《函數的基本性質》教材分析

謝云玖

【摘 要】函數是中學教學中最重要的基本概念之一，本節是學習了函數概念之后將要學習函數的基本性質為函數學習的第一階段，基本初等函數Ⅰ和基本初等函數Ⅱ是學習函數的第二階段，第三階段是選修系列的導數及其應用的學習，這三個階段函數知識層層遞進，由淺入深。

【關鍵詞】函數；基本性質；教材分析

函數從初中到高中都是十分重要的內容，在高中階段中很多內容中均有體現，必修一中的指數函數，對數函數及冪函數。必修四中的三角函數，必修五中的數列，選修中的導數均有函數的影子，可見函數這部分內容十分重要。

一、教材編排方式分析

1.引入

以三幅函數圖像引入，教材第27頁是函數基本性質總引入，函數的基本性質有3方面的內容：單調性、最值、奇偶性，編者的意圖是使用數形結合的方法，從觀察具體函數圖像特征入手而且一圖三用。第一個圖是R上的增函數，無最值，并且是奇函數。第二個圖像有多個單調區間，有最大值，無最小值，是非奇非偶函數。第三個圖像，有最小值無最大值，有多個單調區間且圖像關于y軸對稱，是偶函數，這幾幅圖編者的意圖很明顯把函數的基本性質都放在其中，講函數單調性最大最小值及后面函數的奇偶性均可用這幾個函數圖像進行觀察，從直觀上感受函數的基本性質。

本節課的引入用學生在初中已學過的一次函數二次函數來感受上升和下降，一次函數較簡單，編者一筆帶過，在二次函數上仔細分析了，編者使用二次函數的意圖是：二次函數是初中已經接觸的函數，它比指數函數，對數函數要簡單，而且是中學階段最重要的函數，在函數的概念和性質的學習中，以它為主要模型貫穿始終，不僅使學生建立起完善的二次函數的知識結構，而且也使抽象的函數概念學習有了一個適當的具體函數作支撐。從而有效的降低函數學習的困難，提高學習的質量。

2.單調性的定義

函數單調性編者分三步走：第一步由f（x）=x和f（x）=x2的圖像整體認識“上升”“下降”；第二步利用表格用自然語言描述圖像“上升”“下降”；第三步：運用數學符號語言將自然語言的描述提升到形式化的定義教材逐步推進，把學生的思維引到怎樣表述任意性，這也是本節課的難點地方。

3.例題

四個例題有著各自不同的目的和任務，我們這節課只講前兩個例題：

例1：讓學生掌握單調區間和單調函數，函數的單調性怎么表示，單調函數與單調區間怎么規范的敘述，這道例題還是讓學生掌握從圖形觀察它的性質。

例2：有兩個目的第一個目的讓學生感受到函數單調性基本應用。第二個目的把函數單調性的證明的基本步驟在這個例題中歸納出來，函數單調性的證明步驟可歸納為五步：設元——作差——變形——判斷——定論。

二、教材為什么要這樣編寫

（1）強調背景和應用。展現過程和聯系。函數的本身就是刻畫現實世界中變化規律的模型，它擁有豐富的現實背景。例2，例3都是來源于現實。

（2）滲透了數學思想方法，關注數學文化。專家說：“加強思想性上本書追求的目標之一”，本節主要蘊含了數形結合，用函數觀點研究問題，也有數學建模的思想方法，數形結合也貫穿了必修1的始末。

（3）提供了自主空間，促使學生主動學習。學生的數學學習活動不應只限于對概念，結論和技能的記憶模仿和接受，獨立思考，自主探索，動手實踐，合作交流，閱讀自學等都是學習數學的重要方式。

三、教學中的幾點把握

（1）關于單調區間是開區間還是閉區間問題。函數單調性是對某個區間而言的，是函數的局部性質。對于單獨的一個點，由于它的函數值是唯一確定的常數，因而沒有增減變化，所以不存在單調性的問題，對于閉區間的連續函數來說，只要在開區間上單調它在閉區間上也單調因此在考慮它的單調區間時包括不包括端點都可以。

（2）關于用定義證明單調性問題。本書僅在例2中涉及到，原教材用了例2、例3來詳細介紹，用定義證明單調性，練習和習題中也有涉及到單調性的證明，在本書中單調性的證明顯然弱化了，第32頁的練習有四道是從圖形中得到結論，只有第四小題是證明單調性而且是一次函數，習題1.3中第2題、第3題是證明單調性但只是一次函數、二次函數、反比例函數，所以教學中不要有太復雜的函數證明單調性，復雜函數單調性以后用導數會解決的。

（3）從結構體系上，要把握螺旋上升，本節為什么要采用螺旋式安排教學內容及其學習過程呢？主要是考慮與學生的心理發展水平相適應的問題。專家說：“學習從屬于發展”，同時數學概念在不同層次上能夠得到表征，也為螺旋上升地安排學習內容提供了可能。

四、教學建議

第一步，觀察引入圖像了解上升，下降的直觀感受，得到增函數減函數。

第二步，從幾個實例的共同特征到一般性質的概括，引導學生用數學語言表達，形成數學概念，培養探究能力，教學中先在f（x）=x2單調增區間部分注意多舉例子x1=1，x2=2比較f（1），f（2）的大小，多次重復引導學生說出所以數字在我們不能一一列舉的情況下我們該怎么辦？可不可以把單位長度抹掉，抹掉之后怎么表示，任意指一個位置讓學生說用x1表示，然后指另一個位置讓學生說用x2表示。然后引出書上那個沒有單位長度的那個圖。

第三步，例1熟悉單調區間及單調函數的表示。

第四步，對單調性證明步驟的歸納。