把握教學時機滲透極限思想

陳炎

[摘 要] 數學思想方法是數學學習的核心價值，是解決問題的行為指南. 思想方法非無本之木，它深深扎根于數學知識和學習的過程中. 極限思想是數學思想方法之一，在中學階段具有較廣泛的用途和學習價值. 通過把握教學時機，尋找合適的契機，適時滲透數學思想方法，能促進學生數學素養的提升.

[關鍵詞] 教學時機；極限思想；案例分析；滲透

問題提出

《義務教育數學課程標準》（2011版）（以下簡稱《課標》（2011版））指出：“課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律. 它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法. ”數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果，是數學的精髓所在. 數形結合、函數、方程和整體思想等在數學學習中具有較高的地位，教師經常提，學生也經常用. 但在初中階段，對于極限思想，教師引導得不夠，學生體會得不深，實踐比較匱乏，但當學生進入高中學習時，又有較多的知識需要用極限思想統領、較多的問題需要用極限方法解決，如微積分等，學生會感到比較“突然”. 著眼于學生的可持續發展，作為教師，我們是否可以作一些嘗試，在初中階段即時、適時地滲透極限思想，為學生的將來發展做鋪墊呢？

問題分析

極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統一關系，是唯物辯證法的對立統一規律在數學領域中的應用. 借助極限思想，人們可以從有限認識無限，從“不變”認識“變”，從量變認識質變，從近似認識精確，極限思想的重要性可見一斑. 實際上，在初中階段的教學中有不少領域都有極限的“影子”. 那么，如何對學生進行極限思想的滲透呢？直接告訴？顯然蒼白無力，學生感觸不深；抓住時機，則事半功倍. 時機是指在教育過程中事物發展或一事物轉化為他事物的關鍵點、樞紐站、決定性的環節. 正如將15克鹽放在你的面前，無論如何你都難以下咽，但將15克鹽放入一碗美味可口的湯中，你就會在享用佳肴時將15克鹽全部吸收了. 湯，就是教師精心設計的“助力器”，享用佳肴就是“潤物細無聲”的過程，最終實現了目標——鹽的吸收. 教師通過創設適宜情境，選擇恰當的載體，抓住有力的時機，能在經歷過程的教育中，對學生滲透極限思想.

嘗試解決

基于問題所在和對問題的分析，下面筆者以學生為主體，從學生的角度出發并結合筆者的教學實踐，淺談滲透極限思想的時機，旨在交流、分享.

1. 在學生認知沖突時順勢利導

認知沖突就是個體意識到個人認知結構與環境或個人認知結構內部不同成分之間不一致時所形成的狀態；是學生已有的知識經驗與現實情境不相符時在心理上所產生的矛盾或沖突. 教學中，對于一個新的知識學習的必要性以及一個新的方法的產生，教師往往會創設一種情境，通過引發學生的認知沖突，激發學生的學習興趣和探究欲，此時滲透極限思想，學生的認識會更深刻.

案例1 求+++…+的和（其中n是正整數）.

師：求+.

生1：結果是.

（反應迅速）

師：正確. 那++呢？

生2：.

（學生似乎反應慢了一點）

師：很好，計算能力還是挺棒的！那+++…+呢，其中n是正整數？

（此時學生一臉驚愕，驚呼后即安靜地埋頭思考并演算. 2分鐘后，有學生舉手）

生3：和是.

師（追問）：能把你的思考過程和大家分享一下嗎？

生3：其實很簡單，起始值是，接著是，然后是，歸納、猜想可得所求式子的和是.

師：了不起，你的歸納能力很強！但是數學是一門嚴謹的學科，歸納、猜想后，還應做什么？

生（齊）：證明.

生4：設S=+++…+①，則S=+++…+ ②，①-②得S=-，所以S=.

生5：圖1為邊長為1的正方形，先對圖形對折，并在剩余的圖形里繼續對折……則借助求解陰影部分的面積可得+++…+=1-=.

