找準切入點助推思維力

【摘要】數學學習和思維發展始終是相依相隨、互相促進的。數學課堂是學生思維發展和提升的沃土，教師應遵循學生的認知規律、思維方式和特點，找準教學過程中知識的“生長點、關鍵點、聚合點、疑難點、核心點、梳理點”這些切入點，有計劃、有方法地注重學生思維能力的培養，引領學生向著思維深處漫溯，開啟學生的智慧，綻放數學的魅力。

【關鍵詞】小學數學；課堂切入點；數學思維

能力是保證個體“能”順利地完成一定活動、直接影響活動效率的主觀條件，是有知識和智力等構成的有機整體[1]。那么“數學能力”就是人們“能”順利地完成數學活動、直接影響其活動效率的主觀條件。而其中數學思維能力則是直接影響數學能力的核心要義。c“數學是思維的體操”。《義務教育數學課程標準》的總目標之一就是要求學生能“運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”[2]。因此數學課堂中，要以學生數學思維能力的發展為主旨，有效處理和把握好掌握知識與發展思維之間的關系，順應學生的思維生長和發展狀態，敏銳并具智慧地掐準課堂中知識的形成節點，適時引導、助推和開化學生學會數學地思考，在數學知識的習得和積累的過程中，理解知識的數學實質及其體現的數學思想，提升數學思維能力。

一、鄰家老枝發新芽——在知識生長點處引入，激起數學思維的火花

“知識是‘生長出來的”。學生的學習過程是知識不斷積累和能力不斷提高的過程，新知識的學習是在原有基礎上進行的“老枝發新芽”，學生對新知識的理解是逐步由模糊到清晰、由零碎到完整并逐步融入原有知識體系之中[3]。因此，在課堂教學過程中，教師要結合新舊知識的生長點來巧妙引入，引導學生進行獨立思考。當學生通過自己的積極思維而得到結論時，那種喜悅是由衷的，獲得的成就感也是非常強烈的，這種獨特的感受會促使學生不斷地利用自己已有的知識去對新知識進行探索和領悟，在一點點、一步步的不斷思考的過程中，學生的思維能力就會不斷攀升。

例如在教學“認識公頃”時，學生已經學習了平方厘米、平方分米、平方米三個面積單位，這是學生已有的知識經驗，我首先是激活舊知，出示正方形（正方形邊長用“？”來表示）讓學生依次用一句話來具體闡述已學過的面積單位，課件相機演示。接著，拋出問題：“你能根據學習經驗再創造出一些更大的面積單位嗎？”學生思維飛揚：“邊長是10米的正方形，面積是1平方米”，“邊長是100米的正方形，面積是10000平方米”，“邊長是1000米的正方形，面積是1000000平方千米”，此時，教師指出：“100平方米就是1公頃，公頃就是今天要學習的新的面積單位。”在此基礎上，結合學生日常生活實際，通過不同的素材和形式讓學生去感知1公頃的大小，增進新知的感悟和體驗。上述教學中，我緊緊抓住知識的生長點，即正方形邊長的依次變化增大，相應的面積單位也就變化增大，以此為契機，激活了學生思維的火花。在學生聯系已學的三個面積單位創造新的面積單位的過程中巧妙無痕地引入、衍生了公頃，讓學生拾級而上，有序建構了面積單位思想模型，既加深了不同面積單位由來的感悟，又很好地銜接了平方米和公頃兩個面積單位。這樣，緊抓知識的生長點，適切引入，靈性生發，思維生長，理解深刻。

二、絕知此事要躬行——在知識關鍵點處探究，迸發數學思維的張力

抓住了知識的關鍵點，就抓住了課堂教學的脈絡、主調。教學中，教師要善于緊抓關鍵點，將原生態的知識推到學生面前，讓學生在自主探究知識實質的過程中，迸發數學思維的張力，顯現智慧的魅力，促進對新知的感悟和內化。

例如在用假設策略解決實際問題中，理解兩種量之間的倍數關系和相差關系是教學的關鍵點，我在出示例題時，故意隱去了“小杯的容量是大杯的”這一關鍵信息，讓學生發現情境中缺少條件并主動去補充條件。這樣，學生的關注點將自然地聚焦到大杯和小杯的容量之間的關系這一假設的依據上。學生補充的條件有倍比關系的，也有相差關系的，而這正是運用假設策略來解決問題的兩個重要依據和抓手，學生思維清晰、規范、指向集中，假設的策略也就呼之欲出。此時，首先出示“小杯的容量是大杯的”，學生通過“畫一畫”得出了“1個大杯假設成3個小杯或3個小杯假設成1個大杯”的策略；其次出示“大杯的容量是小杯的4倍”。學生解答時大多認為把1個大杯假設為4個小杯比較簡便。認為把小杯假設為大杯的話，不能正好得到幾個大杯，雖然大杯個數不能正好得到整數，但也可算出大杯的容量。由此體會到在具體運用策略時，要優化假設策略，選擇合適的假設方法；再次出示“大杯的容量比小杯多20毫升”，學生有了前面假設的經驗，就能創造性地運用已有知識經驗來展開探究：發現相同之處都是知道了兩種杯子的關系，但現在的條件是“一個大杯比一個小杯多20毫升。”一個大杯換幾個小杯？——只能換一個，但換了以后會怎樣呢？——總量發生變化，在經過“畫一畫、想一想、議一議”的自主探究之后，學生的思路豁然開朗，找到了具體的假設方法。這樣，抓住兩個量之間的關系這一關鍵點靈活地變化，充分調動和激發了學生的探究欲望，利用知識之間的遷移，突破了難點，并讓學生在比較中內化知識結構，明確了倍比、差比兩種不同類型的假設特征及其數學內涵，學生思維馳騁，在變與不變中探尋聯系，感受到數學的規律美。

