初中數學數形結合思想探討

彭海勇

摘 要：數形結合的思想在解答初中數學題目上有著非常重要的地位，初中數學中有些知識點的概念是非常抽象的，光靠傳統的思維方式很難讓學生很好的進行理解，因此，在初中數學的教學過程中，有必要將數形結合的思想教給學生。本文將通過幾個例題對數形結合的思想進行探討。

關鍵詞：初中數學；數形結合；舉例

數形結合思想在中學數學教學與學習中的應用非常廣泛，在函數、不等式、幾何等題目中運用數學結合思想方法可以節省大量計算時間，初一、初二通過數軸給學生以感性認識，了解數形結合的一些思想和方法，初三年級通過直角坐標系的建立讓學生初步掌握數形結合的思想方法.數形結合思想在中考數學中有著舉足輕重的作用。下面我就數形結合思想在教學中的應用談談看法。

一﹑由數想形

（一）借助數軸引導學生合理理解數學概念法則。

數軸是重要的數學學習工具，借助其可直觀表示較多數學問題，令數形有機結合，因此在初中數學教學中我們應合理應用數軸幫助學生整理絕對值的幾何意義，掌握數軸上任意兩點間的距離等于兩點所表示數的差的絕對值.

理解：|x-1|，|x+2|分別表示數軸上表示x與1、x與-2之間的距離，則本題就可借助數軸找x到1和-2的距離和等于3的點在-2和1之間，所以答案為-2≤x≤1.

由上題可知，x到1和-2的距離差等于3，因此本題要找的是x到1和-2的距離差等于3，借助數軸發現x只能在-2的左邊，或1的右邊，所以答案為x≤-2或x≥1.

（二）借助數軸引導學生分析不等式中部分解求范圍問題.

解不等式得：x≤m.通過畫數軸可知正整數解為1、2、3，m的大致范圍在3和4之間，再討論m=3和m=4的情況，當m=3時符合題意，當m=4時，不等式有4個正整數解為1、2、3、4.所以本題的答案為3≤m<4.

（三）借助拋物線圖像給定自變量取值范圍求因變量范圍.

分析：由自變量范圍可知二次函數有意義圖像在ACB這段曲線上，經過圖像的最高點，所以函數在自變量范圍內有最大值.當x=-2時，函數最小值為-4；當x=1時，函數最大值為5，所以y的取值范圍為-4

（四）由數結構想到構造直角三角形利用勾股定理求最值.

例4：已知：a，b均為正數，a+b=2，求+的最小值.

解：如圖，作線段AB=2，在AB上截取AE=a，BE=b，過A作AC⊥AB且AC=2，過B作BD⊥AB且AB=1，則由勾股定理得+，即CE+DE.本題就轉化為在AB上找一點使CE+DE最小，作C，G關于AB對稱，連接DG交AB于E，此時G，D，E三點共線.過G作GF⊥DB交DB延長線于F，最小值即為DG.

DG===.

所以+的最小值為.

從上文已經知道，以形助數是根據代數問題所蘊含的幾何意義，將代數問題轉化成幾何問題并加以解決，使得代數問題變幾何化，借助于幾何圖形直觀地得到問題的結論，使得原本抽象而復雜的問題變得更形象化、簡易化.

二、由形知數

（一）初中數學教學中應利用數形結合，引導學生用代數方式有效解決識圖問題.

例5：如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，動點P從A點出發，以1cm/s的速度沿著A→B→C→D的方向不停移動，直到點P到達點D后才停止.已知△PAD的面積S（單位：cm）與點P移動的時間分析：在教學時讓學生結合圖像和圖形分析出點P在線段AB上運動時S的面積在不斷增大，對應自變量0≤t≤2在函數圖像上，當自變量t=2時點P恰好與B點重合，此時線段AB=2cm，S的面積為3cm，過B作BE⊥AD可求得BE=cm，AE=1cm，AD=6cm，點P在線段BC上運動時面積不變，對應自變量2≤t≤4根據函數圖像可得BC=2，點P在CD上運動時面積不斷減小對應函數圖像剩下的部分.則要求點P從開始移動到停止移動一共用了多少秒，只需求出CD得長.轉化為梯形中已知三邊求第四邊問題，過C作CF⊥AD可得矩形CFEB，CF=BE=cm，CD=2cm，從而求出路程為（2+4）cm，時間為（2+4）s.

（二）用代數的方法有效地解決幾何圖形中的翻折問題.

例6：如圖，已知直角梯形紙片OABC中，兩底邊AO=5，BC=4，垂直于底的腰CO=.點T在線段AO上（不與線段端點重合），將紙片折疊，使點A落在射線AB上（記為點A′，折痕經過點T，折痕TP與射線AB交于點P，設OT=t，折疊后紙片重疊部分（圖中陰影部分）的面積為S.

（1）求∠OAB的度數；

（2）求當點A′在線段AB上時，S關于t的函數關系式；

（3）當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，求t的取值范圍；

（4）S存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值，并求此時t的值；若不存在，請說明理由.

（1）過點B作BE⊥OA，垂足為E，可得AE=OA-OE=1，tanA=，

∴∠OAB=60°.

（2）當點A′在線段AB上時，

∵∠OAB=60°，TA=TA′，

∴△A′TA是等邊三角形，且TP⊥AB，TA=5-t，

∴S=S=·（5-t）=（5-t）（3≤t<5）.

（3）當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，因△A′TA是等邊三角形，所以2（4）S存在最大值.

①當3≤t<5時，S=（5-t）（3≤t<5），在對稱軸t=5的左邊，S的值隨t的增大而減小，當t=3時，S的最大值是；

②當1≤t<3時，重疊部分的面積S=（5-t）-（3-t）=-（t-1）+

當t=1時，S的最大值為；

③當0

∵四邊形ETAB是等腰梯形，∴EF=ET=AB=2，S=×2×=.

綜上所述，S有最大值為，此時0

通過幾何圖形的變化，用函數表達求最值是考試中常見的問題.因此在教學中應該引導學生畫圖，結合圖形用函數描述幾何圖形的變化.數形結合思想的應用往往能使一些錯綜復雜的問題變得直觀，解題思路非常清晰，步驟非常明了.另外，還可以激發學生學習數學的興趣.

在初中數學教學中應滲透數形結合思想方法，培養學生數學思維能力，使其養成良好的數學思維習慣.數形結合思想貫穿初中數學教學的始終，“以形助數”“以數輔形”，有利于發展學生思維能力，培養學生的數形結合意識，從而提高學生分析問題、解決問題的能力。

參考文獻：

[1]馬秀琴，初中數學數形結合思想的研究和應用[J]，科學大眾，2009年7期.

[2]曾鐵梅，初中數學數形結合思想的探討[J]，科學咨詢，2015年15期.