案例分析 先從兩個較簡單的計算入手，學生快速進入狀態，為后面的探究做好心理鋪墊和信心支持. 然后問題推廣到一般以后，學生感覺較為棘手，引發認知沖突，促進學生主動思考并積極尋找解題的方法. 在問題解決的過程中，學生經歷了左邊等式的n項和可求，并從數、形兩個角度給出了求解方法，一方面鍛煉了學生克服困難的勇氣，滲透了數形結合思想；另一方面，對于生5的回答，教師可以追問：當n趨向于非常大的數值時（暫不適宜提“無窮”大），算式的結果是什么？從圖中可以直觀地看出此時的和即為大正方形的面積，結果為1，凸顯極限思想. 此題實際上是高中要學習的等比數列前n項和的求法，但放在初中階段，按照現有學生的認知水平，也能順利解決；同時對學生的諸多能力都有促進作用，何樂而不為？

2. 在學生認知錯誤時將錯就錯

心理學家蓋耶說過：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻. ”學生在學習過程中難免會出現錯誤，所謂“人非圣賢，孰能無過？”更不用說我們面對的是一群未成年的孩子. 教室應該是容許錯誤發生的地方，“錯誤”但不錯過.

案例20.=1.

（出示0.=1？）

師：左右兩邊相等，可能嗎？

生（齊）：不可能.

師：那么這兩個數誰大呢？

生1：當然是1唄！

師：既然0.<1，那么哪位同學能找一個數，介于這兩個數之間？

生2：這還不簡單？0.9999……哦，不對！

（學生剛一隨口說完，發現問題遠不像想象中那么簡單，立刻否定了之前的回答）

生3：這個數是不存在的，因為0.與1之間沒有“縫隙”，所以0.=1.

師：我們要為該同學良好的數學推理能力點個贊（同學們笑）. 該同學提出了與大家不一樣的觀點，可是有沒有更直接的方法來證明這一結論呢？

生4：設0.=x，則9.=10x，兩式相減得9x=9，所以x=1.

（熱烈的掌聲自發響起）

案例分析 在本案例中，針對學生普遍會犯的錯誤，教師沒有直接“糾錯”，而是順水推舟，將錯就錯. 教師追問：“既然0.<1，那么哪位同學能找一個數，介于這兩個數之間？”通過問題的指向，學生會立即發現此數難以找到，引發學生的思維碰撞，感性的認識需上升到理性思考. 通過借助一元一次方程這一刻畫現實世界的有效模型，最終將問題很好地解決. 在這一過程中，學生有這樣幾點收獲：（1）想當然并不可靠，直觀感受不一定正確；（2）方程在解決實際問題中有廣泛的應用；（3）無限（0.）與有限（1）的和諧統一，學生能初步體會到極限思想的存在. 另外，在這一案例的基礎上，教師還可以進一步引導學生體會極限思想，如·=4（無限乘以無限等于有限）等. 因此，當發現學生錯誤時，教師若能認真對待，不回避、不埋怨，抓住稍縱即逝的教育時機，與學生一起分析錯因，尋求正確之道，不僅能夠促進教師的課堂駕馭能力，而且能促進學生主動地思考、辨析. 在這一過程中，滲透極限思想，效率會大幅提高.

3. 在學生解題無助時雪中送炭

學生學習的過程中離不開解題，也經常會遇到不會做的習題. 此時，學生非?？释玫近c撥與幫助，教師此時伸出“援手”，“雪中送炭”之情將加深學生對解決問題方法的認識與理解.

案例3 （2015年河池中考）如圖2，菱形ABCD的邊長為1，直線l經過點C，交AB的延長線于點M，交AD的延長線于點N，則+=______.

（直接出示問題，教師巡視，2分鐘后學生依然解題思路不清晰）

師：從此題的結構來看，所求線段倒數和與線段所在位置無關，可嘗試先將問題特殊化，然后再尋求一般解法.

（在教師的啟發下，部分學生嘗試作圖，生1上黑板上畫出圖形，如圖3）

生1：將直線l的位置特殊化為平行于AB，即點N與點D重合，l與AB沒有交點，此時==1，但的值不確定.

生2：我認為=0.

師：說說你的想法.

生2：，，…隨著分母的增大，分數的值越來越小，越來越接近0，l與AB沒有交點，所以AM非常大，所以=0，因而+=0+1=1.

案例分析 在學生最需要的時刻，教師悄然出現，所帶來的啟發更容易引起共鳴. 華羅庚先生說過：“解題時先足夠地退，退到我們最易看清楚的地方，認透了，鉆深了，然后再上去.”在解決此題的過程中，先將問題特殊化，得到一個“極端結果”，然后從特殊到一般，在此過程中積累的經驗將有利于一般情況下的問題解決. 在特殊化的操作中，學生感到困難的是（當AM→+∞）的值，而學生的潛力是無窮的，借助生2的精彩發言，將問題巧妙地轉化、化歸. 教師沒有“一言堂”，通過啟發式教學，學生自己完全有能力解決. 極限思想，其實是解題的需要.