三、千樹萬樹梨花開——在知識聚合點處伸展，凸顯數學思維的廣度

數學知識的編排具有一定的結構體系，分散在不同年級和學期，前后相互關聯并且逐漸深入推進。教師應厘清和把握具體數學知識的前后聯系與結構關聯，了解學生的學習狀態，基于學生思維發展水平，敏銳地捕捉相關知識的聚合點，在聚合點處伸展，引導學生在建構思想模型的進程中凸顯思維的廣度，對數學知識的理解從形式與內容的認知，走向數學知識實質的升華[4]。

例如在教學解決問題的策略“一一列舉”時，在學生經歷感受了“周長是22米的長方形，怎樣圍面積最大？”各種圍法的一一列舉過程中，體會到一一列舉時 “十分講究有序思考，要做到不重復、不遺漏”的特點之后，我抓住“有序思考”這一聚合點，讓學生回顧交流：“在以前的學習中，我們曾運用列舉的策略解決過哪些問題？”

學生思維活躍，精彩紛呈。

生1：一組一組地寫出10可以分成幾和幾。

生2：乘法口訣表的口訣也是一一列舉排列的。

生3：有序寫出3張數字卡片能組成的所有三位數。

生4：用12個邊長1厘米的正方形拼出不同的長方形。

生5：買一個娃娃配一個帽子的搭配方法。

生6：寫出1.1—1.2之間的所有兩位小數。

……

師：這些運用一一列舉的策略來解決問題的過程有什么共同點？

師：可見，一一列舉是一種常用的解決問題的策略。生活中有許多實際問題，列式計算比較困難，如果聯系生活經驗，用一一列舉的方法就能比較容易地得到解決。

上述教學中，以問題為導火索，抓住一一列舉策略“有序思考”這一聚合點，讓學生在回顧、梳理的舉例中，將頭腦中已有的、零散的知識經驗系統化，思維之泉噴涌而發。課堂上千樹萬樹梨花開，既喚醒和激活了以往積累的列舉經驗，在交流中思維共鳴，又豐實了“有序思考”的思想模型，凸顯了思維的廣度，使學生更好地理解一一列舉策略，感受策略的延續性，充分體會策略的廣泛運用與價值。

四、百思不解豁開朗——在知識疑難點處點撥，拓展數學思維的寬度

課堂上，當學生在知識疑難點處思維卡殼時，如果沒有教師的適時點撥，他們會茫然不知所措，要么停止思考，要么四處出擊亂碰亂撞，以至于一無收獲。教師應在遵循學生思維規律的基礎上，通過點撥思維方向及思考方法，幫助學生打開、拓寬思維路徑，探尋更寬闊的視野，真正起到“四兩撥千斤”的功效[5]。

例如，我在教學“3的倍數的特征”時，先復習舊知判斷哪些數是2或5的倍數，只要觀察這些數的個位上數字的特征就行了。再出示一些數判斷哪些數是3的倍數，讓學生和老師比一比誰的速度快，老師的判斷速度快，這其中必然有規律！由此引發學生探究的興趣，于是出示百數表，讓學生在表中找出3的倍數，學生發現沿襲判斷2或5的倍數的特征的知識，從個位上看不出3的倍數的特征，怎么辦呢？判斷3的倍數到底有什么訣竅呢？此時學生的思緒紛繁、無從下手。我故作玄虛：“老師不看數，還能聽數速判呢！”于是讓學生在計數器上撥數，我背對計算器聽音速判撥出的一些數是否是3的倍數，設問：老師是怎樣判斷一個數是不是3的倍數的？珠子總顆數與撥出的數有什么聯系？你能大膽猜想一下3的倍數與各位上數字的和有什么關系？你打算怎樣來驗證？隨后引導學生在學習單上通過“先確定各位上數字的和——再寫出符合的數——判斷是否是3的倍數”正反兩方面的舉例驗證，得出了3的倍數的特征。上述教學中，當學生新舊知識沖突陷入困境之時，通過教師“聽音判數”的巧妙設計和點撥導學，引發學生聚焦到“3的倍數與各位上數字的和有什么關系”的問題探究中，點明了學生的智慧之燈，撥動了學生思維之弦，打開了學生思維的閘門，真可謂柳暗花明又一村。

