基于多媒體輔助教學下的《正態分布》教學設計與思考

[摘 要] 正態分布是一種連續型隨機變量分布，其研究方法不同于離散型隨機變量分布.在建構主義理論的指導下，教師創設情境，學生研探問題、建構概念，借助多媒體輔助教學，明晰認識、突破難點，反思教學，提高教學水平.

[關鍵詞] 正態分布；多媒體輔助教學；建構主義；教學設計；教學反思

[?] 教學背景

前不久，蕪湖市數學名師工作室和安徽省骨干教師高端培訓班聯合開展了一次研修活動，筆者作為名師工作室成員上了一節研討課，內容為選修2-3《正態分布》. 本節課是新課程的新增內容，課程標準和考試說明對此教學要求明確但標準較低，教師如何理解、把握和實施教學具有一定的代表性，值得研究！

[?] 教學設計

1. 教材分析

（1）教學內容

《正態分布》是人教版高中數學選修2-3的第二章《隨機變量及其分布》的內容. 正態分布是描述隨機現象的一種最常見的分布，是統計學中最基本、最重要的一種分布，它在現實生活中有著非常廣泛的應用，值得學習，同時這也將非常有利于學生進一步學習概率統計的知識.

在學習了離散型隨機變量及其分布之后，正態分布作為連續型隨機變量的分布，是對隨機變量及其分布的一種補充和延展，是概率知識的重要組成部分.

教材曾經是開門見山，直接給出正態分布密度函數解析式，直接提出正態分布的概念，直接表明概率和定積分的關系，這些容易導致學生一時無法了解和理解正態分布的來源和生成，教材設計不佳. 現教材利用高爾頓板試驗逐步引入正態分布密度曲線，在此基礎上構建正態分布概念，借助直觀的試驗，透過試驗現象看數學本質，易于教師解釋正態分布密度曲線的來源，也利于學生理解正態分布的概念，符合學生的認知規律，設計較好.

正態分布曲線的特點及其所表示的意義是本節課核心概念和最主要的內容，是知識的樞紐，故將其設為教學重點.

自主建構、理解正態分布曲線所表示的意義，對學生而言是較為復雜和抽象的，富有挑戰性，容易陷入認知困境，故將其設為教學難點.

（2）教學目標

知識與技能：通過高爾頓板試驗，了解正態分布密度曲線的來源，了解正態密度函數和正態分布的概念；通過觀察、分析正態分布曲線圖形，歸納并掌握正態曲線的特點及其所表示的意義.

過程與方法：師生共同通過模擬高爾頓板試驗，畫出頻率分布直方圖，描出折線圖近似得到正態曲線，讓學生感受到從有限到無限的研究方法，引導學生運用函數觀點，從函數的角度理解和認識正態曲線，強化學生對函數思想方法的認識和理解.

在教師的指導下，學生通過觀察、分析正態曲線圖形，研究并總結出正態曲線的特點，并能夠應用其解決一些與正態分布有關的簡單問題. 在此探究過程中，使學生再次認識到運用數形結合能夠很好地解決一些問題，深深地感受到數形結合這個數學思想方法的強大威力，深刻體會到圖像對研究函數的重大意義，同時實現幫助學生增強其觀察、分析、歸納和應用能力的目的.

情感、態度與價值觀：通過設置演示試驗，介紹正態分布在生活中的應用，讓學生理解數學是來源于生活、服務于生活的，讓其感受到數學的價值，激發其學習數學的興趣.

通過教學中一系列的探究，指導學生自主學習，使其身在其中，體驗發現的快樂和喜悅，形成積極的情感，進而逐步培養進取意識、探究能力和科學精神.

2. 學情分析及教法學法

在前面的學習中，學生已經掌握了一些相關的統計概率的知識，這為學生理解并利用頻率分布直方圖來研究小球的分布規律、建立曲邊圖形面積和函數定積分與隨機變量概率關系等奠定了基礎. 但是正態分布的來源、產生和發展，特別是橫空出世的正態分布密度函數解析式，都是較為復雜和抽象的，學生理解起來還是比較困難的.

根據以上學情，筆者采取了如下的教學方法：

本節課是一節概念課，應該讓學生經歷一個“自主觀察—合作探究—發現新知—歸納總結—理解運用”的過程，為此筆者在教學中采用了以探究法為主、講授法為輔的教學方法. 對于新知的教學，按照“觀察—探究—總結—反饋—再觀察—再探究—總結提升”的程序組織教學，教師適時恰當地進行講解、指導和引導，幫助學生突破難點，把握重點，充分發揮教師主導課堂教學的作用，學生全面、深入地參與課堂教學中，充分體現學生是課堂教學的主體. 同時適當地使用教學模型、實物投影儀和多媒體進行輔助教學，實現了教學素材的多樣化、直觀化、形象化和呈現的快速化，大大地提高了課堂教學的效率和有效性，有效地集中了學生的注意力和激發了學生的學習興趣.

