高中數列學習的難點所在及對策

屈丙強

【摘 要】在高中的數學知識點中，數學一直被認為是非常重要且必考的考點，經管很多同學和老師也很重視對數列的研究，但依然有很多同學認為數列學習很難。數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型。對于高中生來說，首先應該認識到數列本質是一種函數、這種思想對學好數列非常重要。尤其是高考中數列的考題越來越多，要從根本上解決數列問題，就要求高中生從題目的訓練，熟練地掌握做題方法，使高中生在數列學習中達到事半功倍的效果。

【關鍵詞】高中數學 數列問題 解決方法

對于高中數學，數列不以為然是很多學生頭疼之處，在我認為其難點可分為：

等差數列的計算、等比數列的計算、等差數列的求和、等比數列的求和、混合運算的求和。

歸納和推類比是兩種用途最廣的合情推理，也是數列學習的最主要方法。沒有找對規律，認為數列就是無序的，有序的結合，沒有真正的認為或者把他看成是函數來計算和解決。解決數列問題的基本思路：半段所要求研究的數列是否為特殊數列，等差數列或等比數列，如果是，用公式和性質解決，如果不是特殊數列，要么轉化為特殊數列，要么尋找其他方法。因此我們拿到一個數列的問題時，要注意關注數列的屬性。接下來讓我們來討論討論它的解決方法。讓高中的數列學習變得簡單，不再是學習心中的難題。

一、解決數列問題的一般方法

1.構造法

將非等差數列、等比數列，轉換成相關的等差等比數列

適當的進行運算變形

例：{an}中，a1=3且an+1=an2，求an

解：lnan=lnan2=2lnan

∴{lnan}是等比數列，其中公比q=2，首項為ln3

∴lnan=（2n-1）ln3

故：倒數變換法（適用于an+1=A*an/（B*an+C），其中，A、B、C∈R）

2.待定系數法

A.遞推式為an+1=p*an+q（p，q為常數），可以構造遞推數列{an+x}為以p為公比的等比數列，即an+1+x=p*（an+x），其中x=q/（p-1）（或者可以把設定的式子拆開，等于原式子）

例：{an}中a1=1，an+1=3an+4，求an

解：an+1+2=3（an+2）

∴{an+2}是等比數列首項是3，公比是3

∴an=3n-2

B.遞推公式為an+1=p*an+qn（p，q是常數）

常規變形，將兩邊同時除以qn+1，得到an+1/qn+1=（p/q）*（an/qn）+1/q，再令bn=an/qn，可以得到bn+1=k*bn+m（其中k=p/q，m=1/q），之后就用上面A中提到的方法來解決

C.遞推公式為an+2=p*an+1+q*an，（p，q是常數）

可以令an+2=x2，an+1=x，an=1

解出x1和x2，可以得到兩個式子：

an+1-x1*an=x2*（an-x1*an-1）

an+1-x2*an=x1*（an-x2*an-1）

然后，兩式子相減，左邊可以得出來（k為系數），右邊就用等比數列的方法得出來。

D.遞推式an+1=p*an+an+b（a，b，p是常數）

可以變形為an+1+xn+1+y=p*（an+xn+y），然后和原式子比較，可以得出x，y，即可以得到{an+xn+y}是個以p為公比的等比數列

例：{an}中，a1=4，an=3an-1+2n-1（n≥2）

解：原式=an+n+1=3[an-1+（n-1）+1]

∴{an+n+1}為等比數列，q=3，首項是6

∴an=2×3n-n-1

3.特征根法

遞推式為an+1=（A*an+B）/（C*an+D）（A，B，C，D是常數）

令an+1=an=x，原式則為x=（Ax+B）/（Cx+D）

（1）若解得相同的實數根x0，則可以構造數列{1/（an-x0）}為等差數列

例：{an}滿足a1=2，an+1=（2an-1）/（4an+6），求an

解：x=（2x-1）/（4x+6）

解得x0=-1/2

1/（an+1/2）=1/[（2an-1-1）/（4an-1+6）+1/2]=1/[an-1+1/2]+1

∴{1/（an+1/2）}是等差數列，d=1，首項是2/5

∴an=5/（5n-3）-1/2

（2）若解得兩個相異實根x1，x2，則構造{（an-x1）/（an-x2）}為等比數列（x1，x2的位置沒有順序，可以調換）

例：{an}滿足a1=2，an+1=（an+2）/（2an+1）

解：由題可得（an-1）/（an+1）=-1/3[an-1-1]/[an-1+1]

則{（an-1）/（an+1）}是等比數列，q=-1/3，首項是1/3

∴an=[1+（-1）n-1（1/3）n]/[1-（-1）n-1（1/3）n]

（3）如果沒有實數根，那么這個數列可能是周期數列

例：{an}中，a1=2，滿足an+1=an-1/an（n≥2）

解：a1=2，a2=1/2，a3=-1，a4=2，a5=1/2……

所以an=2（nMOD3=1），1/2（nMOD3=1），-1（nMOD3=0）

4、連加相減

例：{an}滿足a?+2a?+3a?+……+nan=n（n+1）（n+2）

解：令bn=a?+2a?+3a?+……+nan=n（n+1）（n+2）

nan=bn-bn-1=n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）

∴an=3（n+1）[1]

二、高中數學中有關等差、等比數列的結論

（1）等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等差數列。

（2）等比數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等比數列。

（3）兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數列。

（4）兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數組成的數列{an·bn}、仍為等比數列。

（5）等差數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。

（6）等比數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。

（7）三個數成等差數列的設法：a-d，a，a+d；四個數成等差的設法：a-3d，a-d，，a+d，a+3d。

（8）三個數成等比數列的設法：a/q，a，aq；四個數成等比的錯誤設法：a/q3，a/q，aq，aq3（為什么？）。

（9）{an}為等差數列，則（c>0）是等比數列。

（10）{bn}（bn>0）是等比數列，則{logcbn}（c>0且c≠1）是等差數列。

數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型，通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數列和等比數列這兩種特殊數學模型，學習并掌握數列的一般解決方法，并通過實際練習牢記數列的各種公式，能夠靈活運用數列知識解決一些實際問題。

參考文獻

[1]王茜.中澳高中數學教科書中數列內容的比較研究[D].上海師范大學，2013.

[2]張婷.高中數列不同版本教科書內容的比較研究[D].東北師范大學，2009.