談高中數學課堂上的師生有效互動

郝紅云

[摘 要] 當有效教學成為一種普遍追求的時候，教師更要結合學科教學尋找有效教學語境下更為有效的保證. 有效教學是有效的教與學的共同結果，教師與學生之間主要是借助于語言來溝通的，而語言是思維的工具，問題又是打開學生數學思維的重要途徑. 因此有效的問題設計與提出，有效的思維層次與梯度，以及讓學生感覺到心理安全的教學情境，是有效互動的重要保證.

[關鍵詞] 高中數學；數學課堂；有效互動；問題

當有效教學成為一種普遍的追求時，就應當進一步分析怎樣的舉措可以促進有效教學的發生. 事實上，關于此的研究并不少見，大抵是從教學方式、教學理念、教學策略等角度來進行研究的. 筆者以為，教學本身包含著“教”與“學”兩個層面上的內容，而兩者的主體分別是教師與學生，當教學成為一個整體時，意味著教師與學生也是這個過程中的主角. 這樣的理解除了傳統的教師主導與學生主體之外，師生之間的教學互動應當更需要進行研究，或者說這是事關教學是否有效的更為直接的因素.

當然，任何課堂上都存在著師生互動，但講授教學方式下的單向的師生互動顯然并不能保證教學的有效性. 在以生為本的教學理念下，教師自己應當有什么樣的教學行為，教師引導學生產生什么樣的學習行為，才是教學有效性的關鍵. 筆者試以高中數學“任意角的三角函數”一課的教學細節為例，談談如何在有效的師生互動的基礎上促進有效教學.

有效的師生互動以有效的問題為引子

高中數學教學是離不開問題的，因為問題可以讓師生之間圍繞同一個話題去展開思考，那么如何設計出可以稱為有效的問題呢？

理論研究表明，有效的問題往往有一個共同的特征，就是符合學生的認知規律. 高中學生在數學學習中表現出來的認知規律有這樣的幾點教學需求：

一是需要注重知識的層次性. 絕大多數學生在數學知識建構的過程中都存在著明顯的層次性特征，這實際上與我們傳統的數學教學思路有關，也與數學知識發展的脈絡相關，只有基于原有知識去構建新的知識才是符合邏輯的. 需要注意的是，知識的層次性不意味著教學的單向進行，在注重知識層次性的基礎上去提出有效的問題，才是教師努力的方向. 如在“任意角的三角函數”的教學中，為了引入課題，教師可以提出這樣的問題：用直角坐標系和極坐標系都可以表示圓周上的某點P，同學們知道這兩種表示方法之間存在什么樣的聯系嗎？這一問題的提出，是建立在學生已經知道如何用直角坐標和極坐標這兩種方法表示圓周上某點的基礎之上的，層次性顯而易見. 而下面的師生互動是否有效，實際上與學生的原有認識密切相關，只要對其中的一種表示方法不熟悉，那師生互動就可能成為教師講學生聽的單向過程.

二是要注重問題的遞進性. 問題的遞進性可以保證學生思維的逐步深入，可以不斷打開學生的思維大門，因而對于培養學生的數學思維方式與品質是很有幫助的，而有效的師生互動也可以借此發生. 在“任意角的三角函數”的教學中，教師可以基于上述問題進一步提出：這個問題的實質其實就是選擇用什么樣的數學模型描述（r，a）與（x，y）的關系. 當學生解決了上述問題之后，教師基于從特殊到一般的思路，可以進一步提出“怎樣從銳角三角函數推廣到任意角的三角函數”的問題. 這樣的三重遞進，可以將學生的思維進一步引入到用有向線段及單位圓表征三角函數的思路上來. 在此過程中，學生的思維會異常活躍，課堂上的師生互動會十分有效.

三是要注重學生思路的邏輯性. 在學生的數學學習中，總會有一些學生的思維存在跳躍性，這其中有些學生是直覺性較好，而相當一部分則是思維方式的欠缺造成的，這也會造成師生之間無效的互動（所謂課堂上放得太開收不回來，這即是重要原因之一）. 因此，有效的提問表現為對學生思路邏輯性的尊重與引導，上面的三個問題有層層遞進的意思，從“同學們知道這兩種表示方法之間存在什么樣的聯系嗎”到“選擇用什么樣的數學模型描述（r，a）與（x，y）的關系”，再到“從銳角三角函數推廣到任意角的三角函數”，更多的是數學思維間的邏輯關系，并以此促進師生之間基于數學思維邏輯的互動.