4. 在學生綜合實踐時錦上添花

綜合實踐是新一輪基礎教育改革的新生事物，是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動. 它是一種基于學生的直接經驗，體現知識綜合運用的課程形態.

案例4求拋物線y=-x2+1與x軸所圍成圖形的面積.

生1：如圖4，以AB為直徑作半圓，以半圓的面積來近似求面積，可得S=π·12=π.

生2：如圖5，連接AC，BC，以△ABC的面積來近似求面積，可得S=×2×1=1.

生3：如圖6，取OB的中點E，過點E作DE⊥x軸于點E，交拋物線于點D，連接CD，BD，

所以所求面積近似為S=

2××+1+××=.

生4：如圖7，將OB三等分，分點分別為E，G，分別過點E，G作x軸的垂線，與拋物線分別交于點D，F，則所求面積近似為S=2××+1+×

×++××=.

生5：如圖8，作矩形ABCD，則S=2，然后在矩形區域內隨機投擲米粒，當次數足夠大時，記下落在矩形區域內的米粒數為m，落在拋物線區域內的米粒數為n，則=，所以S=.

案例分析 《課標》（2011版）指出：“綜合與實踐內容設置的目的在于培養學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累學生的活動經驗，提高學生解決現實問題的能力. ”生1、生2、生3、生4都給出了解決的辦法，可以說是越來越精確，而生5卻另辟蹊徑，通過實驗的方法求面積，實在是一大亮點. 對于初中生來說，這樣一個實踐活動的處理方案，沒有現成的方法可供借鑒，需要學生充分利用已有的知識儲備，尋求解題之路. 所謂仁者見仁，智者見智. 標準答案是（-x2+1）dx=，至于學生能夠精確到什么程度，已經不是最重要的了. 活動的關注點是：在嘗試解決這一問題的過程中，學生究竟采用了什么方法，有哪些創造性的成分，用到了什么數學思想，能力有沒有得到鍛煉與提升等. 此時，教師在學生探究熱情高漲的情況下，適時引導、拔高，將起到錦上添花的效果. 如方法中用到的以直代曲，滲透的極限思想；學生做到三等分點，就不想繼續了，而古人祖沖之計算圓周率的艱辛以及劉徽“割圓術”的堅持不懈都可以給學生以觸動等.

教學啟示

1. 數學思想方法的重要性

數學思想方法是數學大廈的基石. 日本著名的教育家米山國藏指出：“作為知識的數學，出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學精神、數學思想、研究方法等，這些將隨時隨地發生作用，使人們終身受益. ”的確，數學知識是定型的、靜態的；知識的記憶是暫時的；而思想方法的掌握是永久的. 《課標》（2011版）也指出：“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗. ”簡稱為“四基”. 因此，在平時的教學過程中，教師要深刻認識到數學思想方法的重要性，并能夠將其作為培育學生核心素養的內容，精心設計、經歷過程，促進學生能力的提升.

2. 極限思想教學的必要性

極限思想是數學思想方法的重要組成部分，且教材中蘊含了體現極限思想的豐富內容，但是在當前的教學中，極限思想沒有得到很好地提煉，學生對極限思想還比較陌生. 而通過以上幾個案例，筆者可以切身感受到極限思想的“無處不在”，同時它還與數形結合、從特殊到一般等緊密聯系在一起，體現了關聯性. “不是缺乏美，而是缺少一雙發現美的眼睛.”教師要能夠從平時的素材中捕捉、提煉、引導、教育，促進學生極限思想意識的提升，這不僅能豐富學生對數學思想方法的認識，而且有利于學生形成“數學式”的思考方式.

3. 極限思想教學的科學性

“皮之不存，毛將焉附？”極限思想不是空中樓閣，它扎根于“基層”，與數學知識緊密相連，空洞的強調、枯燥的說教極限思想的重要性，學生記不住，感受也不深. 選擇合適的載體，抓住適宜的時機，選擇更加科學的教學方式，有利于學生高效地領悟極限思想和運用極限思想，從而有助于學生認同并自覺應用極限思想.

《莊子》有言：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭. ”可以認為這是樸素的極限思想. 在極限思想的教學研討之路上，只要我們不斷努力，一定能夠實現“有限嘗試的無限未來”！