聚焦學(xué)習(xí)起點(diǎn) 發(fā)展空間觀念

孫潔++周興苗

摘 要：數(shù)學(xué)練習(xí)課是為鞏固數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果，通過適量、適度的練習(xí)題，達(dá)到使學(xué)生掌握知識和形成技能為目的的課堂教學(xué)形式。小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的練習(xí)課教學(xué)中，要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)和教學(xué)目標(biāo)精心設(shè)計課堂練習(xí)題，在落實(shí)“四基”的基礎(chǔ)上，利用多種途徑發(fā)展學(xué)生的空間觀念，學(xué)會用圖形思考、想象問題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

關(guān)鍵詞：練習(xí)課；學(xué)習(xí)起點(diǎn)；空間觀念

數(shù)學(xué)練習(xí)課是為鞏固數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果，通過適量、適度的練習(xí)題，達(dá)到使學(xué)生掌握知識和形成技能為目的的課堂教學(xué)形式。練習(xí)課的練習(xí)設(shè)計不但要認(rèn)真鉆研教材，吃透習(xí)題設(shè)計的意圖，同時結(jié)合學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的各類錯誤問題，對教材提供的習(xí)題做針對性的調(diào)整、組合或改編。特別是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的練習(xí)課教學(xué)中，要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)和教學(xué)目標(biāo)精心設(shè)計課堂練習(xí)題，在落實(shí)“四基”的基礎(chǔ)上，關(guān)注發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀能力的培養(yǎng)。下面筆者以《圓錐體積練習(xí)課》為例，談?wù)劷虒W(xué)前測及分析、練習(xí)的設(shè)計以及教學(xué)實(shí)踐與反思。

一、了解學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)

為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生更有效地開展學(xué)習(xí)活動，在練習(xí)課教學(xué)前我對《圓錐的體積》新授課后學(xué)生的作業(yè)情況進(jìn)行了調(diào)查及相關(guān)的前測，對信息進(jìn)行了匯總分析，并以此為依據(jù)進(jìn)行了練習(xí)設(shè)計。

（一）了解方式和對象

主要以統(tǒng)計學(xué)生作業(yè)本錯誤題型并結(jié)合前測題的方式進(jìn)行調(diào)查，人數(shù)為50人。

（二）了解內(nèi)容和結(jié)果匯總

（三）調(diào)查情況分析

基礎(chǔ)知識起點(diǎn)：學(xué)生基本掌握圓錐的體積計算公式，作業(yè)中只有12%的學(xué)生將圓錐的計算公式和圓柱的體積計算公式混淆，沒有乘■，表明學(xué)生對圓錐體積的計算方法掌握較好。

基本技能起點(diǎn)：學(xué)生計算的能力有待提高，特別是小數(shù)的乘除法計算錯誤約16%；部分學(xué)生審題欠仔細(xì)，常常把題目中的一些信息混淆，導(dǎo)致解題錯誤；前測題中發(fā)現(xiàn)約70%的學(xué)生無法完成從二維空間到三維空間的轉(zhuǎn)換，想象不出旋轉(zhuǎn)后圖形的形狀，表明學(xué)生的空間觀念有待提高，在解題的過程中，大部分學(xué)生沒有畫圖的習(xí)慣。

基本思想起點(diǎn)：學(xué)生經(jīng)歷了圓錐體積計算公式的推導(dǎo)過程，具備初步的轉(zhuǎn)化思想，也具備了一定的數(shù)形結(jié)合的思想。

基本活動經(jīng)驗起點(diǎn)：學(xué)生在解題時借助圖形分析題意的活動經(jīng)驗比較欠缺。

情感態(tài)度起點(diǎn)：本學(xué)段的學(xué)生大部分具備一定的獨(dú)立思考能力，85%的學(xué)生學(xué)習(xí)這一內(nèi)容興趣濃厚，有強(qiáng)烈的自信心。

二、練習(xí)設(shè)計對策

根據(jù)學(xué)生作業(yè)情況和前測題的分析，大部分學(xué)生能較好地掌握計算圓錐體積及解決相關(guān)問題的基礎(chǔ)知識和基本技能，但是學(xué)生的空間想象能力不足，解決問題的過程中缺乏畫圖的能力。因而本節(jié)練習(xí)課設(shè)計，在加強(qiáng)圓錐體積計算基礎(chǔ)知識回顧和基本技能練習(xí)的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)溝通圓錐和圓柱體積計算的內(nèi)在聯(lián)系，在練習(xí)中強(qiáng)調(diào)畫圖的策略，積累解決圖形問題時畫圖的活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

（一）結(jié)合學(xué)生起點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)知識和基本技能

調(diào)查學(xué)生的作業(yè)發(fā)現(xiàn)一些典型的錯誤，為使一部分學(xué)生能再次回顧圓錐體積計算的基本方法，落實(shí)基本的教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計了如下第一層次的練習(xí)：

