高中數學函數中求最值需要注意的問題

肖霄

【摘 要】高中數學函數求最值問題是高中數學最重要的課程之一，由于求最值問題的內容較散，方法難以選擇，因此最值問題求解一直困擾我們的學習。最值問題是數學考試中常用的求解題目，我們在學習中要通過例題的練習熟悉最值求解問題的解題方法，并且通過精確例題來確認可能存在的解題陷阱，從而讓同學們提高對這一部分題目的解題熟練度和準確度。

【關鍵詞】高中數學；函數問題；最值求解

1.函數最值求解的理論知識

高中數學函數中求最值是整個階段學習的核心內容，最值求解問題的覆蓋度較廣，在高考題目中屢次出現，這也體現了這一知識點的重要性。函數最值問題的定義是：假設y=f（x）的定義域為A，如果存在x0∈A，使得A范圍內的任意x值都有f（x0）≤f（x），則成為函數的最大值，反之則成為函數的最小值，這是最值問題的嚴格定義，將函數最值問題和函數單調性結合在一起，我們在學習過程中，要注重函數單調性的理解，精確求解函數最值。

函數最值問題的求解較為復雜，這也是導致我們學習出現障礙的癥結所在，函數最值問題求解需要考慮的方面較多，如果忽略了函數定義域的處理，就會導致函數最值求解錯誤。我們在最值問題求解時會涉及到函數定義域和值域、三角函數、單調性等問題，涉及的數學方法和解題技巧也較多，因此對于這類問題的求解要注重解題細節，靈活運用最值求解方法。

2.函數中求最值需要注意的點

2.1區間上二次函數最值求解

二次函數最值求解是較為常見的函數問題，由于二次函數是非線性函數，討論函數區間內的最值問題要綜合考慮函數的特性，確定函數定義域區間內的最值，最值求解一定要在有意義的定義域區間內，我們要明確函數區間的開閉性，而此函數是給定的，其相應的函數值域也是確定的。例如已知二次函數f（x）=ax+bx+c（a>0），它的函數曲線是以直線x=-b/2a為對稱軸，曲線為開口向上的拋物線，根據數形結合我們可以求解函數區間。我們在求解過程中，要注意函數區間（m、n）的界定，在函數區間內區分增區間和減區間，從而求解函數的最大值和最小值。

2.2動二次函數的區間最值求解

二次函數隨著參數的變化而變化，其函數曲線是運動的，但是其區間固定在一個區域內，這種情況下的函數定區間最值求解要考慮函數區間的單調性。函數參數如果實在曲線開口上，就要針對函數曲線開口向上和開口向下進行重點討論，如果函數參數出現在對稱軸上，就針對函數區間左側、右側和中間定義域進行討論，如果函數區間在對稱軸區間的中間，要分為兩種情況進行討論，細分為對稱軸是分為左側或者右側的端點。動二次函數包含了參數，去區間也是變化的，函數在閉區間的最值可能是出現在區間端點，頂點處取得，最后要對得出的參數值進行驗證。同時函數最值求解要把握二次函數的圖像開口方向，確定定點的橫坐標，并確定函數的單調性和對稱性。

2.3利用基本不等式求解最值問題

有些同學在利用基本不等式求解最值問題時，會忽視了等號成立條件的問題，在利用基本不等式求解最值時要必須對定理的前提的進行考慮，核實“一正二定三相等”的前提條件是否成立，否則求得的最值容易出現錯誤。例如對于例題：正數x、y滿足x+2y=1，求解1/x+1/y的最小值，對于不等式最值求解可能會出現以下的錯解，即由基本不等式可以得出x+2y=1≥。

所以可以得出xy≤1/8，我們可以將不等式變化帶入到不等式1/x+1/y≥2≥4，其最小值為4。對于這種錯誤解題方法分析，第一次等號成立的條件為x=2y，但是第二次等號成立的條件是x=y，這兩種之間的矛盾直接導致最值求解直接錯誤，因此我們在不等式求解最值時要格外注重等號成立條件的規定。

2.4數形結合求解函數最值

數形結合求解函數最值問題是我們往往忽略的方法，這種方法借助圖形可以直接觀察到函數的單調性，從而確定函數最值在哪個位置。圖形可以直觀表現函數曲線的走向，而數則可以精確計算函數區間，通過數和形的聯系可以結合函數最值問題。我們可以根據函數畫出相應的圖形，將函數圖形納入到坐標系中，畫出函數曲線中的對稱線和區間端點，利用函數圖形輔助最值求解，函數圖形可以直觀準確計算出兩個變量表達式的數值，用導數求極值進而求最值，也要借助草圖來畫出函數的單調性才能確定最大最小值在哪取得；在區間上求二次函數的最值問題也要畫出二次函數的圖象才能確定最值，因此我們要合理利用數形結合來求解函數最值，靈活運用函數圖像的輔助作用，提高函數區間單調性的把握，從而精確計算函數最值。

3.結語

綜上所述，高中數學函數中求最值是最常見的數學問題，對于這一問題的學習，我們要掌握多種求解方法，根據函數特征靈活運用，同時要注意函數定義域和值域的范圍，采用數形結合、分類討論、區間劃分及函數單調性等方法來計算函數最值，提高最值問題的解題準確性，避免由于疏忽而導致解題錯誤。高中生在函數最值求解學習中，要對最值求解問題進行系統練習，在習題練習中總結求解方法，攻克最值求解的學習難關。

【參考文獻】

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