高中數學平面向量數量積問題的學習與優化處理

雷一霄

【摘要】平面向量在數學學習中有著重要作用，它廣泛用于平面幾何、圓錐曲線的求解中.掌握平面向量的數量積對于中學生的數學學習，可以起到舉一反三和觸類旁通的效果.但是我們在學習中經常會遇到一些問題，這些問題如果不注意就會影響對平面向量數量積的全面掌握.為更好地學習平面向量的數量積問題，筆者通過總結實際數學學習實踐，對平面向量數量積學習中可能會遇到的問題以及問題的解決方法做了總結歸納，以期幫助我們更好地掌握平面向量的數量積的知識點.

【關鍵詞】高中數學；平面向量；平面向量數量積

由于平面向量在數學和生活中應用很廣，因此，平面向量數量積的學習對于我們更好地學習數學中的其他知識也具有幫助意義，尤其是對于數學中立體幾何的學習尤為重要.我們必須要認真學習平面向量的數量積，注意總結學習中的常見問題，不斷提高對數學知識的學習和應用能力.

一、高中數學中的平面向量數量積

向量，既可以表示數量，也可以表示方向，它在數學中有著廣泛的應用.在平面直角坐標系中可以用坐標來表示，向量之間可以加可以減，而其數乘就是平面向量的數量積.平面向量所具有的這些特點，使得它在數學中有著廣泛的應用.向量的數量積幾乎可以解決幾何中所有度量問題，如，長度、夾角、平行、垂直等[1].在高中，我們學習了函數、立體幾何、算法統計以及平面向量、三角函數等等.其中立體幾何的學習在高中數學中的地位非常重要，在數學考試中通常占有很高的比重.然而，在學習平面向量之前，我們常常覺得立體幾何特別煩瑣，有時候拿到一個立體幾何的數學題后，往往無從下手經常要思考半天才能找到解題的切口.雖然在此過程中，我們的思維得到了鍛煉，但是高中生由于面臨高考，時間緊，任務重，不可能花太多的時間在某一個數學題目上.因此，在找不到解題入口的情況下，許多學生可能會放棄，或者遇到這類題目之后，連想都不想，直接去問其他學生如何解答，這對于高中生的學習實際會起到一種反作用，久而久之就會使得一些學生對于數學學習產生厭倦或畏難情緒.我在學習中最深的體會就是，數學的學習過程是一個建立信心的過程，如果我們不能不斷攻堅克難解決數學難題，那么就會漸漸失去數學學習的興趣和信心.因此，在高中數學學習中，如何破解立體幾何的難題對于學生數學知識的學習以及建立學生對數學學科學習的自信心非常重要.平面向量就是高中生解決立體幾何難題的一個非常好的方法，因為它可以表示數量和方向，因此，可以通過平面向量來求立體幾何問題.學習平面向量使得我們對于其他數學知識點的學習更加輕松容易.而當用平面向量來解決數學中的難題時，可能會用到平面向量數量積這一概念，即兩個向量的乘積.因此，學好平面向量數量積非常重要，它對于高中生數學知識的學習具有與平面向量同等重要的作用.

平面向量數量積，在高中數學教材中的定義為兩個向量的乘積，它是兩個向量的模與兩個向量之間的夾角余弦的乘積，這一定義還可以轉化為某一向量的模與另一向量在此向量方向上的投影的乘積.平面向量數量積是一個數，而不是向量.

二、平面向量數量積學習中的常見問題

平面向量數量積在數學中具有重要的作用，其廣泛應用的情況我們都已知道.數量積表示的是一個數，而不是向量.然而，在我們具體學習數量積的時候，由于對平面向量的數量積的定義的認識不夠深刻，不夠全面，導致我們在具體理解數量積問題，以及用平面向量數量積來解決其他問題時會存在誤用、用不好、學不好的問題.通過我對自身學習的總結以及對周圍同學學習狀況的觀察，在具體學習平面向量的數量積問題時經常會出現以下幾個常見問題.具體來說：

（一）平面向量與平面向量數量積

在學習中，我發現，經常有的學生在數量積的概念認識上存在誤區，沒有全面理解數量積到底表示什么，其有何意義，沒有深入去挖掘定義中的內涵，而導致在具體解題過程中，經常出現錯誤.根據高中數學教材，平面向量數量積，如果針對向量a與向量b來表示的話，則是向量a的模與向量b的模相乘之后，再乘上兩個向量之間的夾角的余弦值.因此，數數相乘之后必然仍是數，然而許多學生停留于向量層面，將平面向量的數量積與平面向量混同，認為平面向量表示向量，有大小，也有方向，那么，平面向量的數量積，作為兩個向量的乘積，也應該是向量，也應該有大小和方向.殊不知兩個向量之間的數乘與向量之間的相加、相減不同，它是兩個向量的模與兩個向量之間的夾角的余弦值相乘，數與數之間的相乘必然得到的是數，所以，也才叫數量積，而不是叫向量.在數學學習中，將平面向量數量積與平面向量弄混的結果就是無法正確解題，無法正確應用，阻礙高中數學的學習，產生排斥心理.

