類比推理在小學數學教學中的有效實施摭談

杜建軍

[摘要]類比推理作為一般的合情推理方法，是一種重要的數學思想，在小學數學教學中被大量應用。在經歷類比推理的過程中，讓學生感悟運用類比推理的價值。運用類比推理得到的結論是或然的，但不能因為類比中存在或然現象而否定類比推理對于思維培養的價值。

[關鍵詞]類比推理 小學數學教學 有效實施

在數學教學中發現，學生有時會對某個知識點有“似曾相識”的感覺。如果我們能抓住學生的這種感覺，適時啟迪學生進行比較和聯想，往往學生能在相似思考中獲得所需的方法或結果，從而輕松地解決問題。這里其實是在運用類比推理。

在具體教學中如何由舊知識遷移類比到新知識，如何通過恰當的問題溝通新舊知識間的聯系，如何引導學生實現類比推理、感悟推理思想呢？帶著這些困惑，筆者翻閱了近幾年的聽課筆記，結合讀書及平時的教學實踐，從中窺探一些現象與問題，進行以下思考。

一、怎樣引導學生運用類比推理進行思考

數學教育家波利亞說：“類比就是一種相似。”應用類比的思想方法，關鍵在于發現兩類事物間相似的性質，因此，觀察、比較與聯想是類比的基礎。我們在運用類比法進行教學時，要從具體的問題情境出發，提供先行組織者材料，引導學生尋找相似的類比問題，通過觀察、比較、聯想，溝通新舊知識間的聯系，從而引發學生進行類比思考并大膽猜想，再通過舉例驗證，最后得出結論。在經歷類比的過程中，感悟運用同類比推理的價值。

1.引導回顧舊知，搜索類比對象

在涉及運用類比推理教學時，我們首先要根據學生所學新知或所要解決問題的具體特點和規律，尋找與它在特征或思考方法上相類似的對象。這樣的對象須是學生已經學會的舊知識或經驗。如在教學小數、分數的運算順序及運算律時，我們可以將整數運算順序、運算律作為類比對象；在教學正方形的周長或面積計算時，將剛學過的長方形的周長或面積計算作為類比對象。而在教學圓柱的體積公式推導時，在實驗操作方法上可和圓的面積公式推導的操作方法進行類比。同時該問題還與長方體和正方體的體積計算有一些相似點，這些是啟迪學生感悟圓柱體積計算的基礎，特別是長方體和正方體的體積計算公式“底面積×高”，對探索圓柱的體積計算方法起著重要作用。這樣就找到了學習圓柱的體積計算的合適類比對象。

尋找類比對象，可以通過創設一定的問題情境，讓學生在教師的啟發下進行。隨著學生學習經驗的積累以及他們對運用類比法解決問題價值的體會，學生會逐漸學會自覺尋找合適的類比對象。

教學中，可以通過提出以下問題引導學生尋找類比對象：

（1）目前遇到的這個問題你見過嗎？你覺得解決這個問題需要用到我們以前學過的哪些知識？

（2）你覺得這個問題與以前學過的哪些問題相似？你覺得解決這個問題所用的方法與以前解決哪個問題所用的方法相似？

2.觀察比較.溝通聯系

我們經常聽到學生說，這個問題與我們以前學過的某個問題很像，其實學生正在進行類比聯想。有了這樣油然而生的聯想，學生能比較深入地溝通新舊知識問的聯系，在觀察、比較中區分問題屬性的異同，并找出它們類似的特征，從而使學生加深對新知識的理解。

平面圖形和立體圖形有很多的相似點。平面圖形的邊和立體圖形的面可以進行比較，平面圖形的面積和立體圖形的體積也可進行比較。比如，在教學體積單位時，我們可以這樣引導：為了便于比較不同物體表面或圖形的大小，我們統一了面積單位。那么，為了比較不同物體或立體圖形的大小，我們應該怎么辦呢？讓學生在類比思考下明白同樣需要對體積單位進行統一，這種共同的需要便是它們的聯系點。再如，1平方厘米與1立方厘米，它們都是以長度單位1厘米為基礎，這樣就可以將面積單位和體積單位聯系起來，進一步找到它們的聯系點。在教學長方體的體積計算公式推導時，可以與長方形的面積計算公式進行類比。另外，在同一類圖形中，也有很多相似點。如我們在教學正方體的認識時，就可以直接引導學生溝通正方體與長方體之間的聯系，正方體是特殊的長方體，它們在面、棱及頂點的數量及特征上相同或相似。通過這些聯系點，就能很好地將兩個問題聯系起來，在觀察、比較的基礎上逐步弄清問題的實質。教學時，我們一般可以提出如下問題：

你覺得要解決的問題與已解決的原問題在哪些方面相似？它們的共同點是什么？

3.類比推理，形成猜想

有了以上對類比問題的確定及對兩個問題間相似點的把握，我們便可引導學生在聯想的基礎上進行大膽猜想，實現知識的遷移，初步得出結論，這是類比推理過程中極為重要的一步。類比聯想是引發類比推理的動力，盡管此時得出的結論不一定正確，但學生在這個過程中進一步溝通了新舊知識間的聯系，促進了學生推理能力的發展和思維品質的提升。此時我們應鼓勵學生大膽地將猜想的結果在組內或全班表達出來，不能因為有些學生的猜想結果與正確結論不一致而否定學生的思維方法。其實，在這個過程中，學生真正在開動腦筋積極思考、在類比思考中提出猜想，這恰好反映了他們對解決問題所做的努力。因此，我們仍應對學生通過類比提出猜想而給予鼓勵。

