基于學科素養的解題能力培養

蔣志學

[摘 要] 在傳統教學的基礎上，尋找一個能夠為學生解題能力培養提供智慧的源泉，是面對當前高中數學考試評價的重要任務. 數學學科的核心素養從六個方面闡述了數學教學的需要，而這六個方面與數學問題解決及數學習題解答是密切相關的. 從審題能力、發散思維能力有效培養的角度思考，并著力構建學生的解題能力體系，是有效的解題能力培養途徑.

[關鍵詞] 高中數學；學科素養；解題能力

高中數學教學中，學生解題能力的形成與多個因素有關，因而在培養學生解題能力的時候，也總有著多重的視角. 縱觀已有的研究成果，可以發現在形式上所做出的努力是非常多的，應當說這是一種非常正確的思路，因為教學形式影響著教學內容的效果，通過學生喜聞樂見且行之有效的形式，確實可以一定程度上培養學生的解題能力. 但我們又應當看到，形式的背后總是實質，而對實質的探究也總能尋找到更多更有效的方法，從而讓學生的解題能力能夠有一個長足的發展. 筆者以為，當下所研究的數學學科核心素養，就是培養學生解題能力的本質途徑.

數學學科核心素養是學科素養的下位概念，基于數學學科的核心素養去理解解題能力的培養，可以從數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等多個維度，形成有效的解題能力. 事實上從理論的角度來看，素養本身就是一種能力，或者說是能力體現背后的支撐因素，當學生在數學解題過程中能夠成功地進行以上六種維度的能力運用時，就是解題能力的充分體現. 筆者在教學中嘗試以數學學科核心素養的相關理論為指導，立足于學生解題能力的培養，取得了較好的效果.

數學學科素養下的審題能力培養

審題能力是解題能力的基礎，通常情況下對審題能力的培養往往只局限于“認真審題”這樣的命令式要求，事實證明，這樣的要求對學生的審題能力培養是沒有任何幫助的，一個根本的原因就是，學生根本不知道怎樣審題為認真審題. 那種學著教師去圈畫出關鍵詞的方法，只能讓學生學到形式，對學生解題能力的形成沒有絲毫的幫助，日常的教學中看到學生圈畫出的莫名其妙的關鍵詞，或者雖畫出了關鍵詞但根本不知道這些關鍵詞在題中的具體含義的情形，實在是太多了.

而從數學素養的六個維度來審視學生的審題能力培養，就會發現有些策略的不可行性，也可以尋找到有效的審題能力培養策略. 比如說數學審題，不能簡單地理解為就是理解題目的意思，因為在這里，“理解題意”是一個非常重要的過程，是一個將原有數學知識與解題經驗與面前的數學題目進行相互作用，并生成新的認識的過程，而且這個認識必須是符合解題思路的，這才是真正的理解題意. 那么，題意如何才能被學生所理解呢？從數學素養的視角來看，可以這樣認為：學生閱讀題目的過程，就是基于已有的數學知識，通過邏輯推理去建構數學模型的過程；如果是一些來源于實際的題目，則可能還需要進行一個數學抽象，然后進行直觀想象的過程. 認識到這一點，就應當知道數學審題過程中，學生的思維過程其實十分復雜，就以邏輯推理為例，學生依據數學學習過程中形成的數學規則，并根據題意去生成自己的理解，并讓自己的理解離問題的解決逐步靠近常規解題思路.

這里可以任意舉一個數學習題來說明：已知集合A={θcosθ

這些常規試題其實都是能夠培養學生的審題能力的，有些時候恰恰是常規題能夠更好地培養學生基本的解題能力. 因為常規題解題過程相對簡單，絕大多數學生都能夠有一個完整的思路，這個時候教師可以有很好地引導學生反思解題思路的機會，尤其是比較自己的思路與正確思路的機會，這樣的比較過程，有利于學生解題能力的形成. 在上題中，學生在審題時，需要結合集合的概念、符號表示、基本三角函數及其定義域等，完成題意的完整理解，這其中的邏輯推理是不言而喻的，所建立的數學模型也就是一種基于上述概念形成的兩個基于三角函數的集合的模型——通常情況下，學生都會直覺性地以圖像來表示兩個集合，而這種直覺意識恰恰又是直觀想象的產物，因此，即使像這樣的一道基本習題，也包含了數學素養的多個因素（包括數學運算與數據分析等）. 在引導學生反思解題思路的過程中，可以將這些數學素養的維度以學生聽得懂的語言進行描述，從而將學生的解題思路語言化、明晰化，進而就可以形成解題能力.

