初中數學視野下“基本思想”的解讀

戴蓉蓉

[摘 要] “四基”中新增的一基是基本思想，對基本思想的解讀，要立足于經驗但又不能過于經驗化. 從概念解析的角度來看，基本思想需要從“基本”與“思想”兩個角度建立理解，同時要厘清“數學思想”與“數學方法”之間的聯系與區別. 有效的“基本思想”理解，是建立在教學實踐基礎之上的，因此從教學中尋找實例建立理解，是深化理論認識的重要途徑.

[關鍵詞] 初中數學；基本思想；教學解讀

自從2011版《義務教育數學課程標準》頒布以來，“四基”就成為一個熱詞，而其中又以基本思想和基本活動經驗為數學教師所津津樂道. 在筆者看來，新的“兩基”的提出，一方面是對已有教學中一些思路的精要概括，同時也是為以后的教學指明方向. 需要強調的是，對于這兩個概念的理解，不能經驗化，不能泛化，不能將它們視作一個啥都可以往里裝的籃子，更不能只抓住概念去販賣舊的觀點. 本文試以“基本思想”為研究對象，談談筆者的一些觀點.

“基本”的思想

“基本思想”首先是“‘基本的思想”，既然是“基本的”思想，那就不能太多、太泛，尤其是初中階段，正是通過數學知識理解數學思想的時候，過多、過濫的思想，往往不容易讓學生形成一種線索性的認識，這就容易讓學生對數學思想的理解處于離散狀態，這顯然不是課程標準的初衷.

那么，哪些思想是基本的數學思想呢？課程標準解讀給出的答案是三個：數學抽象的思想、數學推理的思想、數學建模的思想. 不多，好記，但需要理解. 這三個思想理解起來很容易：數學原本就是抽象的產物，可以說沒有對實際事物的抽象就沒有數學，因此，在數學教學中，尤其在2011版課程標準的引導下，初中數學教學常常需要讓學生面對類生活的數學情境進行思考，以抽象出其中的數學研究對象，進而建構數學概念、描寫數學規律；數學推理在數學中無處不在，因此，推理思想是數學的基本思想毫不為過，最簡單的證明就是初中數學中學生面對了無數次的“因為……所以……”的推理；數學建模相對而言要“高大上”一些，在數學中建立模型的思想更多地是以隱性的形式存在，學生很多時候并不知道，這也符合初中生的認知特點，你總不能在學生面對一個實際問題的時候說“我們先來建立一個數學模型”，這就太標簽化了，不符合“思想”的本義，但數學建模的過程卻需要細細引導，讓學生學會建立模型，是初中數學教學的重要立足點. 下面通過幾個例子來說明初中數學中三個基本思想的存在.

“數軸”是學生進入初中之后學的第二個概念（第一個概念是有理數，人教版初中數學七年級上冊），這個概念的建立可以說同時包含了三個基本思想：教材中引入數軸時給出了一個實際問題，即在一條東西向的馬路上，有一個汽車站牌，汽車站牌東3 m和7.5 m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹，汽車站牌西3 m和4.8 m處分別有一棵槐樹和一根電線桿，試畫圖表示這一情境.

分析：畫圖表示就是一種數學抽象的思想，其后將圖演變成數軸更是一種數學抽象，因此抽象是存在的；將題意轉換成圖形需要簡單的演繹推理（在歸納了生活經驗與此前數學知識的基礎上），確定單位長度并表示圖中的四個數據也是推理，因此推理是存在的；最后形成的數軸則毫無疑問是一個數學模型，因此數學模型亦是存在的.

其實只要細細分析，可以發現很多數學概念的構建過程中，很多數學規律的探究并得出的過程中，都有這三個基本思想的存在，由此也反證了這三個思想確實是“基本”的思想.

基本的“思想”

無論是以前的“雙基”，還是現在的“四基”，盡管簡稱里面強調的是“基”，但實際上人們更為關注的是“思想”. 要知道，并不是所有的表達都可以稱為思想，真正的思想其實是很寶貴的！從純粹數學意義的角度來看，只有涉及作為科學的數學的發生、發展的“根本”的表述，才能稱之為“數學思想”. 既為數學思想，便是數學知識大廈的基礎，從而也就是數學課程的靈魂. 關于數學思想的表述，很多人給予了不同的通俗表達，筆者以為這樣的表達是適切的，有助于一線教師更好地理解數學思想. 比如，有人說“數學思想就是忘記了所學的數學知識之后剩下的東西”（這句話最初出于愛因斯坦的相關表述，茲不贅述），確實如此，如果從學生成長的角度來看，當學生離開數學課堂之后，他們還能用數學推理去對生活中的某些事物進行判斷，他們甚至還能將推理的能力遷移到其他學科中. 比如，有學生遇到陌生的歷史選擇題時，能夠根據題中所給的信息推理題目中所說的事情發生的朝代（這可是數學學科核心素養所強調的課程融合）；又如，學生進入社會之后，他們還會借助數學思想，根據自己的生活需要選擇電信資費套餐等，這也是數學思想的應用. 在這樣的情境中，學生未必會意識到數學的存在，但數學思想的的確確就客觀存在著，這就是數學思想的魅力！

