矩陣在解線性方程組中的應用研究

李羿如

【摘 要】線性方程組求解時數學學科的核心內容，是整個數學解題的基礎工具，我們在學習過程中，要掌握方程組解答的相關理論和經驗，提高線性方程組的解題速度和準確率。我們在學習中發現，矩陣可以應用于線性方程組解答，將線性方程組系數和常數為行列式矩陣為基礎，把復雜的方程組進行簡化，可以幫助我們更好地解答線性方程組。

【關鍵詞】矩陣；線性方程組；高中數學

在高中數學學習中，求解線性方程組是重要的知識點，對于方程組的求解，我們通常有兩個求解方向，一種是尋找線性方程組的規律，根據學習經驗對方程組進行變換，將方程組變形為基本的微積分問題進行求解；第二種是進行簡化求解，以線性方程組的系數和常數列成矩陣，通過矩陣變化計算來求解線性方程組的解。

1.基本數學概念分析

線性方程組是指在一個方程組中包含了多個未知數，同時未知數均為一次，在一般的線性方程組中，會有m個公式組成，包含了n個未知數，我們要對每一個方程進行加減換算，最終得到只包含一個未知項的方程進行求解，得出第一個未知項的數值，然后將求得的未知數代入到其他的方程組中，依次求解不同的未知項數值。矩陣是高中數學中常用的解題工具，關于矩陣的知識可以延伸出零矩陣、單位矩陣、矩陣的和、矩陣乘積、逆矩陣、轉置矩陣、對稱矩陣、行列式、矩陣特征方程及特征向量等。矩陣在線性方程組求解中應用簡化了求解過程，通過將方程式列成矩陣可以找到未知項之間的關系，確定求解的方向，在矩陣中往往會出現相關聯的元素，將這些元素列成行和列的方式能夠快速找出未知項的解答關系。對于一個線性方程組可以得到系數矩陣A和未知項矩陣X，并且方程的常數項也可以列成矩陣b，這樣就可以得出一個簡約化的Ax=b的線性方程組。

2.矩陣在解線性方程組中的應用

2.1克萊姆法則應用

對于線性方程組的解答，我們應用矩陣進行方程組求解，將方程組變換為特殊的矩陣形式，其中最為常用的就是矩陣的克萊姆法則，如果線性方程組的未知項個數和方程數量相同，我們就可以應用這一法則進行求解。首先要將方程組的未知項系數列成系數矩陣，記為矩陣A，同時矩陣A不能為零，在滿足一個要求的基礎上，可以將線性方程組引申到克萊姆法則進行求解。對于一般的線性方程組，假設其包含了n個方程式，同時方程組中包含了n個未知項，對于所得的系數矩陣和常數矩陣進行等量變化，就能夠得出未知項的數值。

2.2矩陣消元法求解

矩陣消元法是線性方程組求解中最為常用的求解方法，把系數矩陣和常數矩陣擴展為方程組的增廣矩陣，并根據行列式的初等法則進行基本的變換，從而將復雜的矩陣簡化為較為階段的階梯型矩陣，這種矩陣和常數矩陣的對應關系一目了然，化簡為階梯型的矩陣和原來的線性方程組具有直接相同的未知項求解，我們可以將未知項帶入到求解所得的階梯型矩陣，經過整理求解可以得到相應的方程組的解。

3.矩陣在線性方程組中的實際應用

我們在高中線性方程組求解中，可以通過基本矩陣來獲得線性方程組的基本特性，并進一步應用到方程組中，我們根據線性方程組可以生成矩陣形式Ax=b，并根據系數矩陣和增廣矩陣來判斷方程組是否有解。我們在判斷線性方程組解的時候，要借助矩陣的知識對系數矩陣進行相應的簡化，盡量將矩陣進行簡化處理成階梯型矩陣，為方程組求解提供進一步的依據。我們在Ax=b的矩陣方程求解時，可以判斷系數矩陣和常數矩陣是否有相同的秩，如果兩者秩不相同則可以判斷線性方程組沒有方程解；如果系數矩陣和常數矩陣兩者有相同秩，則可以進一步去判斷方程組解的個數，這樣就分為兩種情況，一種情況是系數矩陣的秩為n，線性方程組會有唯一的解，而如果秩小于n時，則方程組就會有無窮多的解。

例如在以下線性方程組的求解中，方程組的形式為：

X1-X2-3X3+X4=1

X1-X2+2X3-X4=3

4X1-4X2+3X3-2X4=6

2X1-2X2-11X3+4X4=0

我們根據方程組可以獲取相應的系數矩陣和增廣矩陣，并且根據矩陣等量變換進行簡化處理，從而得出方程組相應的解，我們將矩陣進行處理后發現，系數矩陣和增廣矩陣兩者的秩不相等。因此，我們可以判斷此方程組無解。我們在矩陣知識的應用時，要弄清楚矩陣行列式的概念，并將矩陣和線性方程組直接對應起來，只有對矩陣進行正確的推算，才能得出正確的對應關系，同時要明確特征向量和特征值的本質，將復雜的線性方程組簡化為矩陣向量，降低方程組求解的難度。

4.結語

綜上所述，線性方程組求解是高中數學的重要知識點，也是我們重要的考點，我們在實際的學習中，要正確線性方程組和矩陣之間的轉變，把復雜的線性方程組直接轉變為矩陣形式，解決方程組求解的難題。通過對矩陣的學習，我們找到了一條現行方程組求解的新思路，吧方程組和矩陣兩者直接關聯在一起，我們要理清解題思路，靈活掌握矩陣的簡化方法，并做好相關的歸納，總結出屬于自己的一套解題思路，明細解題過程中可能出現的知識要點，靈活掌握矩陣在線性方程組解答中的應用。

【參考文獻】

[1]林清.矩陣在解線性方程組中的應用[J].科技展望，2015（11）

[2]唐高陽.矩陣函數在解線性方程組中的應用[J].科技信息，2012（24）

[3]王路群.整數矩陣及其在解線性方程組方面的應用[J].數學教育，2010（04）