高中數學體驗式概念教學探究

李燕祥

【摘 要】本文從創設情境、參與概念形成的邏輯思維過程、合作探索概念、從正反不同角度辨析概念等四個角度探究如何在高中數學教學中實施體驗式概念教學。

【關鍵詞】高中數學 概念教學 教學有效性

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）05B-0132-02

在高中數學的教學實際中，受考試壓力等因素的影響，部分教師認為，數學概念在考試中考得不多，沒有必要花太多的時間進行教學。因此對于概念的教學模式是：教師把概念直接給出，并對概念的結論做簡單解析，反復強調概念關鍵詞，然后讓學生通過大量的強化練習來記住結論。在這個過程中，教師的教學重點是講解例題。如此模式造成的后果是學生對概念的認識模糊不清，缺乏對概念的內涵、外延等數學本質的透徹理解。學生對概念記憶不牢，就不會運用概念解決數學問題，也不利于后續的知識學習。不少學生對概念學習的體驗是消極的：數學概念枯燥、抽象難懂。這種模式下的概念教學弊端日益明顯，必須引起一線數學教師的關注與思考。

怎樣優化數學概念教學才能使學生對概念的數學本質有全面透徹的理解，并能熟練運用概念解決數學問題呢？筆者經過幾年的探索，認為采用體驗式教學能夠使數學概念教學更優化。

一、創設生活情境，設計有針對性的問題

數學來源于生活。在概念教學中，筆者所創設的情境都是學生所熟知的生活情境，學生在熟知的生活情境中，更容易感知概念產生的原型、概念來源的背景，也更有利于學生從這些原型中抽象出準確的概念數學描述。

例如在教學高中數學必修 1“函數的概念”時，教材選取了三個實例作為概念引入，而筆者在創設情境時，遵循了教材的編寫意圖，保留了前兩個引例，第三個引例則用學生熟悉的例子代替。

例 1.一枚炮彈發射后，炮彈距地面的高度 h 與飛行時間 t的變化規律 h=130t-5t2，0≤h≤845。這個例子筆者采用多媒體展示：炮彈飛行的拋物線動畫，這激發了學生的興趣，而且學生在初中階段學過了二次函數的內容，對這個內容比較熟悉。

例 2.教材所里的配圖用曲線顯示南極上空臭氧層的空洞面積從 1979—2001 年的變化情況。

在引入函數的概念的教學中，以上這兩個例子所創設的情境為學生所熟知，因此筆者保留了這兩個引例。但是教材中的例 3 卻是用一個表格表示“八五”計劃以來我國城鎮居民恩格爾系數的變化情況。學生對這個例子所提到的“居民恩格爾系數”相對陌生，若用這個例子引入概念，學生會感到概念之中又有概念，增加了理解“函數”這一核心概念的理解難度，因此筆者采用另外一個學生較為熟悉的例子代替例 3：近年來我校每年獲得貧困生資助的人數與時間（年）的關系：

時間（年） 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

資助人數 356 402 438 456 502 533 586

這個實例與學生實際生活息息相關，學生覺得熟悉，不會產生畏難情緒。

由于學生在初中已經學過函數概念，但是初中的函數概念是“變量說”，而高中數學的函數概念是“對應說”，而且高中所學的函數概念的描述是用學生不易理解的抽象符號、集合語言，學生難以理解。筆者突破這個教學難點的做法是：在學生已有的函數概念認知基礎上，創設以上三個不同形式的生活情境，再設計五個問題，讓學生在問題的引導下，從具體的例子中概括、討論，從而得出函數的概念。

