孫潔++周興苗

摘 要：數學練習課是為鞏固數學學習效果，通過適量、適度的練習題，達到使學生掌握知識和形成技能為目的的課堂教學形式。小學數學“圖形與幾何”領域的練習課教學中，要根據學生的學習起點和教學目標精心設計課堂練習題，在落實“四基”的基礎上，利用多種途徑發展學生的空間觀念，學會用圖形思考、想象問題，進而培養學生的幾何直觀能力。

關鍵詞：練習課；學習起點；空間觀念

數學練習課是為鞏固數學學習效果，通過適量、適度的練習題，達到使學生掌握知識和形成技能為目的的課堂教學形式。練習課的練習設計不但要認真鉆研教材，吃透習題設計的意圖，同時結合學生作業中出現的各類錯誤問題，對教材提供的習題做針對性的調整、組合或改編。特別是小學數學“圖形與幾何”領域的練習課教學中，要根據學生的學習起點和教學目標精心設計課堂練習題，在落實“四基”的基礎上，關注發展學生的空間觀念和幾何直觀能力的培養。下面筆者以《圓錐體積練習課》為例，談談教學前測及分析、練習的設計以及教學實踐與反思。

一、了解學生學習起點

為了解學生的學習起點，引領學生更有效地開展學習活動，在練習課教學前我對《圓錐的體積》新授課后學生的作業情況進行了調查及相關的前測，對信息進行了匯總分析，并以此為依據進行了練習設計。

（一）了解方式和對象

主要以統計學生作業本錯誤題型并結合前測題的方式進行調查，人數為50人。

（二）了解內容和結果匯總

（三）調查情況分析

基礎知識起點：學生基本掌握圓錐的體積計算公式，作業中只有12%的學生將圓錐的計算公式和圓柱的體積計算公式混淆，沒有乘■，表明學生對圓錐體積的計算方法掌握較好。

基本技能起點：學生計算的能力有待提高，特別是小數的乘除法計算錯誤約16%；部分學生審題欠仔細，常常把題目中的一些信息混淆，導致解題錯誤；前測題中發現約70%的學生無法完成從二維空間到三維空間的轉換，想象不出旋轉后圖形的形狀，表明學生的空間觀念有待提高，在解題的過程中，大部分學生沒有畫圖的習慣。

基本思想起點：學生經歷了圓錐體積計算公式的推導過程，具備初步的轉化思想，也具備了一定的數形結合的思想。

基本活動經驗起點：學生在解題時借助圖形分析題意的活動經驗比較欠缺。

情感態度起點：本學段的學生大部分具備一定的獨立思考能力，85%的學生學習這一內容興趣濃厚，有強烈的自信心。

二、練習設計對策

根據學生作業情況和前測題的分析，大部分學生能較好地掌握計算圓錐體積及解決相關問題的基礎知識和基本技能，但是學生的空間想象能力不足，解決問題的過程中缺乏畫圖的能力。因而本節練習課設計，在加強圓錐體積計算基礎知識回顧和基本技能練習的基礎上，重點溝通圓錐和圓柱體積計算的內在聯系，在練習中強調畫圖的策略，積累解決圖形問題時畫圖的活動經驗，發展學生的空間觀念。

（一）結合學生起點，夯實基礎知識和基本技能

調查學生的作業發現一些典型的錯誤，為使一部分學生能再次回顧圓錐體積計算的基本方法，落實基本的教學目標，設計了如下第一層次的練習：

1. 如圖1，圓錐的體積是（ ）dm3。

2. 與這個圓錐等底等高的圓柱，體積是（ ）dm3。

3. 一堆煤成圓錐形，底面半徑是2米，高1.5米，如果每立方米的煤重1.4噸，這堆煤約有多少噸？（得數保留整數）

作業調查中發現大部分學生能掌握圓錐體積的計算方法，但也有許多的典型錯誤存在，例如題目中的信息辨別不清，圓錐的體積公式和圓柱混淆，常規的計算錯誤等。針對這些錯誤類型，在分析學生作業錯誤原因的基礎上安排了上述練習，旨在進一步鞏固圓錐體積計算的方法，同時再次溝通等底等高的圓柱和圓錐體積之間的關系，強化圓錐體積計算時要乘的原因。結合實際問題情景的解決，讓學生體驗數學知識的實際價值，并提高學生的計算能力。