將“基本思想”理解成“基本的‘思想”，就意味著教師的教學著力點也需要放在思想本身. 但正如上面所論述的一樣，思想有時其實不宜作為顯性存在，尤其是不適宜當作標簽貼在某個教學環節上. 思想猶如靈魂，其存在于肉體當中同時又支配著肉體的行動，這才是思想的作用機制. 當然，在學生已經理解了某個基本思想，已經能夠熟練運用思想之后再告訴學生這一數學思想的名稱，這并不是貼標簽，這只是數學思想以具體概念的形式出現，也是數學教學的一個有機組成部分.

在三個基本數學思想當中，數學建模的思想尤其需要經歷這樣的建構過程. 在七年級下學期或八年級上學期，抓住某一個運用到數學建模的教學機會，就可以將思想顯性化（概念化），如“平面直角坐標系”的學習，基于確定位置的需要并通過對實際問題抽象之后，便建立了平面直角坐標系. 建立之后，讓學生反思其建立過程，并尋找此前用到類似方法的過程，于是學生會發現，通過類似的過程，可以建立一個解決一類數學問題的工具，正因為這個工具（其實就是數學概念或規律）具有普遍適用性，因而其就具有了模型作用，于是這樣的過程就是數學建模的過程. 當然，這還需要教師根據實際情況去判斷，即使整個初中階段不提數學建模的名稱，也并不會實質性地影響學生建構數學知識，畢竟，數學建模作為思想運用，才是最實質的.

思想與方法

談到數學思想，數學教師幾乎都能直覺性地想到“數學方法”，但是很顯然，這兩者不是同一個概念. 思想是根源性的，是方法的源泉；方法具有操作性，也常常是程序性的，是有具體的執行步驟或路徑的. 因此，思想非方法，但思想與方法之間存在著密切的關系. 初中數學中常見的數學方法較多，如解方程或解方程組中的代入法、配方法、公式法等.

其實，作為一線數學教師，更多的需要從數學思想與數學方法的理論梳理中，找到數學教學實踐的智慧. 這里有一個重要的認知就是：數學思想作為數學方法的根源，其外在體現為具體的數學方法，而數學思想要想變成數學方法，最重要的途徑就是將數學思想所演繹出來的“程序化操作”顯現出來.

什么意思呢？這里還是通過“數軸”這一事例進行說明：在“數軸”的教學中，會同時用到數學抽象、數學推理與數學建模的基本思想，但在實際問題與數軸這一模型之間，教材設計了一個“畫圖”的中間過程，這個過程可有可無嗎？當然不是，在筆者看來，這恰恰是體現教材編寫者高超智慧的地方. 因為從學生構建數軸的角度來看，他們不可能一下子想到用數軸這一模型來表示實際問題，而畫圖卻是初中生非常感興趣的（事實上他們從小學數學學習開始就喜歡畫圖的方式，這與學生的形象思維有關），也是學生數學學習的直覺性行為. 因此，畫圖這一中間過程，就將學生所用到的三種基本思想形象化、技術化了. 當三個基本思想支配著學生的畫圖及其結果時，就意味著數學思想在向數學方法演變. 其演變過程可以這樣簡述：學生在面對實際問題的時候，大腦會根據文字描述構建出相應的表象；在“畫圖”的要求下，這些表象最終會轉換為學生筆下的圖形——由路、樹、電線桿、汽車站牌等構建出來的簡圖；其后，又在“用數簡明地表示這些樹、電線桿與汽車站牌的相對位置關系”這一要求的作用下進一步抽象，你會發現學生確實會有效進行這兩步抽象，也確實可以順利地建構出數軸這一用于表示、解答數學問題的模型. 此過程中，三個數學思想是內在于學生心中的，而其演繹出來的帶有步驟性的操作，其實就是數學方法的產物.

綜合地說，觀念性的、概括性的（當然還有其他一些表述）是數學思想，操作性的、程序性的是數學方法. 厘清兩者的關系，可以讓教師在教學中更好地分清教學重點，從而更有效地實施教學.