縱觀整堂課的設計，筆者注重學生學法的指導：課堂上，給予學生深度參與教學過程的機會. 學生先自主觀察，之后在教師的指導和幫助下，學生自主觀察，獨立探究，自我歸納，相互交流，形成結論或獲得成果，在教師的指導下提煉結論，提升認識，應用知識解決實際問題. 這些都將非常有助于鍛煉和培養學生的觀察、分析能力，能夠較好地引導學生初步了解數學概念和結論的產生、發展的過程，使學生在知識的產生和應用中體會到數學來源于生活又服務于生活，讓其感受到數學的價值，進而培養其發現、提出、分析、解決數學問題的意識和能力.

比如，要求學生觀看高爾頓板實驗，在此過程中教師設置一系列引導問題，教師主導思考方向，學生獨立觀察、仔細思考后回答，從而能夠較好地理解正態曲線的來源. 又如，要求學生觀察、分析正態分布曲線，歸納正態分布曲線的特點，學生自主利用在函數圖像所學的知識選擇從圖像大致形狀、對稱性、最高點、單調性等方面進行觀察，與同學交流，形成較為全面的探究成果. 學生再次利用圖像得到函數的性質，不但很好地運用了數形結合的思想方法，更是被數形結合的思想方法的魅力所折服. 再如，通過對幾何畫板動畫的觀察，學生完全能夠自主分析、歸納出參數μ，σ對正態分布曲線的影響，明白在正態分布曲線圖像上什么是概率，進而較好地理解3σ原則. 學生自主學習方法掌握了，自主學習能力培養了，授予學生以漁，達成教學目標就是水到渠成的了！

3. 教學輔助手段和環境

幾何畫板、函數圖像生成器、多媒體教室.

4. 教學過程的設計

（1）創設情境，引入課題

【師生活動】 師生上臺共同演示高爾頓板試驗. 請學生結合高爾頓板試驗思考并回答以下問題：

①小球在落下的過程中發生了什么？

②小球落下后，它的位置變化有規律嗎？

③在此試驗中，什么影響了小球落下的位置？

④什么對小球落下的位置結果影響大？

⑤前一個小球對下一個小球落下的位置有影響嗎？

⑥你能事先確定某個小球下落時會與哪些小木塊發生碰撞嗎？

⑦你能事先確定某個小球下落后的位置嗎？這些小球落下的位置有規律可循嗎？

設計意圖：創設情境，為導入新知做好準備. 教師問題指引，學生體驗感悟，對試驗的過程、結果、發生原因進行定向思考. 讓學生參與演示試驗，能提高學生的學習積極性，提高學習數學的興趣.

點評：以問題為指引，確定思考方向，抓住問題的核心，感性和理性并存.

采用獨立思考后再合作交流，加強學生的合作意識. 學生深度地參與教學過程，親身體驗“正態分布曲線“的發現和生成歷程.

（2）研探問題，建構概念

首先，用頻率分布直方圖從頻率角度研究小球的分布規律.

①將球槽編號，算出各個球槽內的小球個數，作出頻率分布表.

【師生活動】 師：頻率分布直方圖如何作出？它的橫、縱軸分別是什么？

師：這里每個長方形的面積的含義是什么？

設計意圖：通過教師設問，學生思考后回答，引導學生思考回顧，加深學生對頻率分布直方圖的理解，為后續學習做好知識鋪墊. 通過多媒體演示作圖過程，提高課堂的效率.

點評：教師將與新知有關的舊知提取出來，加以溫故，作為知識的“生長點”，進而引出、構建新知，這是符合學生認知的規律，幫助學生打好更新、發展認識的基礎.

②以球槽的編號為橫坐標，以小球落入各個球槽內的頻率與組距的比值為縱坐標，畫出頻率分布直方圖. 連接各個長方形上端的中點得到頻率分布折線圖（分組數n=10）.

[n=10.00][x][O][y]

圖1

③隨著試驗次數增多，折線圖就越來越接近于一條光滑的曲線.

[n=42.00][x][O][y]

圖2

[師生活動] 師：這是什么樣的曲線？（連續的）我們怎么研究它？研究它什么？（我們可以直接研究，也可以通過其他方式研究，現在不完全回答，后面再研究）它能成為某個函數的圖像嗎？若能，那它的擬合函數是怎樣的？為什么要擬合函數呢？（暫時不回答）

從描述曲線形狀的角度自然引入正態密度函數的表達式：φμ，σ（x）=e，x∈（-∞，+∞）.

