化歸思想在高中數學函數解題中的應用

孫國棟

【摘要】高中數學教學既要傳授知識，又要培養能力，唯其如此，才能完成“學”與“用”的完美結合，實現“知識”與“能力”的有機統一.高中數學中的函數知識是教學中的難點，而化歸思想可謂是提高學生學習數學能力的法寶，在教學中應積極應用化歸思想與方法，提高學生的整體素質，激勵學生創新，勇于探索.本文簡析了化歸思想的概況，并結合具體案例指出了化歸思想在高中數學函數解題中的應用策略.

【關鍵詞】化歸思想；高中數學；函數解題；應用策略

高中階段，數學是不少學生頭疼的科目，而函數更是痛中之痛，化歸思想可謂是解決函數問題的靈丹妙藥，它顛覆了傳統高中數學函數的求解方法和理論，有助于教師把晦澀難懂和深奧的函數問題淺顯化，循序漸進、邏輯嚴密地揭示數學理論和方法，兼顧數學的科普性和專業性，不但數學思想貫穿其中，也彌補了學生學習函數的不足之處，激發了學生學習數學的興趣，對切實提高我國高中生的數學水平，體會數學中的化歸思想起到了積極作用.

一、化歸思想的概況

化歸思想是指在解決實際問題的過程中進行等價轉換，把生疏的題目轉化成熟悉的題目，通過特殊到一般，歸納出事物的規律，并能進行適當的變式變形.這種思想就是把本來不會的問題轉化到會的地方去，把兩個變化的量轉化到一個變化的量上去，把代數轉化到幾何圖形上去，這也是高中生需要掌握的重要數學思想之一.可見，人們學習的過程就是用掌握的知識去理解、解決未知的知識，學習的過程就是用舊知識引出和解決新問題，當新的知識掌握后再利用它去解決更新的知識.化歸思想就是把新知識用舊知識解答，不斷地繼承和發展更新舊知識.從一定程度上來講，化歸思想這種數學思想方法屬于哲學方法論的范疇，我國的高中數學教育經常忽視數學思想方法的講解與提煉，卻經常考查一些涉及諸如此類數學思想方法的題目，這本身就是因噎廢食.化歸思想是數學的精髓，也是數學基本知識的重要組成部分，學生要在學習過程中有意識地對化歸思想方法進行梳理、總結，認識它的本質特征、思維程序和操作程序，有針對性地通過典型題目進行訓練.

二、化歸思想在高中數學函數解題中的應用策略

（一）數與形的相互轉化

數與形的相互轉化方法在研究、解決數學問題中，尤其是當思維受阻時考慮尋求簡單方法或從一種情形轉化到另一種情形使問題得到解決的策略，這種轉化是解決問題的有效策略，同時，也是成功的思維方式.數與形的相互轉化就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的轉化，將反映問題的抽象數量關系與直觀圖形結合起來，也是將抽象思維與形象思維有機結合起來的一種策略.這種方法通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題形象化，有助于把握數學問題特別是函數問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合.

例如，已知點（2，y1）和（4，y2）都在直線y=3x+4上，求y1和y2的關系.在求解這道題的過程中，首先，要通過直線解析式x的系數3來判斷出其系數大于零，從而輕松畫出與題目對應的圖像，也就是積極應用化歸思想，把函數轉化為圖形，y的值是隨著x的增大而增大的，所以，只要通過比較橫坐標的大小便可得出y1

（二）轉化未知問題為已知問題

函數問題解題有一定的規律性，應用化歸思想以后，在三角函數求值問題中的解題思路，就是將未知角變換為已知角進行解答.在最值問題和周期問題中，解題思路同樣是利用化歸思想將未知問題轉化為已知問題.數學解題不能憑主觀想象判斷，要靠公式證明才行，只有把抽象的題目轉化成公式，將未知問題轉化成已知問題來解決，化歸思想就是對于有些函數問題要學會用變量來思考，學會轉化未知與已知的關系.數學的化歸思想簡化了思維狀態，提升了思維品質.轉化必須挖掘出問題中最本質的內核與原型，再把新問題轉化成已經能夠解決的問題，這是高中數學的基本思想，理應貫穿于高中數學教與學的始終.

例如，函數f（x）=|x|-ax-1僅有一個負零點，求a的取值范圍，就可以在平面直角坐標系中作出函數y=|x|+1和y=ax的圖像，通過轉化未知問題為已知問題可以得出兩函數的圖像只有一個交點，所以，a的取值范圍應該是[1，+∞）.

（三）把復雜問題轉化為簡單問題

高中數學函數解題的一個重要方法就是遞歸，它就是運用了化歸思想把復雜問題轉化為簡單問題，然后，逐步返回直至到最終的復雜問題，不斷地循環.高中數學函數問題的特點就是知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關系復雜、思路難覓、解法靈活，化歸思想的應用要遵循簡單化原則，就是將復雜問題轉化為簡單問題，如，把三維空間問題轉化為二維平面問題，通過簡單問題的解決思路和方法，獲得對復雜問題的解答啟示和思路，以達到解決復雜問題的目的.

例如，已知函數f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函數f（x）的最大值，那么根據f（x）的定義域，可得，當 00，f（x）在（0，1）內是增函數，當x>1時，f′（x）<0，f（x）在（0，+∞）內是減函數，這樣通過把復雜問題轉化為簡單問題，得出函數f（x）的最大值f（1）=0.

總之，化歸思想可以減少高中數學函數的解題難度，在面對復雜、抽象的題目時，學生可以把其轉化為易于接受的表達形態，從而順利求解.高中數學課程既要強調教育數學又要重視科學數學，只有把數學思想進行再創造式的運用，才能使數學課程熠熠生輝.

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