基于數學素養六要素看發散思維

發散思維能力是一種高端的解題能力，考慮到當前高中數學考試中數學試題越來越靈活的現狀，學生的發散思維能力的培養顯得尤為重要，而從學生的數學素養提升來看，發散思維能力背后所顯示出來的數學素養要素又有著顯著的培養需要.

如果仔細分析，會發現發散思維能力的培養在當前數學教學中還是存在著不少的困難的，一個重要原因就是當前的教學（不僅僅是數學學科）其實是一種內斂式的思維，絕大多數數學試題的解題思路或答案都是具有唯一指向性的，這決定了發散思維存在的空間并不是很大，可是無論是從學生成長的需要來看，還是從高端數學試題的命制來看，利用發散思維去解題又是必然的選擇. 如在上面一點所舉的例子中，學生的思路往往是個體單一性而群體復合性，因為有的學生可能會根據正弦函數和余弦函數的性質去解題，而有的學生則會通過單位圓中正弦線與余弦線的分布判斷去解題. 這兩種思路常常少有學生同時想到，而如上面所說的那樣，像這樣的基礎題往往是面向全體學生培養解題能力的重要載體，因此此處可以進一步讓學生思考有沒有其他的解題思路，盡管這樣的要求顯得有些常規，但其仍然是培養學生發散思維能力的顛撲不破的有效途徑. 對于基礎較好的學生而言，本題基本上不需要太多的引導，而對于基礎較弱的學生而言，則可以將他們組成學習小組，并分別從正余弦函數的性質描述角度，引導他們向圖像角度思考，或者反其道而行之，通常有了這樣的引導，學生的思維觸角就可以伸向另一個思路，從而達成發散思維的運用.

然后從數學素養的角度來看發散思維能力的培養，可以發現，發散思維實際上就體現在邏輯推理的思路有所不同上，學生所擁有的不同的直觀想象思路，往往決定了會用到不同的邏輯推理過程，從而就表現為不同的思維方式，因此發散思維能力的培養，實際上就是基于同一數學習題，進行多角度的直觀想象與邏輯推理的過程，當然同時也是不同的數據分析與數學運算的過程，同樣若數學習題帶有情境性，則還需要學生從不同角度去進行數學抽象或數學建模.

進一步研究還可以發現，從數學素養的六個角度看發散思維能力的培養，實際上是讓學生基于不同的思維角度去進行不同過程的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析. 反過來，在數學素養的這些因素逐步形成的過程中，發散思維起著拓展思維寬度、發掘思維深度的作用.

數學素養下解題能力體系的建成

多年高中數學教學的經驗表明，當前數學高考評價體系所需要的解題能力，更多的是一種體系性的能力，同時我們也發現，之所以一些學生沒有能夠形成強大的解題能力，其實也就是自身的能力沒有形成一個體系，而解題能力體系的形成絕非一件易事，需要學生在解題的過程中不斷總結反思，不斷地進行比較，在這個過程中，數學素養依然發揮著重要的作用.

總的來說，數學解題能力是從審題能力開始的，在一定水平的解題經驗的作用下，將知識與習題進行相互作用以在前者當中尋找到后者解決途徑，并對解題結果進行評估的過程. 而縱觀數學素養的六個維度，可以發現這幾乎就是一個數學問題解決的過程，也就是說常規的對數學解題的描述，與學術視角下對數學學科核心素養要素幾乎是重合的，但是，顯然數學素養的描述比經驗性的表述更科學，也更容易成為尋找有效的解題能力培養途徑的源泉.

在這里需要重點提醒的，就是解題能力的培養的另一個關鍵，因材施教原則的體現. 當然，在當前的大班額的體制之下，真正做到因材施教幾乎是不可能的，但是從宏觀層面進行分層，以讓水平相似的同一層次的學生能夠得到恰當的解題思路的指導，卻是必要的. 這也是解題能力體系形成的另一個重要保證，筆者在教學中主要將精力放在不同水平小組合作的指導上，以盡量將自己的指導與學生的思維水平形成一個互補的關系，當然，這里生生互助也是必要的. 其實無論是師生之間還是生生之間的互動，對于解題能力體系的形成都是極有幫助的，其效果遠比教師的講授甚至是灌輸要有用得多. 筆者仔細尋找過原因，結果發現在師生互動與生生互動的過程中，學生更容易形成一種默會性的認識，這種認識雖然無法用語言表示，但卻成為學生解題能力的重要組成部分，具有為解題能力體系大廈的構建提供牢固的黏結劑的作用.