問題 1：這三個例子中自變量分別是什么？哪個量跟著自變量發生變化？

問題 2：例 2、例 3 能不能用解析式表示？它們是函數嗎？為什么？

針對問題 2，學生有不同意見：有的認為是，有的認為不是，這個問題引發了學生的認知沖突。這時筆者提出：“要判斷它是不是函數，需要具備哪幾個要素？”學生七嘴八舌，有的學生終于點到點子上：在一個變化過程中，如果有兩個變量 x 與 y，而且對于 x 的每一個確定的值，y 都有唯一確定的值與其對應，我們就說 x 是自變量，y 是 x 的函數。看到學生對函數的概念有了初步的認識，筆者馬上指出判斷一個解析式是不是函數的要素是“x 的任意性”“y 的唯一性”“對應性”。

問題 3：兩個變量的對應關系一定要用函數解析式表示嗎？

學生討論后的答案是不一定，對每一個自變量，有唯一的數與它對應就可以了。學生經討論思考后，能往函數的本質特征去思考判斷，逐步認識概念的本質內涵。

問題 4：這三個例子所描述的數量對應關系有什么共同的特征？我們能不能用集合的語言及對應的語言來描述？怎樣描述？

問題 5：如何用集合語言、從對應的角度給函數下準確的數學定義？

通過創設生活情境，設計有針對性的問題，讓學生從熟悉的例子中觀察、思考、比較，逐步總結出函數的概念，實現了從具體到抽象的過程體驗，尤其當函數以圖象和表格的形式出現時，強化了“單值對應”的認識。而圖象和表格又是幫助理解函數概念的重要載體，它能使學生直觀地感知函數的定義域、值域、單調性等性質。學生透過圖象和表格，能多角度深刻領悟體驗“對應關系”的本質內涵。同時，通過問題情境的創設，引發學生對函數概念理解的認知沖突，讓學生提出質疑，進而引發激烈的討論，學生在辯駁中深化了函數概念的認識。

二、讓學生親身參與概念的探索與思考

在概念教學中，筆者并不會直接給出概念，讓學生被動接受，而是讓學生親自參與概念的推導演變過程。學生因為經歷了概念形成的邏輯思維過程，印象深刻，記憶牢固，理解透徹，為后續學習與概念有關的性質及應用打下良好基礎。

例如在教學高中數學必修 4“平面向量共線的坐標表示”內容時，備課組有些教師認為，這個知識不必讓學生去推導，直接要求學生記住結論即可。按照這種教學模式教學，等到學完“兩個向量垂直的坐標表示”后，很多學生對公式的坐標表示出現了混亂：有的把向量共線的坐標表示 x1y2-x2y1=0，寫成了向量垂直的坐標表示 x1x2+y1y2=0，或把兩個公式坐標彼此張冠李戴。產生以上錯誤的根源是教師沒有讓學生參與公式的推導，造成了學生對公式印象模糊，由于學生只是對公式進行機械式記憶，因此容易遺忘、混淆公式。

筆者用所教的同一水平的兩個班做了對比實驗：13 班的教學方式是直接給學生向量平行、垂直的坐標公式，要求他們機械記憶。14 班的教學方式則是讓學生和教師一起推導出向量平行、垂直這兩個公式，如向量共線，有 ，容易得出 ，消去后，變成了，學生再把它變成等積式時，x1 是與 y2 相乘，而不會與 x2 相乘的，學生就不會出現“向量共線時 x1x2+y1y2=0”這樣的錯誤。13 班和 14 班兩個班的教學效果對比在欽州市 2016 年秋季學期教學質量監測高一數學（A卷）18 題（2）的正確率中已見分曉。這道題是這樣的：已知向量，若與 共線，求 k 的值。這是一道已知向量共線求參數 k 的題目，難度較小，關鍵是記住公式。從考試結果看，這道題13 班得分率為 52%，14 班得分率為 78%，可見 14 班對公式的記憶與運用都優于 13 班。

由此可見，讓學生自己參與到概念、公式的推導演變過程，不用刻意去記憶，學生自然而然就能記住公式，并正確運用公式。學生由此獲得了邏輯思維過程的體驗，記憶更牢、更準，理解更透徹，教學效果更顯著。