（二）經歷想象、操作，發展學生空間觀念

1. 圖2是一個直角三角形，如果以某一條直角邊所在的直線為軸旋轉一周，會形成什么圖形？

（1）把你想到的圖形在作業紙上畫一畫。

（2）有困難的學生可以借助老師的學具轉一轉，再來畫。

（3）選擇一個旋轉后形成的立體圖形，計算它的體積。

①學生思考后動手畫一畫；②同桌交流；③全班反饋，電腦演示；④計算并反饋。

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2. 如果現在沿著這個直角三角形的斜邊所在的直線為軸旋轉一周。

（1）想象會形成怎樣的立體圖形？

（2）請你畫一畫。

（3）這樣的立體圖形的體積你會計算嗎？誰來說說計算的思路。

3. 如果現在是這樣的一個鈍角三角形（如圖3），以某一條邊所在的直線為軸旋轉一周，分別會形成怎樣的立體圖形？你能想象出嗎？

【設計意圖：培養學生的“幾何直觀”是圖形與幾何教學的核心理念，而想象和畫圖是培養學生幾何直觀能力有效的途徑之一。從一個平面的直角三角形入手，讓學生先想象旋轉后的圖形的形狀，再畫出這樣的立體圖形，進而選擇一個圓錐進行體積的計算，這樣的設計不但進一步鞏固了圓錐體積的計算方法，而且有效地培養了學生的空間觀念，學生的思維從一維空間發展到二維空間。同時沿斜邊的旋轉和鈍角三角形的旋轉，提升了思維的含量，激發了學生的探索欲望。】

（三）觀察思考探索規律，培養學生推理能力

1. 根據下面的信息，先想象出圖形，再按照圖（1）的比例畫一畫。

圖（1）：圓柱的半徑4 cm，高4 cm；圖（2）：圓錐的直徑8 cm，高12 cm。

圖（3）：圓錐的半徑8 cm，高6 cm；圖（4）：圓錐的直徑16 cm，高3 cm。

（1）學生想象；

（2）學生畫一畫；

（3）全班反饋。

2. 圖4中的4個圖形，哪幾個圖形的體積相等？你是怎樣解決這個問題的？

3. 觀察思考，從這張表格中你發現了什么？

4. 應用提升。（先畫草圖，再解答。）

（1）如果一個圓錐和一個圓柱，體積和底面積相等，圓錐的高是15 cm，圓柱的高是（ ）cm。

（2）兩個體積相等的圓錐，圓錐A的高是圓錐B的2倍。如果圓錐A的底面積是20 dm2，那么圓錐B的底面積是（ ）dm2。

【設計意圖：課標指出“學會用圖形思考、想象問題是研究數學，也是學習數學的基本能力，這種能力的培養要貫穿于數學教學的全過程”。因此，這題設計時讓學生根據提供的信息先想象出這個立體圖形，再畫出這個立體圖形，就是把頭腦中的幾何形象進行物化，這是一種培養學生幾何直觀的有效方法。把學生課堂生成的信息匯總成表，讓學生進行觀察探索，培養了學生的分析、推理和綜合的能力，溝通了圓柱和圓錐體積計算之間的內在聯系，更是突出了體積與底面積和高之間的關系，激發了學生探索數學的欲望?！?/p>