【師生活動】 師：我們用函數圖像生成器來畫出正態密度函數的圖像，與上面的曲線對比一下，有什么發現？

設計意圖：以問題串引導學生認識、理解正態曲線，簡單、粗線條地研究圖像和與函數相對應解析式的關聯點，對比分析、多媒體輔助畫圖感受函數擬合的效果：圖像都在x軸上方和函數值都是正的；圖像有最高點和函數有最大值；圖像有對稱軸和函數有完全平方式，等等.

設計意圖：在教師的幫助下，讓學生體驗從有限到無限的數學研究方法，領悟到現在研究的是一個連續的問題，不同于先前研究的離散型的隨機變量問題.

點評：首先讓學生從形上直觀地認識正態曲線，再從函數的視角探究曲線，給出曲線擬合的函數解析式，最后分析圖像和解析式的對應特征，應用多媒體輔助教學手段驗證函數的擬合效果.教師如此處理，直觀形象、層層遞進、深入淺出，學生易理解正態曲線和正態密度函數的來源和生成，較好地突破了難點.

其次，繼續探究：當我們去掉高爾頓板試驗最下邊的球槽，并沿其底部建立一個水平坐標軸，其刻度單位為球槽的寬度，用X表示落下的小球第一次與高爾頓板底部接觸時的坐標.

【師生活動】 師：圖3中陰影部分的面積有什么意義？

[a][x][O][y][b]

圖3

然后，得到正態分布概念：一般地，如果對于任何實數a

【師生活動】 在教師的引導下，學生不難發現：頻率分布直方圖中面積對應頻率，圖中陰影部分的面積，就可以看成多個矩形面積的和，也就是X落在區間（a，b]的頻率. 進而得到：此時小球與底部接觸時的坐標X是一個連續型隨機變量.

設計意圖：通過設置啟發性問題，引發學生定向、深入思考. 若直接問X落在區間（a，b]上的概率，則學生不易反應過來，但設問面積的意義，學生易于聯想到定積分的幾何意義，故便于學生接受、理解. 另外，借助于坐標X實現了由離散型隨機變量到連續型隨機變量的轉變和跨越.

點評：教師引導學生利用定積分的意義認識到此陰影部分面積就是正態密度函數在該區間上的定積分，從而建立了定積分和概率的關系，即用正態密度函數在指定的區間上的定積分表示連續型隨機變量在區間上的概率. 學生此刻會幡然醒悟：我們為什么要以正態曲線擬合一個正態密度函數！

【師生活動】 師：回顧在觀察高爾頓板試驗時已經回答的問題，你能感受到什么樣的隨機變量會服從或近似服從正態分布嗎？

【師生活動】 教師組織學生再次討論，反思共識，得出新的認識：在小球的下落過程中，小球受到多次隨機的不分主次的小木塊的碰撞，落下后它的位置無法預計，無規律可循，但顯示出中間多，兩邊逐漸少的結果.

服從或近似服從正態分布隨機變量的特征：是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和.

設計意圖：以舊引新，雖然概念較抽象，但這樣的處理學生不會覺得太突兀，易于接受新知識；同時，培養了學生將知識聯系起來進行思考的思維習慣.

設計意圖：“什么樣的隨機變量服從（或近似服從）正態分布？”是本節課的難點之一，學生沒有認識基礎，教師沒有教學載體，不太好處理，更難以突破了. 在此，嘗試采用回顧高爾頓板試驗，重新審視問題，從新的視角思考試驗結果產生的過程，究其影響因素和原因，揭示問題的本質，以期有效突破難點.

通過列舉實例，讓學生體會到生活中處處有正態分布，感受到正態分布和數學的應用廣泛性.

（3）自主探究，分析歸納

正態分布曲線的特點：①曲線在x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，圖像關于直線x=μ對稱；③曲線在x=μ處達峰值；④曲線與x軸之間的面積為1.

[師生活動] 教師要求學生自主觀察、分析正態分布曲線，結合正態密度函數解析式，歸納正態分布曲線的特點及相應理由；與小組同學交流、糾錯、補充；小組代表展示成果，師生共同評價、完善，形成較為全面的探究成果.

設計意圖：在教師的指導下，學生自主分析圖像和解析式，選擇從曲線對稱性、最高點、單調性等方面觀察得到曲線的特點，鍛煉了學生的觀察能力和歸納能力；很好地運用了數形結合的思想方法，學生更是被數形結合思想方法的魅力所折服；如何利用在函數所學的圖像知識.

點評：學生深入參與課堂教學，經歷知識形成的過程，自主在其“最臨近發展區”構建新的知識框架，既突出了重點，又能掌握較好.

（4）動畫演示，明晰認識

參數μ和σ對正態曲線的影響：教師通過計算機繪出兩組圖像（動畫），讓學生觀察.

第一組：固定σ的值，μ取三個不同的數；

第二組：固定μ的值，σ取三個不同的數.