三、在合作中體驗數學概念的形成

合作學習是新課程改革所倡導的一種學習方式，學生的合作交流意識可以在合作學習中得到培養。在數學教學中，有些數學概念的形成過程必須要學生共同合作才能完成。

例如筆者在教學高中數學選修 1“橢圓及標準方程”這一內容時，組織學生合作體驗橢圓的形成過程：學生兩人為一組，臺上固定 2 個釘子，取一條大于釘子間距的繩子，繩子兩端分別固定在釘子上，中間套上鉛筆，一人固定繩子，一人拉緊中間套緊繩子的鉛筆，在臺面的白紙移動，同時引導學生觀察和思考：

1.畫出的圖形軌跡像什么？

2.怎樣用自己的語言描述動點滿足的條件？

學生動手實踐后共同歸納：平面內到兩定點 F1，F2（兩釘子）的距離之和始終等于常數 2a（繩子）的點的軌跡叫橢圓。學生通過親身參與合作體驗橢圓的形成過程，就很容易理解橢圓概念的核心實質為；并且，由繩子的長大于兩釘子的距離，學生也較易體驗到 2a>2c，明白了橢圓中為什么 a>c。

緊接著，筆者指導學生經過 4 個步驟得出橢圓的標準方程：1 建系，設動點 M（x，y），定點 F1（c1，0），F2（c2，0），2 列式，3 代入轉化代數式，4 化簡。

這樣，橢圓的概念和方程成為一個有機的整體，概念不再是抽象、難懂的，而是具體可看、可摸、可操作、可體驗的。學生在合作的過程中體驗了橢圓這一概念的形成過程，順理成章也理解了與橢圓有關的其他一系列概念：焦點、焦距、長軸、短軸。圓錐曲線的雙曲線也可以用類似的合作體驗方法進行教學，從而優化了圓錐曲線這一板塊的教學。

四、從不同角度辨析概念

學生對概念的認識是一個循序漸進的過程，不僅要從正面去體驗概念的本質內涵，還要從反面等角度去認識概念。通過正反不同的角度對概念進行辨析，可以讓學生對概念的認識由模糊變得清晰，由片面認識變成全面認識，讓概念變得更立體。

例如筆者在教學高中數學必修 4“正弦、余弦函數的周期性”這一概念時，教材中周期函數的概念是這樣的：對于函數 f（x），如果存在一個非零常數 T，使得當 x 取定義域內的每一個值時，都有 f（x+T）=f（x），那么函數 f（x）就叫周期函數，非零常數 T 叫做這個函數的周期。筆者在學生學完正弦、余弦函數的周期性這一概念以后，立刻讓學生進行了概念的辨析。于是設計了下面這些題目——

判斷下面的命題是否正確：

（1）因為 f（x+0）=f（x），所以 f（x）為周期函數。

（2）因為 f（x+3x）=f（x），所以 f（x）為周期函數，周期為 3x。

（3）因為成立，則函數 f（x）=sinx 的周期是。

（4）已知函數 f（x）的周期為 1.5，且 f（1）=20，則 f（10）的值是 20。

如果學生對函數的周期性概念的認識是模糊的，上面的幾道題好像都符合函數的概念，這幾道題好像都對，但是通過讓學生對這幾道題進行辨析，教師講解其中的區別后，學生能夠很快解出正確答案：只有第（4）題是正確的。同時筆者還讓學生指出（1）（2）（3）這三道題錯誤的原因：（1）周期不能為 0，（2）周期必須是常數，（3）只對 成立而已，換成其他的值就不成立了。通過對概念展開辨析，學生獲得了周期函數函數的全面、清晰、立體的概念體驗。

高中數學的概念教學是一個非常重要的課題，也是數學教學中的基礎，只有重視概念教學，才能為學生的數學大廈打好基石。體驗式的概念教學能夠讓學生不再懼怕數學概念，在體驗概念形成的過程中，逐漸對數學產生興趣，最終愛上數學。

（責編 韋 力）