三角函數最值的幾種方法探討

吳靜

摘要：眾所周知，高中3年的數學知識中，函數一直扮演著其他知識的根基的角色，在最終的高考試卷中，也是重中之重的地位。在函數的眾多問題中，三角函數又是其中的考查重點，而三角函數中對包括了三角函數的概念、圖像、性質及誘導公式、同角三角函數間基本關系式、兩角和差以及倍角公式等相關的知識點的最值問題更是變換形式的出題考察。但是關于三角函數最值的題目的解法，則根據其變化多端的特點，相應的也是會做出很多改變和調整，以更好的解決此類問題。在此筆者特在此整理編輯了這篇對高考中涉及到三角函數最值問題的文章，旨在理順讀者對該知識點的理解，提高學生解此類題型的能力，更主要的是幫助學生樹立函數思維，通過舉一反三，融會貫通，用自己的方式解題才是本文主旨。

關鍵詞：高中數學；三角函數；最值方法

在整個高中三年的學習中，三角函數的最值問題都是很主要的一個問題。本文通過對歷年高考真題的研究，對求三角函數最值的一些方法作出了討論與總結，下面是結合實例總結出的幾種求三角函數最值問題的方法。

一、數形結合的思想

數形結合是數學中四種重要思想方法之一，它既具有數學學科的鮮明特點又是數學研究的常用方法。數形結合就是將題目中的數字轉化為圖形，將圖形上的信息轉化為文字。尤其是在選擇填空題中，運用數形結合的方法，可以做到直接解出答案；而在解答題那些大題中，也能起到輔助的作用。轉化和構造是利用函數圖象處理問題的關鍵。在求方程的解之類的問題時，可以把方程轉化為幾條曲線求交點的問題，從而簡化形式，便于求解。

例1：求 y=（2- sinx）/（2- cosx）的最值。

解 ： 因 cos2x+sin2x=1，

點（ cosx，sinx）是單位圓上的點。

∴y=（2- sinx）/（2- cosx）

就表示從點（ 2， 2） 向單位圓所引的直線的斜率， 最值就是兩切線的斜率.

令過點（ 2， 2）的切線方程為：y- 2=k（x- 2）

即 kx- y+2- 2k=0

因原點（ 0， 0）到切線的距離為1

∴| 2- 2k| /（k2+1）1/2=1

k=（4±）/3， ymin=（4- ）/3

點評：像這樣一些在表達式中存在分式形式的題目很常見，這時候我們就要把分母不為零這個隱含條件加進去，從而對x進行了一些限制。還有，根據表達式的內容，我們可以判斷出其圖形是什么，歸為哪一類，以及所要求出的內容。這時利用數形結合，把圖畫出來，其中有一次函數、二次函數不等，不同的函數對應不同的圖形，其定義域、值域也都有不同的限制范圍。根據圖形本身的性質來限制函數，這樣由圖形反應到數字上，更直觀更便捷。比如這道題，就是用直線的斜率來求解的。通過一些化簡和基礎的運算，將函數反應到圖形上，由圖形來簡化問題的本質，最

后求解也更容易[1]。

二、三角函數基本性質的運用

例2：求y=（1+sinx）/（1+cosx）的最大與最小值。

分析： 因為給出的函數中含有sinx與cosx，應化為同名三角函數，于是利用三角函數的性質———萬能代換公式。

解： 利用萬能代換公式有

y=[ tg2（x/2）+2tg（x/2）+1] /[ 3+tg2（x/2）]

由此得： （ y- 1） tg2（x/2）- 2tg（x/2）+3y- 1=0（y≠1）

由上述方程中判別式△≥0，得

0≤y≤4/3

∴有 ymax=4/3 ，ymin=0

點評： 在一些題目中，會遇到不同名函數之間求最值的問題。這要求學生們熟練地掌握同角三角函數的性質及萬能代換公式內容。只有熟練的掌握基礎知識，將三角函數的性質理解的特別深入透徹，才能夠去運用，去用來解決一些問題。在不同名函數求最值問題時，利用換元法將三角函數問題轉化為代數函數，然后利用萬能公式和判別式求解，這已經形成了一套解題思路，我們在對學生進行講解時，既要注意這一套解題思路的連貫性，又要注意對學生們思維的拓展。這道題目中含有sinx與cosx，就是運用換元法與萬能公式和判別式的結合來求得最大值和最小值的[2]。

三、二次函數性質的運用

例3：已知函數f（ x） = 2cos 2x + sin2x-4cos x。

1、求 f（π/3）的值；（2）求f（x）的最大值和最小值。

解（1） f（π/3）= 2cos2π/3+ sin2π/3-4cosπ/3= -1 +3/4-2=-9/4。

2、f（ x） = 2（ 2cos2x-1）+（ 1-cos2x）-4cos x = 3cos2x-4cos x-1= 3 （cos x -3/2）2-7/3，

x ∈ R.因為 cos x ∈[-1，1]，所以當 cos x =-1時，f（ x） 取最大值6； 當cos x =2/3時， f（ x）取最小值-7/3。

點評：在三角函數中，正弦函數與余弦函數具有一個最基本也是最重要的特征——有界性。如果題目所給的三角函數表達式中含有正弦函數或余弦函數，而且它們的次數還不同時，一般會將給定的三角函數式轉化為二次函數來求解，這主要利用了三角函數理論以及三角函數的有界性，將其轉化為二次函數在閉區間上的最值問題。解決最值問題的關鍵之處就在于對三角函數的靈活運用以及抓住題目關鍵和本質所在[3]。

四、結語

三角函數在歷次的高考數學中都占有相當的比重，是高中非常重要的學習內容。它可以涉及多種題型，選擇、填空、解答，在前十道的選擇和第一道的解答中，一般需要數形結合，做一些簡單的變換來解答問題。在比較靠后的一些題中，則需要學生有良好的做題習慣以及獨立思考的能力，在面對題目的時候能夠通過平時的練習將自己的數學思維與解題方法和技巧熟練地運用出來。三角函數的學習大部分在高一階段就已完成，我們的目的就是培養學生的思維能力，形成好的思維習慣。通過對三角函數的學習和思考能夠加深學生對三角函數的認識和理解。以上我們給出的幾種求三角函數最值問題的解法在中學數學教學中是經常用到的，但我們在求最值時，不能拘泥于上述這幾種形式，我們可以通過一些恰當的處理，將解題思路傳授給學生，來達到預期的目的。在解題的過程中我們要鼓勵學生從不同的角度去思考，以便學生能夠拓寬思維，提高解決問題的能力。

參考文獻

[1] 郝連軍.例析高中數學三角函數解題中存在的問題[J].新課程·中旬，2013，（10）：211-211.

[2] 陳林松.芻議高中數學三角函數學習之要[J].理科愛好者（教育教學版），2013，5（1）：38-39.

[3] 張夢瑤.淺析高中數學中的三角函數變換[J].文理導航（中旬），2016，（1）：16.endprint