利用一題多解培養學生的發散思維

羅汝生

【摘要】數學的核心是思維，根據思維的形式，思維可以分為輻合思維和發散思維。發散思維是不依常規，尋求變異，對給出的材料、信息從不同角度，向不同方向，用不同方法或途徑進行分析和解決問題的一種思維方式，它的特點是思路廣闊，尋求變異，在思維方向上表現為逆向性、橫向性和多向性。

【關鍵詞】數學思維 多解 發散思維

學生在數學學習中常碰到解題一籌莫展，許多學生一旦在思維受阻時，常不知如何“轉變”。在這一問題上，學生思路不開闊只是表象，而教師在教學中如何善于開拓學生思路，培養學生發散性思維卻是根本。因此，中小學數學教學的過程中，在培養學生初步的邏輯思維能力的同時，有意識地培養學生的發散思維能力非常重要。數學教師在教學中不應只滿足本例題的演示，完成習題解答，而應該首先開闊自己的思路，在完成例題解答的過程中，引導學生運用知識去探索“求異”的結果，培養學生發散性思維，激發學生的創造精神，以達到提高學生解題能力的目的。

一題多解的訓練是培養學生發散思維的一個好方法。一題多解是指在條件和問題不變的情況下，讓學生多角度、多側面地進行分析思考，探求不同的解題途徑。它可以通過縱橫發散，使知識串聯、綜合溝通，達到舉一反三、融會貫通的目的。

一題多解有利于培養學生的創新思維，使學生不滿足僅僅得出一道習題的答案，而去追求更獨特、更快捷的解題方法。一題多解有利于學生積累解題經驗，豐富解題方法，學會如何綜合運用已有的知識不斷提高解題能力。

下面通過幾個課堂實例談談如何利用一題多解的方法培養學生發散思維的能力。

一、某些代數應用題可引導學生考慮不同方法來設元

如：新人教版七年級數學上冊第三章一元一次方程的應用教學中，有這樣一個實際問題：

汽車勻速行駛途經王家莊、青山、秀水三地的時間如表所示，翠湖在青山、秀水兩地之間，距青山50千米，距秀水70千米，求王家莊到翠湖的路程有多遠？

教材意在通過一個具體的行程問題，引導學生嘗試如何用算術方法解決它，然后再逐步引導學生列出含未知數的式子表示有關的量，并進一步依據相等關系列出方程，重點是體現一元一次方程與實際的密切聯系，滲透數學建模思想，培養學生運用一元一次方程分析和解決實際問題的能力。

1、用算術方法可以如下考慮：

汽車從青山到秀水用了15-13=2小時，青山、秀水兩地相距50+70=120千米，所以車速為120÷2=60千米/時，從王家莊到秀水用了15-10=5小時，所以王家莊到秀水相距60×5=300千米，所以王家莊與翠湖相距300-70=230千米；

2、用方程的方法可以通過數形結合，從不同角度設未知數，分析數量關系，緊扣汽車勻速行駛（速度不變）找相等關系，列出一元一次方程求解。

本節問題的背景和表達貼近實際，有些條件比較隱蔽，如汽車在各路段行駛的時間，需要學生從表格中獲取相應的信息，還有行程問題中的數量關系式：路程=速度×時間等。

因此，教學中可先引導學生復習行程問題中速度、時間、路程三者間的關系式，尤其是速度=路程÷時間，然后引導學生弄清題意，畫出如下的線段圖：

再結合生活經驗，把汽車勻速行駛途經王家莊、青山、秀水三地的時間求出：

王家莊到青山的時間是13-10=3小時；

青山到秀水的時間是15-13=2小時；

王家莊到秀水的時間是15-10=5小時。

接著，結合線段圖，引導學生挖掘圖形中蘊含的數量關系，把位置關系與數量關系為一根主線貫穿教學的全過程，不斷變換解題的方法，培養學生發散思維的能力。

解法1（教材給出的方法） 如圖，汽車勻速行駛途經王家莊、青山、秀水三地，翠湖在青山、秀水兩地之間，距青山50千米，距秀水70千米，如果設王家莊到翠湖是x千米，則王家莊到青山的路程是（x-50）千米，王家莊到秀水的路程是（x+70）千米，汽車的速度是 千米/時或 千米/時

