《隨機(jī)過程》課程教學(xué)淺談

【摘要】本文介紹《隨機(jī)過程》課程教學(xué)的幾個(gè)案例，來展示如何讓學(xué)生快速掌握抽象的數(shù)學(xué)理論和方法，以及從中培養(yǎng)學(xué)生的科研能力。

【關(guān)鍵詞】課程教學(xué) 科研能力 隨機(jī)過程

【基金項(xiàng)目】隨機(jī)進(jìn)程代數(shù)模型的Fluid逼近問題研究（國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目，批準(zhǔn)號(hào)61472343，2015.1-2018.12）。

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）04-0225-02

研究生教育的本質(zhì)是科研能力的培養(yǎng)，如何在研究生課程教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的科研能力是一項(xiàng)重要的課題，這方面的重要性已有較多的闡述[1]。筆者多年來一直從事電子與通信專業(yè)研究生學(xué)位基礎(chǔ)課程《隨機(jī)過程》的教學(xué)，也帶領(lǐng)研究生從事通信系統(tǒng)性能分析方面的科研工作。筆者一直思考的問題是如何把《隨機(jī)過程》的課程教學(xué)與研究生的科研能力的培養(yǎng)結(jié)合起來，讓學(xué)生在掌握信息與通信領(lǐng)域所必需的隨機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和方法的同時(shí)，也能用這些理論和方法來研究較前沿的科研問題。

連續(xù)時(shí)間Markov鏈?zhǔn)沁@門課程的核心內(nèi)容，也是難點(diǎn)和重點(diǎn)所在。對(duì)于數(shù)學(xué)功底不扎實(shí)的學(xué)生而言，Markov鏈的基本理論掌握起來已屬不易。本文將通過幾個(gè)案例來展示我們的教學(xué)設(shè)計(jì)怎樣讓學(xué)生掌握基本理論和方法，并從中訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的科研能力。

一、設(shè)計(jì)場(chǎng)景介紹連續(xù)時(shí)間Markov鏈定義

連續(xù)時(shí)間Markov鏈有三種等價(jià)的定義，即跳鏈/停留時(shí)間定義、無窮小定義和轉(zhuǎn)移概率定義。這三種定義都比較抽象。我們的教學(xué)是設(shè)計(jì)一個(gè)具體直觀的場(chǎng)景來介紹第一種定義。

有門牌號(hào)分別是1、2、3的三個(gè)房間：

①你到達(dá)3號(hào)房間后，1、2號(hào)房間各自等待一段隨機(jī)時(shí)間后發(fā)來邀請(qǐng)，邀請(qǐng)你去1 和2 號(hào)房間。這個(gè)隨機(jī)時(shí)間分別服從參數(shù)為Q31和Q32的指數(shù)分布。你選擇去先給你發(fā)邀請(qǐng)的房間，即如果是你先接到1號(hào)房間的邀請(qǐng)，則去1號(hào)房間；反之你就去2號(hào)房間； 因此你在3號(hào)房間里面停留的時(shí)間服從參數(shù)為Q31+Q32的指數(shù)分布。

②如果你轉(zhuǎn)移到1 號(hào)房間，你會(huì)收到2和3號(hào)房間分別發(fā)來的邀請(qǐng)函，發(fā)邀請(qǐng)函前所等待的時(shí)間分別服從參數(shù)為Q12和Q13的指數(shù)分布。同樣，你選擇去先給你發(fā)函的房間，因此你在1號(hào)房間里面停留的時(shí)間服從參數(shù)為Q12+Q13的指數(shù)分布。

③如果你轉(zhuǎn)移到2 號(hào)房間，類似地，你會(huì)收到1和3號(hào)房間發(fā)來的邀請(qǐng)函，發(fā)邀請(qǐng)函所等待的時(shí)間分別服從參數(shù)為Q21和Q23的指數(shù)分布。你選擇去先給你發(fā)函的房間，在2號(hào)房間里面停留的時(shí)間服從參數(shù)為Q21+Q23的指數(shù)分布。

每到一個(gè)房間，你都按照這樣的規(guī)則等待和轉(zhuǎn)移，這樣你的行蹤就構(gòu)成了一個(gè)連續(xù)時(shí)間Markov鏈，并且該鏈Q(jìng)的矩陣就是由上述指數(shù)分布的參數(shù)構(gòu)成。這個(gè)連續(xù)時(shí)間Markov鏈的初始分布就是初始時(shí)刻你在各個(gè)房間的概率。

通過這個(gè)場(chǎng)景設(shè)計(jì)我們很直觀地介紹了Markov鏈，并且講清楚了Q矩陣的含義，在此基礎(chǔ)上再介紹其他的定義方式就容易多了。

二、模擬場(chǎng)景介紹Markov鏈的性質(zhì)

再引入指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，就可以立刻把上述場(chǎng)景隨機(jī)模擬出來。這有利于學(xué)生進(jìn)一步了解Markov鏈的定義，并為將來科研活動(dòng)中廣泛運(yùn)用各種Monte Carlo方法（例如MC MC）打下基礎(chǔ)。通過隨機(jī)模擬連續(xù)時(shí)間Markov鏈，可以介紹Markov鏈的狀態(tài)的分類等性質(zhì)。最重要的是，用模擬的方法可以很好地驗(yàn)證Markov過程的遍歷性，即通俗所說的“時(shí)間的平均等于空間的平均”的性質(zhì)，以及觀察瞬時(shí)概率分布是如何收斂到平穩(wěn)分布的。

三、連續(xù)時(shí)間Markov鏈的Poisson過程表示及應(yīng)用

Poisson過程是一種特殊的Markov鏈。 但在上述連續(xù)時(shí)間Markov鏈的隨機(jī)模擬過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察Markov鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移的次數(shù)服從Poisson過程。那自然要問：這個(gè)取值于整數(shù)的Markov鏈能不能用Poisson過程表示出來嗎？答案是肯定的。這就是美國(guó)科學(xué)院院士T. Kurtz的定理[2]。他的這個(gè)結(jié)論在當(dāng)今通信系統(tǒng)的性能建模中有著廣泛的應(yīng)用。并且這種表示方法可以直接導(dǎo)出著名的Gillespie隨機(jī)模擬方法，利用這個(gè)模擬方法可以提取并發(fā)系統(tǒng)的性能指標(biāo)，這樣就把學(xué)生帶到了性能建模領(lǐng)域的學(xué)術(shù)前沿。

本文介紹了《隨機(jī)過程》課程教學(xué)的幾個(gè)案例，來展示如何讓學(xué)生快速掌握抽象的數(shù)學(xué)理論，并在課程教學(xué)過程中進(jìn)行科研能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]章曉莉.基于科研能力培養(yǎng)的研究生課程教學(xué)改革的思考，教育探索，2010年第7期，36-38頁，2010年

[2]S. Ethier and T. Kurtz， Markov Processes： Characterization and Convergence， John Wiley & Sons， Inc.1986

作者簡(jiǎn)介：

丁杰（1978-），男，江蘇江都人，博士，副教授，研究方向是并發(fā)系統(tǒng)的性能建模。