有效的師生互動以有效的思維為保證

師生互動表現為師生在教學過程中的語言互動（其他諸如肢體、眼神的互動等，限于篇幅，本文不贅述），而語言其實是學生思維的表達方式，真正互動的應當是師生的思維. 教師由于教學經驗的累積，往往對一個數學問題的提出、猜想與解決有著明確的思路，而此時如果忽視了學生的思維特征，則互動就無法真正發生，因此真正的挑戰在于教師對學生思維的把握.

學生在認識“任意角的三角函數”的時候，面對著三角函數的幾何表示問題，尤其是有向線段的引入問題，不同學生常常會出現思維上的不同水準，有學生在建立有向線段的時候感覺十分困難，因為他們很難將只有大小的線段與方向結合起來；而有的學生則會因為其他學科的相關學習，而結合具體的實例以賦予有向線段實際意義. 這樣的思維差異，導致了教師在此內容的教學中需要關注思維困難學生的思維，而看似隨口的一句“結合實例想想”的引導，也可以化解部分學生在建構有向線段時的思維困難. 而這樣的引導，其實就是有效師生互動中的問題引導，是有效保證.

需要強調的是，有效的師生互動結果空間怎樣，是需要評價的. 在“任意角的三角函數中”教學，有這樣的一個教學環節需要引起數學教師的重視，那就是學生在有向線段概念建立的基礎上的“用適當的有向線段表示第一象限角的正切”的探究，這是學生用剛才師生互動過程中建構出來的知識進行新探究的過程，是數學知識的即時遷移，是數學思維的重復運用. 教學實踐經驗表明，此過程中還是要進行思維的引導的，因為總有一部分學生并不能做到舉一反三，因此此時需要以“在剛才的學習中我們是怎樣解決問題的”“此問題與剛才的問題有什么聯系，有什么區別”這樣的問題，去引導學生產生對比的思維，從而在對比中完成知識的再建構與能力的遷移，顯然，這也是有效教學的另一保證.

在這個過程中，有效教學需以有效的提問為催化，即問題的提問者應當成為研究的另一重要對象. 常規的研究中，往往認為問題既可以由教師提出，也可以由學生提出，事實上這相當于一句正確的廢話，因為即使教師在此基礎上生成的難的問題由教師提出、簡單的問題由學生提出，仍然是經不起課堂的檢驗的. 在課堂學習這一個復雜的即時過程中，教師要預判問題的難度其實是有困難的，學生更加難以精確把握自己在面對一個問題時的實際思維狀態，因此要用問題作為有效互動的催化，需要面向學生的思維難點作“精確打擊”. 例如，在上面所舉的“用適當的有向線段表示第一象限角的正切”探究實例中，筆者在學生分組討論的時候，對不同小組的個別學生進行了觀察，然后將其中的部分學生集中起來，結合“角的終邊”所在的不同象限進行提問：在不同的象限有什么不同，對最終用有向線段表示會產生什么影響？事實證明，這樣的提問往往能夠讓這部分學生的思路更為清晰，這其中既體現了問題的層次性、漸進性，實際上也起到了催化作用.

有效的師生互動以有效的情境為基礎

有效互動是需要情境保證的，這里的情境分兩個層面來討論：一是學科意義的情境，二是非學科意義的情境.

學科意義的情境容易理解，要構建某個數學知識，需以學生學習過的相關知識為基礎去創設教學情境，以讓學生的思維能夠迅速進入到知識構建的情境當中. 上面第一點所提出的“用直角坐標系和極坐標系都可以表示圓周上的某點P，同學們知道這兩種表示方法之間存在什么樣的聯系嗎”這個問題，其實就有引學生入境的意味，此處不再多說.

非學科意義的情境是需要高度重視的，因為其影響學生的學習心理與狀態，是有效互動能否發生的心理保障. 高中數學因為其抽象與繁難，常常會影響學生的學習心態，如果教師在課堂上不能創設一個讓學生感覺到心理安全的情境，那么有效互動就無從發生. 其實學生在將銳角三角函數推廣到任意角的三角函數時，相當一部分學生確實會發生一些低級錯誤，比如不同象限的符號混淆等. 遇到這些問題教師如何評價，就關乎學生學習的心理情境：理解式的評價，會讓學生放下心理負擔，進而更積極地學習；反之則會長時間沉浸在恐懼的心理當中，后面的有效互動自然也就無法發生.

實際上，在課堂中，學科意義與非學科意義的情境是不需要太過區分的，因為在教學的過程中，讓自己擁有理解學生學習過程的心態實施教學，才是營造積極學習氣氛的根本，也是高中數學課堂上師生有效互動的長久保證.