根據汽車勻速行駛，可知各段路程的車速相等，于是列出方程：

解此方程直接求出王家莊到翠湖間的路程是230千米。

解法2. 如圖，汽車勻速行駛途經王家莊、青山、秀水三地，翠湖在青山、秀水兩地之間，距青山50千米，距秀水70千米，如果設王家莊到青山是y千米，則王家莊到秀水的路程是（y+50+70）千米，汽車的速度是 千米/時或 千米/時；

根據汽車勻速行駛，可知各段路程的車速相等，于是列出方程：

解此方程求出y，所以王家莊到翠湖的路程有（y+50）千米

二、某些幾何題可引導學生巧添輔助線

如：新人教版七年級數學下冊第七章三角形教學中，有這樣一個例題：如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？

解法1（教材給出的方法）

∠CBA=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°，

由AD∥BE，可得∠BAD+∠ABE=180°，

所以∠ABE=180°-∠BAD=180-80°=100°，

∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°，在△ABC中，

∠ACB=180-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°

解法2、過點C作AD的垂線，交直線AD于點M，交BE于點N

由CM⊥AD可得， ∠AMC=90°，

由AD∥BE可得

∠BNC=180°-∠AMC

=180°-90°=90°

在△ACM中，∠ACM=180°-∠AMC-∠CAM=180-90°-50°=40°

在△BCN中，∠BCN=180°-∠BNC-∠CBN=180°-90°-40°=50°

由平角的定義可得，

∠ACB=180°-∠ACM-∠BCN =180°-40°-50°=90°

當然，還有很多種解法，這里就不一一列舉了，可見，數學教學中的一題多解有利于鍛煉學生思維的靈活性，活躍思路，讓學生能根據題目給出的已知條件，并結合自身情況，靈活地選擇解題切入點。

以上是利用一題多解的方法培養學生發散思維的幾個例子，對于這樣的教學方法，還是有幾個問題需要說明：

1、采用上述教學方法比較費時間，且不是每個例題都有必要和可能這樣教學。教師應該在充分研究例題的基礎上，有選擇的適時采用，次數不宜過多。

2、不同的教師對同一例題的上述教學方法的設計可能不相同，這是正常現象。但是，任何這類教學方法的設計，都必須在充分了解學生認知水平的情況下進行。特別要掌握學生平時解題習慣采用的思路。教學時給予中肯的評價，針對學生的弱點，有意識到編排到教學中去，使學生能真正受益。

3、一道例題的各種解題思路，教學時一般不由教師提出。最好先由學生充分思考后提出方案，教師歸納各種不同意見，整理為幾種有代表性的思路。有時學生提出的思路是教師事前沒有想到的，這就要求教師有較高的鑒別能力，必要時還要調整原來的教學安排，以適應教學中發生的新情況。

總之，一題多解有利于學生思維能力的提高。隨著科學技術的不斷發展，對未來人才的要求，特別是對具有創造能力人才的要求越來越高，因此發展學生的創造能力，已經成為提高學生素質的核心內容之一，培養學生良好的發散思維習慣是提高創造能力的重要環節，“一題多解”有利于調動學生的學習積極性，在教師的啟發、引導下，對一道題學生可能提出兩種、三種甚至更多種解法，課堂成為同學們合作、爭辯、探究、交流的場所，它能極大提高學生的學習興趣，更能滿足不同層次學生的要求。這時學生的思維已經不是簡單的“發散”，進一步的“聚斂”，而且在向更高一層的“組合”發展，這已經是創新的開始。

【參考文獻】

[1]新人教版九年義務教育初中數學教材（七年級下冊）；

[2]《課程資源庫——思維創新訓練》（新疆青少年出版社、喀什維吾爾文出版社）；