五、千舉萬變其道一 ——在知識核心點處變式，挖掘數學思維的深度

教學中，教師應抓住核心知識點，在層層深入的變式中，于無痕處生根，在有形處開花，逐步讓學生向思維深處挺進，體驗和內化數學知識實質，構建數學思想方法及模型。

例如在教學解決問題的策略“轉化”中，我聚焦“化繁為簡”也就是“變中求不變”的知識核心點對習題進行了遞進式的變式，引領學生深度思維，增進學生對轉化策略的體驗和深化。

“練一練”：下列同樣大小的長方形地中分別鋪設了一些小路（圖中小路的寬度都相等）。這些小路的面積相等嗎？為什么[6]？

在學生分別把圖形①和③中的小路通過平移轉化成與圖形②中完全一樣的小路，比較得出這些小路的面積相等后，我提出問題：“解決這個問題用到了什么策略？這些小路轉化前后什么變了？什么沒變？”“小路面積保證不變的話，圖①中這些小路還可以怎樣鋪設呢？誰上來指一指？”學生指出不同的鋪法后，我再出示兩幅圖（如下圖）：

④ ⑤

例如還可以這樣鋪……這些小路形狀雖然變了，面積卻始終保持不變。是呀，我們在轉化的變化過程中，保證了面積也就是結果不變。這就是“變中求不變”。

此時，我又對習題進行了變式。

如果在小路的周圍都種滿草坪，這些草坪的面積相等嗎？為什么？（如下圖）

學生反饋交流得出面積相等。方法1：只要平移圖形⑥和⑧中的小路，這樣就轉化成與圖形⑦完全一樣的小路，進而得出草坪的面積相等。方法2：平移圖形⑥和⑧中的草坪，轉化成與圖形⑦完全一樣的草坪。

上述教學中，教材原題只是比較圖形①和②中小路的面積大小，我豐富題目的信息量，增加了圖形③變式題，在于加深學生對轉化策略的感受和體會。首先是“練”——讓學生在比較面積的過程中主動運用和感受轉化策略；其次是“展”——讓學生上臺指著說一說小路面積不變的前提下還可鋪設的情況，直觀展示學生的思維，豐富學生的策略運用；接著是“延”——列舉還可改變的不同形狀，拓展延伸“變”的無窮；最后是“承”——換個角度來比較草坪面積的大小，既提升學生主動運用策略的意識，又與后續的練習無痕承接，巧妙地鋪墊和孕伏。這樣，通過對“練一練”四個層次的遞進式的變式練習，讓學生深刻體會到“化繁為簡”的轉化實質就是“變中求不變”，從而將學生的思維引向深處，在此過程中學生對于轉化中“變中求不變”的領悟和體驗是深刻的。

六、余音繞梁猶未絕——在知識梳理點處反思，搭建數學思維的橋梁

反思就是學生對自己的思維過程、思維結果進行再認識的檢驗過程，是促進知識同化和遷移的可靠途徑，是一種更深層次的學習過程[7]。教師教學完新知識之后，要留給學生消化和思考的時間，讓學生在知識梳理點處 “回頭看”，回顧與反思學習的過程、方法、收獲和困惑，在反思中由點連線、由線及面、由面搭橋，同時體悟到知識負載的方法、蘊涵的思想，為后續學習積累豐富的思維活動經驗和能力。

例如學生在學習了假設策略的例1、例2之后，教師可引導學生及時梳理比較解決例1、例2的過程，反思它們都用了什么策略。為什么要用這一策略？運用假設策略解決問題時要注意些什么？什么情況下適合用假設的策略？又如學生在學習了轉化策略后，可讓學生反思：我們通過哪些方法進行轉化？運用轉化的策略有哪些優點？在以后的學習和生活中你有何啟示？這樣就把解決問題的策略提升到相應的數學思想的高度來認識，以展示數學本身的魅力。學生不僅知其然，更知其所以然，在此過程中順利搭建了思維的橋梁，就會自覺運用數學的眼光和思維方式去發現問題、分析問題、解決問題，并把課內知識自覺主動地遷移和延伸到課外和生活實際之中，從而增強學習的持續力和發展力。

思維就像一棵花，它是逐漸地積累生命的積液的。只要我們用這種積液澆灌它的根，讓它受到陽光的照射，它的花就會綻開[8]。總之，教學中教師要遵循學生的認知規律和思維特點，找準切入點，靈活、智慧地助推學生生長思維、向思維深處漫溯，使學生學有所思、學有所獲、學有所長，從而開啟學生的智慧，顯現數學的魅力。

【參考文獻】

[1]施良方，崔允漷.教學理論：課堂教學的原理、策略與研究[M]. 上海：華東師范大學出版社，1999：99.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]匡金龍.讓數學知識在課堂上自然生成[J]. 小學數學教育，2015（1-2）：51.

[4][5]蔣敏杰.課堂追問：助推學生思維發展[J]. 課程教學研究，2015（7）：56-58.

[6]周建東.于無痕處漸入 在有形處深化[J]. 小學數學教育，2016（4）：70-71.

[7]方永進.從課堂入手培養學生反思能力[J]. 小學教學參考，2010（10）：52.

[8]蘇霍姆林斯基.給教師的建議（下）[M]. 教育科學出版社，1980：196.