（四）實踐嘗試應用，體驗數學價值

1. 有一段圓柱形鋼材，要加工成一個零件（如圖5），已知圓錐部分的高和圓柱部分的高相等。結合圖形：

（1）你能提出什么數學問題？

（2）要解決這個問題，需要知道哪些信息？

（3）根據下面的信息，你有哪些解決的方法？

信息1：圓柱的底面積是12.56平方厘米。

信息2：圓柱的高是6厘米。

信息3：削去部分的體積是50.24立方厘米。

2. 介紹沙漏。

沙漏又稱沙鐘，是我國古代一種計量時間的儀器，它是根據流沙從一個容器漏到另一個容器的數量來計算時間的。你能求出圖6中沙漏上部和下部沙子的體積嗎？

【設計意圖：圖形練習課的練習不要太強求基本技能的訓練，要關注學生解決問題的不同策略能力的培養。設計這樣的一個綜合題，看似簡單，其實是讓學生經歷解決問題的全過程，在解決問題的過程中培養學生轉化的思路，體驗到解決問題時不同策略的有效性。課的最后結合沙漏知識的介紹，滲透我國數學文化的博大精深，更給部分優秀學生繼續探索數學知識的平臺，感受數學的實際價值?！?/p>

三、整體反思

《數學課程標準（2011版）》明確指出：“圖形與幾何”的課程內容，是以發展學生的空間觀念、幾何直觀、推理能力為核心展開的，而這三個核心理念應當貫穿“圖形與幾何”教學的全過程。以往這一領域新授課的教學比較關注 “四基”的落實，而在相關的練習課中則重視學生基礎知識的鞏固和基本技能的熟練與提高，對于基本數學思想和基本數學活動經驗的關注相對較少，對于上述三個核心理念的滲透則更加忽視。因此，本課的設計，摒棄以訓練解題能力獲取解題技巧為目的的設計理念，主要有以下幾點思考：

1. 關注學生的學習起點，設計有針對性的練習，做到層次分明，有保有升。

第一個環節的錯例分析，教學信息來源于學生，讓學生在觀察、分析、歸納的過程中鞏固圓錐體積計算的基礎知識，同時通過錯誤原因的分析培養了學生良好的作業習慣。這樣設計是為實現本課第一層次的教學目標暨通過練習進一步鞏固圓錐體積計算的方法，能比較準確地計算圓錐的體積并解決相關實際問題。后面的幾個練習設計層次清晰，練習目的明確，體現出練習設計時要關注的層次性原則。

2. 利用多種途徑發展學生的空間觀念。

課標指出，生活經驗的回憶和再現、實物觀察與描述、拼擺與畫圖、折紙與展開、分析與推理等，都是發展學生空間觀念的有效途徑?？臻g觀念的培養不是一蹴而就的，它需要經驗的不斷積累、想象力的豐富。因此教學中，筆者為學生提供了足夠的時間和空間去觀察和想象、操作和分析，同時在教學中讓學生逐步養成畫圖的習慣，這樣的練習設計，不但有基礎知識的鞏固和基本技能的提升，更重視了學生空間觀念的發展和學習能力的提升。

3. 重視圖形的變換，在圖形運動的過程中培養學生的幾何直觀。

課標指出，要在學生思考、想象的過程中發展空間觀念，培養幾何直觀。因而，本課的第二個練習就是借助一個直角三角形，讓學生先想象再畫圖，最后借助課件動態演示，經歷由平面圖形旋轉形成立體圖形的探索全過程。在探索的過程中，激發了學生的學習興趣，提高了學生的思維能力。同時，由沿直角邊旋轉到沿斜邊旋轉，由直角三角形的旋轉到鈍角三角形的旋轉，想象難度提升，給了優秀學生探索的平臺。

綜上所述，圖形與幾何的練習課設計除了讓學生掌握“四基”外，更為重要的是通過練習培養學生的幾何直觀能力。要結合學生的實際，關注學生的學習起點，設計有針對性的、利于學生想象和操作的練習題，在學生動手、動腦、動口的過程中培養學生的幾何直觀能力，做到“下要保底，上不封頂”，最終達到改變學習方式、提升數學素養、發展學生空間觀念的目的。