探析數學思想方法在高中數學解題中的應用

姚明強

【摘 要】本文結合教學理論，對化歸思想方法在高中數學解題中的應用進行探討，以期對提高高中學生的學習能力提供幫助。

【關鍵詞】高中數學 數學思想方法 化歸思想 教學效率

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）11B-0154-02

“問題是數學的心臟”，學會解決問題是學習數學的重點。因此，掌握數學的解題思想對數學解題至關重要。在高中數學解題中，所運用到的數學思想方法不盡相同，但其本質上都是化歸思想。如數形結合思想所展示的是數和形的轉化，函數思想所展示的是動和靜的轉化，分類思想所展示的則是對數學問題整體和局部的轉化。無論是哪一種思想方法，化歸思想都是其中的精髓。

當前，學子間的高考競爭愈發激烈，新形勢下，國家對人才的知識、能力上的要求也更加嚴格。因此，如何提升學生的學習效率，是亟需解決的問題。提高學習效率對于高中學生而言，不僅解決了緊迫的學習時間和學習要求的矛盾，而且極大地減輕了學生的學習壓力，進一步提高學生的學習熱情。學生在進行數學學習過程中，是否可以做到善于學習、舉一反三、靈活運用，關鍵在學生有沒有掌握一套適合自己的解決問題的思想方法。學生掌握解題思想方法又需要得益于教師的影響。有鑒于此，在高中數學教學階段，比之“填鴨式”的知識傳授，教授給學生數學思想方法更有意義。

一、化歸數學思想方法在高中數學中的應用

（一）解析幾何的轉化

一般而言，解決解析幾何的關鍵在于實現“數形結合”，換言之，將幾何問題轉化成為代數方法，進而形成幾何條件代數化、代數運算幾何化的局面。讓問題從復雜轉化成簡單，把抽象的問題轉化為具體的問題，讓學生更易理解問題核心，并且學會優化解題過程。

圓錐曲線長期以來都是高考數學的內容之一，也是學生較難解決的問題。其原因就在于，學生并未真正地掌握圓錐曲線問題之中所涵括的一些數學思想方法，一味生硬盲目地解題，不善于將考試中的問題轉化成為日常練習的問題，不擅長用學過的知識去解決新的問題，這是學生在解題中存在的主要問題。

解析幾何的核心目的就是通過代數辦法去分析幾何問題，但對部分圓錐曲線問題，采取代數的辦法予以計算便會十分復雜，而假若把圓錐曲線轉移到平面幾何中來，又會獲得不錯的解題效果。例如：

已知定點 F1（-2，0），F2（2，0），N 是圓 O：x2+y2=1 上的任意一點，點 F1 關于點 N 的對稱點為 M，線段 F1M 的中垂線和 F2M 相交于點 P，求點 P 軌跡是（ ）。

A.橢圓 B.雙曲線

C.拋物線 D.圓

分析本題可以發現，假使設出點 N 的坐標，將它代入到解析式中進行運算便會十分復雜，而如果用數形結合的數學思想，將它轉化成幾何問題，那么變容易得多，可非常快速地解題。因為 O，N 分別為 F1F2 和 F1M 的中點，所以 ON 平行 F2M，F2M=2，PM-PF2=2，PF1=PM，PF1-PF2=2。求得答案 P 的軌跡是 B選項雙曲線。

（二）數列的轉化

數列問題同樣是高考中的必考內容，其中又以求數列的通項公式為解決問題的核心。通過遞推公式，求其通項公式是最近幾年來各地高考中的常考內容之一。這一類型的問題種類繁多，但也可以通過不同的解題思路來靈活運用。在求遞推數列的通項公式時，大多都能夠將它轉化成等差數列來進行解決。通過遞推公式求數列的通項公式通常存在數種類型，而每種都對應了相應的解題辦法。

（三）函數的轉換

函數體現了現實世界中兩個變量間的關系，解題過程中，學生能夠通過觀察運動與變化，來解析自然界中具體問題量的依存關系，剔除問題中所涵括的非數學條件，那么通過函數的手段就可將這一類數量關系體現出來。如此一來，就可構造函數將最初的處于靜態關系下的兩個量轉化成為具有動態關系的兩個量，接著再通過函數運動的特點予以解決。完成函數中動與靜的轉化，也就是化歸思想的實現。