設計意圖：針對解析式中含有兩個參數，學生很難獨立自主地分析參數對曲線的影響，教師在此講授面對兩個參數時常用的處理方法是：先固定一個參數，再討論另一個參數對圖像的影響.應用多媒體動畫演示變化，形象直觀、一目了然，有效地降低了學習難度、較好地突出了重點. 此處不適宜讓學生自主探究，否則可能會遇到理解認識的瓶頸.

點評：教師借助計算機模擬呈現了教學中難以呈現的內容，將難點一擊而破，將重點凸顯而出，充分發揮了信息技術輔助教學的作用.

[?] 教學反思

在教學中，以問題為指引，明確學生的思考方向；以探究活動為平臺，促使學生深度參與教學；創建自主課堂，營造輕松、愉悅的學習氛圍；應用多媒體輔助教學，有效地突破難點，提高教學效率. 本節課，在多媒體輔助教學下，實現了高效課堂，達到了預設教學的目標.

1. 多媒體輔助教學與板書

在教學中，筆者根據學情和教學內容的需要選擇性地適度使用多媒體進行輔助教學，節省了教學時間，降低了教與學的難度，使教學進程更加連貫，使教學素材實時生成、形象直觀，效率高、效果好、成效明顯！但筆者認為，數學教師的板書演示還是不可或缺的！精心設計的板書，合理演示的板書，將會很好地展示師生數學思維發展的過程性和多樣性，清楚呈現教學成果，直接示范數學語言的規范表述. 多媒體輔助教學是需要的，也是重要的，但數學教師的板書是更重要，是多媒體不可替代的.

2. 學法指導

建構主義學習理論告訴我們：學生的學習是在教師的指導下，以學生為中心的學習，教師是意義建構的幫助者和促進者. 因此，教師有效的學法指導將大大增強學生學習的目的性和實效性.

（1）使學生被課堂教學所吸引. 設置問題情境，抓住注意力和思維，保持好奇心和求知欲，讓其樂學. 如課題引入時，師生上臺共同演示高爾頓板試驗，在問題任務的驅動下，學生觀察、感受、思考、分析試驗現象，情緒高漲、注意力集中、思維敏捷.

（2）讓學生親身經歷探究過程. 開展探究活動，讓學生經歷新知產生、形成和發展的過程，學生實踐了學習新知的方法，授之以漁，讓其會學.如面對正態曲線的特點問題，在教師的指導下，學生類比運用研究函數圖像的數形結合方法來探究，這既讓學生踐行了此研究方法，又加深了學生對此法的理解和掌握，更重要的是，表明了學生會思考、會解決問題、會學習了.

（3）讓學生應用知識解決問題.應用知識解決實際問題，讓學生經歷歸納、總結、應用的過程，使其體會到數學來源于生活又服務于生活，使其感受數學的價值，讓其學會、讓其會用. 如在學生構建正態分布的概念后，教師列舉眾多與學生生活、學習相關的服從或近似地服從正態分布的具體例子和例題，說明了正態分布在概率和統計中占有重要的地位和應用價值.

3. 教學評價

正態分布雖是一個應用范圍廣泛的知識，但對學生而言，它仍是一個較為陌生的概念，學生沒有多少相應的知識、方法、思維的儲備作為基礎，尤其是由離散型跳躍到連續型，由有限質變到無限，對學生的挑戰較大.我們如何對教學對象、教學過程、教學結果、教學實施等進行評價，這是值得深思和研究的.

筆者認為，課堂上教師和學生都是教學評價的主體，學習過程與結果的評價同等重要，我們可以通過觀察學生能否積極參與課堂教學過程、能否積極思考問題、能否理解掌握新知并運用其分析解決問題來評判好壞、優劣、適合與否.教學中，教師要讓學生全面、深入地參與教學過程，親身體驗、獨立思考、交流質疑、歸納總結、構建新知；教師要時刻關注學生的表現，準確定位學生的需求，適時調整和補充；教師要鼓勵、促使學生思考、總結、自省、提高，采用自評、互評、及時和延時點評等評價形式，考查學生在知識、思想、能力等方面的發展情況，在平等、寬容的氛圍中，實現多元化評價，落實過程和結果評價. 這樣，我們及時、有效的反饋和肯定將會極大地調動學生學習的積極性，良好的情感體驗將對學生學習的有效性、持續性和發展性起至關重要的作用！

[?] 結束語

課堂上，學生的“學”是關鍵，學生是中心、主角；教師是教學的設計者、活動的組織者與指導者、評價的參與者與鼓勵者，教師幕前當好“配角”，幕后運籌帷幄，只有這樣才能充分發揮教師的主導作用，充分體現學生的主體地位！

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（實驗）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[2] 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準實驗教科書A版選修2-3[M]. 北京：人民教育出版社.2007.

[3] 溫彭年 賈國英. 建構主義理論與教學改革——建構主義學習理論綜述[J]. 教育理論與實踐. 2002，（5）： 17—22.