍”的實質的思考。“倍”深層次上是“份”的另一種說法（顧亞龍語），即把“倍”分為1倍和多倍去認識。1倍：有1份，就是1倍，包括兩個數量同樣多和只有一個數量的情況；當兩個量同樣多時，下面的量是上面量的1倍，上面的量也是下面量的1倍；當一個量時，自己就是自己的1倍。多倍：找準1份量，有幾份，就是幾倍。這樣的認識，能很好地規避學生對“倍是多出來的部分”的錯誤理解，從一開始就把學生的思維引向正確，從而更有利于把學生的思維引向深入。

總之，“倍”概念的認識，是一個操作中的理解和理解中的操作、表述中的理解和理解中的表述的過程，是一個變化中有不變、不變中有共變的過程，是一個幫助學生逐漸抽象、領悟實質的過程。學生正是在不斷地對比與抽象中把握了“倍”的概念，理解了“倍”的實質。

（責編 藍 天）