二、培養學生數學化歸思想的策略

（一）深度挖掘教材

教材絕非只是學生得到知識信息的載體，更是學生發展綜合能力的基礎，以及激發學生發散性思維、發展智慧的重要工具。因此，教師更有必要去深入分析教材，最大限度地挖掘教材內在的思想方法。作為數學思想方法的精髓，化歸思維是初等數學教學與學習中無可回避的重要思想方法，其不僅隸屬于數學這一門學科知識，而且更可作為高于一般數學知識并成為思維方法的源泉。高中數學教材中，部分數學知識自身就涵括了相關的化歸思想方法，對此，教師需要按照具體的課本內容將隱藏的內容予以凸顯。在講清數學知識的過程中，將其背后的數學思想充分挖掘出來，進而使學生不僅能夠知曉知識，而且能進一步體會數學思想的清華。如上述所提，一般數學的教學內容中已經涵括了十分豐富的可以利用化歸思想方法解題的多種素材。眾多的數學定理、公式、法則的證明過程，其本身就包含了化歸思想方法。只要稍加研究就可以發現，化歸思想方法幾乎是無處不在。因此，教師需要在教學階段，一步步地去引領學生挖掘教材中的化歸思想。

（二）采取“變式”教學

教師在教學階段，可以適當地結合“變式”教學。“變式”練習本質上就是化歸過程的一種方法，“變式”這種方法就是把一個未知的數學問題轉化成為學生所熟知的已知問題，然后通過對已知問題進行探索，從而解決未知問題。“變式”處理思想方法正是化歸思想方法之一。“變式”練習能夠有助于使化歸思想從抽象變得具象，也能夠為學生指明了解題方向與思路。所以，教師在教學過程中，應當隨時關注“變式”教學，培養學生數學思想方法。

（三）拓寬解題思路

毋庸置疑，在數學解題時，學生只要多一種思路，便具備多一種解題辦法。一題多解便是力求去培養學生學會從不同的視域去思考問題，嘗試用不同的路徑對問題實施化歸。教師在開展教學階段，可以適當地采取一題多解的訓練模式，來拓寬學生解題思路，以此來強化學生的化歸解題水平。

（四）學會總結

學生的數學思維能力必然是在長時間的實踐與答題訓練中成長起來的，可利用日常性的思維訓練來強化其自身的思維能力。解題是進一步提高學生化歸思想的一個重要途徑，而如果學會對問題進行總結，那么將有助于學生更好地掌握化歸思想的途徑、思路以及方法。

教師所教學的數學知識，只有學生在已有的知識經驗背景下實現主動的建構，方可真正掌握。如果教師只是把化歸的策略講給學生聽，抑或是讓學生進行機械式的模仿，那么學生也無法真正地知曉化歸思想方法，也不能將其運用到解決數學問題中來。因此，教師要在數學解題教學的過程中創造條件，使學生可以去體驗問題的發現、探索、討論、求解的過程。在訓練中，當學生面對一個全新而又復雜的數學問題時，他們會發現可進行化歸的辦法多種多樣，可是當發現其中并沒有十足把握的辦法時，則需要對每一條路徑進行分析，從而找到更好的方法，這樣就能使學生學會靈活運用化歸思想方法。平時教師就需要訓練學生先在腦海中思考怎樣解答問題，然后再動手進行解題，不要不經過仔細思考就盲目做題。

更為重要的是，在學生完成解題后，教師還應當去引導學生對自己的解題思路進行回顧、分析、總結、評價，進一步去學會歸納解題的方法，并將之提升到思想方法上來。利用小結讓學生最大程度地理解化歸思想在數學解題中的作用，并能比較熟練地掌握化歸思想方法，提高自身的思維能力。

綜上所述，化歸思想方法是數學訓練中的重要構成單元，它在數學解題中有直接、具體、強大的功能。“形”與“數”的轉化、“動”與“靜”的轉化都有助于優化學生的解題思路，進一步化解知識重難點，易于學生理解重難點，進而激發學生學習潛能，使之學得更好。

【參考文獻】

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[2]韓云霞，馬旭.淺談函數思想在高中數學解題中的應用[J].寧夏師范學院學報，2016，22（3）

[3]常海波.關于數學思想方法在高中數學解題中應用的探討[J].數理化學習（高三版），2014，17（12）

（責編 盧建龍）