（二）平面向量的夾角

從平面向量數量積的公式中可以看出，向量a與向量b相乘時，不僅需要a與b的模相乘，還需要乘以向量a與向量b之間夾角的余弦值.因此，如何確定向量a與向量b之間的夾角對于計算兩個向量之間乘積具有關鍵性意義.在數學學習中，我經常發現，許多學生在計算平面向量的數量積時，由于對于向量a與向量b之間夾角的認識存在誤區而導致最終的計算結果錯誤.許多學生在確定向量a與向量b之間的夾角時，忽視了向量是有方向之分的，一個向量的起始點，要通過其方向來確定，同樣，一個向量與另一個向量之間的夾角的確定也需要考慮到向量之間的方向，不同的向量與其他向量所形成的夾角是不同的.所以，在數學學習中，我們經?？梢园l現，由于沒有注意到向量的方向，而錯誤地把向量的起點，作為向量的終點，導致兩個向量之間的夾角確定錯誤，實際確定的夾角，是原來夾角的補角，所以，其結果必然是錯誤的.更有甚者，有的學生，不知道最起碼的平面向量數量積的知識點，忽視了兩個向量之間的夾角的范圍是在0～180度之間，導致在解題中無法正確確定夾角.

（三）平面向量數量積的正負

平面向量數量積作為兩個向量的模與其夾角的余弦值的乘積是有正負之分的.因為，向量a與向量b之間的夾角可以大于90度，這就意味著，兩個向量之間夾角的余弦值可以為負值，因此，兩個向量之間的模與負的余弦值的乘積必然是負值.在學習中，我總結了兩點學生出錯的情況：一方面，不理解為什么兩個向量之間的乘積可以為負值導致在具體解題過程中出現困惑，產生迷茫，對于數學學習產生誤區.另一方面，有些學生不能熟練掌握三角函數的基本知識，導致雖然可能正確確定了兩個向量之間的夾角，但是，卻將兩個向量之間夾角的余弦值計算錯了，最終使得平面向量數量積計算錯誤.

（四）平面向量數量積的應用

平面向量數量積在數學中具有重要作用，它可用來解答相關的三角、垂直、夾角、最值、不等式等數學問題[2].然而，在學習中，卻經常發現，許多學生不能觸類旁通，學習的遷移能力差，不知道用平面向量數量積來解決其他的數學問題，而將思維局限于平面向量方面的應用.如，高中數學中的立體幾何具有一題多解的特點，經?？梢蕴隽Ⅲw幾何的解題思路，運用平面向量和平面向量數量積來解題.然而，許多學生的思維太局限，不能實現一題多解，經常被某一知識點的解題思路所束縛，缺少應用意識和創新意識，而這對于高中生數學的學習是極其不利的.

三、平面向量數量積學習中的常見問題及解決方法

當前，高中生在對于平面向量數量積的學習中常常存在著以下問題：對于平面向量數量積的認識不夠到位，概念理解不夠透徹，對于平面向量數量積的夾角的判斷存在問題，對于數量積的正負認識不到位，而且即使完全掌握了還缺乏應用意識和應用能力.為此，我總結出了以下幾個解決方法.

首先，針對許多學生將平面向量與平面向量的數量積弄混的問題，這就要求我們學生要加強對數學中基本概念與定義的理解.當前，學生對于數學的認識存在誤區，認為數學就是做題，就是多練習，沒有別的學習方法，這忽視了一個重要的問題，做題是為了什么而做？做題的目的何在？做題的目的在于理解知識點、運用知識點、理解透數學中的基本原理.因此，不要將數學看作做題，要擯棄這種簡單的思維，要認識到一切的做題都是建立在概念的理解的基礎上的，是對數學中基本概念與定義的應用.對于平面向量數量積的定義的理解要注意：平面向量數量積是數不是向量，兩個向量之間的相乘，實際是他們的模與夾角余弦值的相乘，因此，其乘積必然是數量.只有正確認識平面向量之間的乘積，才能正確解題與運用.

其次，針對許多學生將向量之間的夾角確定錯誤的問題，其解決方法是，不要被數學中的基本圖形所迷惑，將一個向量的起點當作終點，看向量，首先要看向量的方向，在確定向量方向的基礎上，來確定夾角.因此，要特別注意向量的方向，通過每一個向量的方向來確定兩個向量之間的夾角，同時，還要注意的是，向量之間的夾角范圍是0-180度，沒有超過180度的夾角.通過利用向量具有方向的特點來確定夾角可以確保正確確定余弦值.

再次，針對平面向量數量積的正負問題，其解決方法是要熟練掌握三角函數，尤其是其中的余弦定律，從而，在正確確定兩個向量之間的夾角之后可以正確計算兩個向量之間的夾角余弦值，得出正確的平面向量數量積.

最后，針對許多學生缺乏應用平面向量數量積的應用意識問題，其解決方法是，要進行有意識的訓練與暗示.每當我們用一種方法解決一個問題之后，要下意識地想一下，這個數學題，如果用平面向量來解，能不能解呢.通過有意識地使用，打破固化的解題思維，這對于我們學生的創新思維以及創新意識的培養是極其重要的.

四、結束語

數學知識的學習絕不意味著練習越多越好，更重要的是要講究方法與技巧，沿著正確的方向所做的努力才是有意義有效的努力.因此，我們無論是在學習平面向量數量積，還是在學習其他數學知識，都要秉持一個原則，以基本定義和原理為根，講究技巧地進行練習，不講究技巧，只追求練習的數量，那只會導致更多次的跌倒，而從來沒有爬起來過.因此，我們在數學學習中要吃透基本概念，然后多加練習.同時，更為重要的是，要注意學習中的反思.通過經常性的反思與總結，可以梳理自己錯誤的原因、錯誤的思維，并通過揣摩正確的思維，而在頭腦中建立正確的思考方式.

【參考文獻】

[1]李鳳.利用向量數量積的性質解題集錦[J].科技資訊，2013（25）：188-189.

[2]朱倍優.例談向量數量積在解題中的運用[J].科技信息，2009（17）：169-170.