1. 如圖1，圓錐的體積是（ ）dm3。

2. 與這個圓錐等底等高的圓柱，體積是（ ）dm3。

3. 一堆煤成圓錐形，底面半徑是2米，高1.5米，如果每立方米的煤重1.4噸，這堆煤約有多少噸？（得數(shù)保留整數(shù)）

作業(yè)調(diào)查中發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生能掌握圓錐體積的計算方法，但也有許多的典型錯誤存在，例如題目中的信息辨別不清，圓錐的體積公式和圓柱混淆，常規(guī)的計算錯誤等。針對這些錯誤類型，在分析學(xué)生作業(yè)錯誤原因的基礎(chǔ)上安排了上述練習(xí)，旨在進(jìn)一步鞏固圓錐體積計算的方法，同時再次溝通等底等高的圓柱和圓錐體積之間的關(guān)系，強(qiáng)化圓錐體積計算時要乘的原因。結(jié)合實(shí)際問題情景的解決，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)知識的實(shí)際價值，并提高學(xué)生的計算能力。

（二）經(jīng)歷想象、操作，發(fā)展學(xué)生空間觀念

1. 圖2是一個直角三角形，如果以某一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，會形成什么圖形？

（1）把你想到的圖形在作業(yè)紙上畫一畫。

（2）有困難的學(xué)生可以借助老師的學(xué)具轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，再來畫。

（3）選擇一個旋轉(zhuǎn)后形成的立體圖形，計算它的體積。

①學(xué)生思考后動手畫一畫；②同桌交流；③全班反饋，電腦演示；④計算并反饋。

■

2. 如果現(xiàn)在沿著這個直角三角形的斜邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周。

（1）想象會形成怎樣的立體圖形？

（2）請你畫一畫。

（3）這樣的立體圖形的體積你會計算嗎？誰來說說計算的思路。

3. 如果現(xiàn)在是這樣的一個鈍角三角形（如圖3），以某一條邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，分別會形成怎樣的立體圖形？你能想象出嗎？

【設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生的“幾何直觀”是圖形與幾何教學(xué)的核心理念，而想象和畫圖是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力有效的途徑之一。從一個平面的直角三角形入手，讓學(xué)生先想象旋轉(zhuǎn)后的圖形的形狀，再畫出這樣的立體圖形，進(jìn)而選擇一個圓錐進(jìn)行體積的計算，這樣的設(shè)計不但進(jìn)一步鞏固了圓錐體積的計算方法，而且有效地培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念，學(xué)生的思維從一維空間發(fā)展到二維空間。同時沿斜邊的旋轉(zhuǎn)和鈍角三角形的旋轉(zhuǎn)，提升了思維的含量，激發(fā)了學(xué)生的探索欲望。】

（三）觀察思考探索規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生推理能力

1. 根據(jù)下面的信息，先想象出圖形，再按照圖（1）的比例畫一畫。

圖（1）：圓柱的半徑4 cm，高4 cm；圖（2）：圓錐的直徑8 cm，高12 cm。

圖（3）：圓錐的半徑8 cm，高6 cm；圖（4）：圓錐的直徑16 cm，高3 cm。

（1）學(xué)生想象；

（2）學(xué)生畫一畫；

（3）全班反饋。

2. 圖4中的4個圖形，哪幾個圖形的體積相等？你是怎樣解決這個問題的？

3. 觀察思考，從這張表格中你發(fā)現(xiàn)了什么？

4. 應(yīng)用提升。（先畫草圖，再解答。）

（1）如果一個圓錐和一個圓柱，體積和底面積相等，圓錐的高是15 cm，圓柱的高是（ ）cm。

（2）兩個體積相等的圓錐，圓錐A的高是圓錐B的2倍。如果圓錐A的底面積是20 dm2，那么圓錐B的底面積是（ ）dm2。

【設(shè)計意圖：課標(biāo)指出“學(xué)會用圖形思考、想象問題是研究數(shù)學(xué)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力，這種能力的培養(yǎng)要貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程”。因此，這題設(shè)計時讓學(xué)生根據(jù)提供的信息先想象出這個立體圖形，再畫出這個立體圖形，就是把頭腦中的幾何形象進(jìn)行物化，這是一種培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的有效方法。把學(xué)生課堂生成的信息匯總成表，讓學(xué)生進(jìn)行觀察探索，培養(yǎng)了學(xué)生的分析、推理和綜合的能力，溝通了圓柱和圓錐體積計算之間的內(nèi)在聯(lián)系，更是突出了體積與底面積和高之間的關(guān)系，激發(fā)了學(xué)生探索數(shù)學(xué)的欲望。】