比如，在教學分數的基本性質時，可以直接引導學生回顧分數與除法的關系及除法中商不變的性質，讓學生根據商不變的性質，直接類比猜想出分數的基本性質。由于分數的基本性質與商不變的性質在本質上是一致的，因此沒有必要再花大量時間重新去探索其性質。

在進行這一步教學時，我們一般可以提出如下問題：

通過類比，你覺得今天所學的新問題有哪些特點（或性質）？你覺得可以用怎樣的方法來解決這個問題？請你們大膽地猜想一下。

4.舉例驗證，明確結論

如在教學小數、分數的運算順序、運算律時，我們先直接引導學生猜想：整數運算順序、運算律在小數、分數中能否直接應用？不同意的同學，請舉出反例，同意的請舉例驗證。學生在這樣的過程中逐漸明白整數運算順序、運算律在小數、分數計算中也同樣適用，從而驗證了結論的正確性。

通過舉例驗證，還為學生創造了回顧與反思的機會，讓他們重新審視學習過程。如果通過驗證發現的結論是錯誤的，恰好引導學生將所給問題引向新的思考，進一步修正猜想。這些過程都是學習中難能可貴的體驗。

進行這一步教學時，一般可以通過提出如下問題引導學生思考：

（1）為了驗證我們的猜想是否正確，同學們能找出相反的例子嗎？如果找不到反例，請大家再舉例驗證一下。

（2）我們剛才是如何解決這個問題的？你是通過和什么進行類比的？

（3）在剛才解決問題的過程中，你覺得我們要注意什么？

二、怎樣看待類比推理中的或然現象

類比推理是一種合情推理，采用類比推理出的結論可能不一定正確。在小學數學教學中，有以下幾個例子值得注意。

如平行四邊形面積計算公式推導的教學。平行四邊形面積計算的教學是在學生掌握了長方形、正方形面積計算的基礎上進行的，長方形的面積=底×高，因此學生在學習平行四邊形計算時經常將此類比過來，認為平行四邊形的面積等于底與其鄰邊相乘的積。在課堂上出現這種現象時，大多數教師往往是簡單地對學生的猜想進行否定，甚至批評學生不應該這樣猜想。我認為，猜想本來就是無所謂對錯的，要允許學生在猜想的過程中出現與正確結論不一致的情況，我們要看到學生在這個過程中思維活動的閃光點，這正是讓學生正確、全面認識類比推理的一個好機會。

教學中出現這樣的現象時，我們可以嘗試作如下引導：同學們剛才猜想平行四邊形的面積等于底與鄰邊相乘，大家能大膽地與長方形的面積計算方法進行類比，可是，這樣猜想出的結論一定正確嗎？你能運用我們所學的知識進行驗證嗎？

這時有些同學會想起用數方格的方法進行驗證，也可能會有同學用能活動的平行四邊形學具通過改變平行四邊形的高發現在變化的過程中其面積也在隨著變化，從而發現剛才猜想的結論不正確。到這里，我們可以進一步作如下引導，出示兩個不規則的圖形（如下圖）：

讓學生思考如何通過測量求出這兩個圖形的面積。這時他們容易想到運用割補法將兩個圖形分別轉化為長方形來計算面積。有了這樣的鋪墊，接著再引導學生思考：大家覺得平行四邊形的面積計算能否運用類似的方法呢？從而再次將學生引導到轉化方法的類比上。學生就會容易想到通過割補轉化的方法，進一步將平行四邊形轉化為長方形，并引導學生猜想是否所有的平行四邊形都能運用割補法轉化為長方形來計算其面積。接著引導學生通過動手操作進行驗證，得到平行四邊形的面積=底×高，從而實現思考方法的正遷移。在這個過程中，學生會逐漸明白為什么不能用底與鄰邊相乘來計算平行四邊形的面積，并感受到運用類比推理要選擇好類比對象，對運用類比法解決問題的一般過程有了比較清楚的認識。

又如3的倍數的特征這部分內容教學。這部分內容是在剛剛進行2、5的倍數的特征教學的基礎上進行的。2、5的倍數的特征都是通過看個位上數的特征得到的。因此，學生會很自然地通過類比進行猜想：3的倍數的特征可通過看個位上的數是否為3的倍數得到。這里我們也要讓學生經過舉例驗證說明這個結論是不成立的。并進一步引導學生通過觀察、歸納探索出3的倍數的特征。

通過以上分析，我們發現，運用類比推理得到的結論是或然的，必須等待我們通過進一步舉例或證明來進行驗證。因此，我們有必要從整體上把握各年級教材的編排體系，熟悉教學內容的前后聯系，清楚哪些內容可以引導學生運用類比推理進行進一步學習，正確看待類比推理中的或然現象，不能因為類比中存在或然現象而否定類比推理的思維培養價值。

類比推理是學生進行數學學習的一種良好的思維方式。引導學生進行類比推理時，重在溝通新舊知識間的聯系，引導學生進行大膽猜想，在活動過程中提升學生的思維能力。類比推理是一種重要的數學思想，它能誘發學生的學習、激發靈感，激起學生的學習興趣，讓學生體驗到發現與創新的快樂。