（四）實(shí)踐嘗試應(yīng)用，體驗數(shù)學(xué)價值

1. 有一段圓柱形鋼材，要加工成一個零件（如圖5），已知圓錐部分的高和圓柱部分的高相等。結(jié)合圖形：

（1）你能提出什么數(shù)學(xué)問題？

（2）要解決這個問題，需要知道哪些信息？

（3）根據(jù)下面的信息，你有哪些解決的方法？

信息1：圓柱的底面積是12.56平方厘米。

信息2：圓柱的高是6厘米。

信息3：削去部分的體積是50.24立方厘米。

2. 介紹沙漏。

沙漏又稱沙鐘，是我國古代一種計量時間的儀器，它是根據(jù)流沙從一個容器漏到另一個容器的數(shù)量來計算時間的。你能求出圖6中沙漏上部和下部沙子的體積嗎？

【設(shè)計意圖：圖形練習(xí)課的練習(xí)不要太強(qiáng)求基本技能的訓(xùn)練，要關(guān)注學(xué)生解決問題的不同策略能力的培養(yǎng)。設(shè)計這樣的一個綜合題，看似簡單，其實(shí)是讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的全過程，在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思路，體驗到解決問題時不同策略的有效性。課的最后結(jié)合沙漏知識的介紹，滲透我國數(shù)學(xué)文化的博大精深，更給部分優(yōu)秀學(xué)生繼續(xù)探索數(shù)學(xué)知識的平臺，感受數(shù)學(xué)的實(shí)際價值。】

三、整體反思

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確指出：“圖形與幾何”的課程內(nèi)容，是以發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力為核心展開的，而這三個核心理念應(yīng)當(dāng)貫穿“圖形與幾何”教學(xué)的全過程。以往這一領(lǐng)域新授課的教學(xué)比較關(guān)注 “四基”的落實(shí)，而在相關(guān)的練習(xí)課中則重視學(xué)生基礎(chǔ)知識的鞏固和基本技能的熟練與提高，對于基本數(shù)學(xué)思想和基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的關(guān)注相對較少，對于上述三個核心理念的滲透則更加忽視。因此，本課的設(shè)計，摒棄以訓(xùn)練解題能力獲取解題技巧為目的的設(shè)計理念，主要有以下幾點(diǎn)思考：

1. 關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，設(shè)計有針對性的練習(xí)，做到層次分明，有保有升。

第一個環(huán)節(jié)的錯例分析，教學(xué)信息來源于學(xué)生，讓學(xué)生在觀察、分析、歸納的過程中鞏固圓錐體積計算的基礎(chǔ)知識，同時通過錯誤原因的分析培養(yǎng)了學(xué)生良好的作業(yè)習(xí)慣。這樣設(shè)計是為實(shí)現(xiàn)本課第一層次的教學(xué)目標(biāo)暨通過練習(xí)進(jìn)一步鞏固圓錐體積計算的方法，能比較準(zhǔn)確地計算圓錐的體積并解決相關(guān)實(shí)際問題。后面的幾個練習(xí)設(shè)計層次清晰，練習(xí)目的明確，體現(xiàn)出練習(xí)設(shè)計時要關(guān)注的層次性原則。

2. 利用多種途徑發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

課標(biāo)指出，生活經(jīng)驗的回憶和再現(xiàn)、實(shí)物觀察與描述、拼擺與畫圖、折紙與展開、分析與推理等，都是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有效途徑。空間觀念的培養(yǎng)不是一蹴而就的，它需要經(jīng)驗的不斷積累、想象力的豐富。因此教學(xué)中，筆者為學(xué)生提供了足夠的時間和空間去觀察和想象、操作和分析，同時在教學(xué)中讓學(xué)生逐步養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，這樣的練習(xí)設(shè)計，不但有基礎(chǔ)知識的鞏固和基本技能的提升，更重視了學(xué)生空間觀念的發(fā)展和學(xué)習(xí)能力的提升。

3. 重視圖形的變換，在圖形運(yùn)動的過程中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀。

課標(biāo)指出，要在學(xué)生思考、想象的過程中發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)幾何直觀。因而，本課的第二個練習(xí)就是借助一個直角三角形，讓學(xué)生先想象再畫圖，最后借助課件動態(tài)演示，經(jīng)歷由平面圖形旋轉(zhuǎn)形成立體圖形的探索全過程。在探索的過程中，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生的思維能力。同時，由沿直角邊旋轉(zhuǎn)到沿斜邊旋轉(zhuǎn)，由直角三角形的旋轉(zhuǎn)到鈍角三角形的旋轉(zhuǎn)，想象難度提升，給了優(yōu)秀學(xué)生探索的平臺。

綜上所述，圖形與幾何的練習(xí)課設(shè)計除了讓學(xué)生掌握“四基”外，更為重要的是通過練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，設(shè)計有針對性的、利于學(xué)生想象和操作的練習(xí)題，在學(xué)生動手、動腦、動口的過程中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，做到“下要保底，上不封頂”，最終達(dá)到改變學(xué)習(xí)方式、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生空間觀念的目的。