三角函數(shù)最值的幾種方法探討

吳靜

摘要：眾所周知，高中3年的數(shù)學(xué)知識(shí)中，函數(shù)一直扮演著其他知識(shí)的根基的角色，在最終的高考試卷中，也是重中之重的地位。在函數(shù)的眾多問題中，三角函數(shù)又是其中的考查重點(diǎn)，而三角函數(shù)中對包括了三角函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式、兩角和差以及倍角公式等相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)的最值問題更是變換形式的出題考察。但是關(guān)于三角函數(shù)最值的題目的解法，則根據(jù)其變化多端的特點(diǎn)，相應(yīng)的也是會(huì)做出很多改變和調(diào)整，以更好的解決此類問題。在此筆者特在此整理編輯了這篇對高考中涉及到三角函數(shù)最值問題的文章，旨在理順讀者對該知識(shí)點(diǎn)的理解，提高學(xué)生解此類題型的能力，更主要的是幫助學(xué)生樹立函數(shù)思維，通過舉一反三，融會(huì)貫通，用自己的方式解題才是本文主旨。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；最值方法

在整個(gè)高中三年的學(xué)習(xí)中，三角函數(shù)的最值問題都是很主要的一個(gè)問題。本文通過對歷年高考真題的研究，對求三角函數(shù)最值的一些方法作出了討論與總結(jié)，下面是結(jié)合實(shí)例總結(jié)出的幾種求三角函數(shù)最值問題的方法。

一、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中四種重要思想方法之一，它既具有數(shù)學(xué)學(xué)科的鮮明特點(diǎn)又是數(shù)學(xué)研究的常用方法。數(shù)形結(jié)合就是將題目中的數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形，將圖形上的信息轉(zhuǎn)化為文字。尤其是在選擇填空題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，可以做到直接解出答案；而在解答題那些大題中，也能起到輔助的作用。轉(zhuǎn)化和構(gòu)造是利用函數(shù)圖象處理問題的關(guān)鍵。在求方程的解之類的問題時(shí)，可以把方程轉(zhuǎn)化為幾條曲線求交點(diǎn)的問題，從而簡化形式，便于求解。

例1：求 y=（2- sinx）/（2- cosx）的最值。

解 ： 因 cos2x+sin2x=1，

點(diǎn)（ cosx，sinx）是單位圓上的點(diǎn)。

∴y=（2- sinx）/（2- cosx）

就表示從點(diǎn)（ 2， 2） 向單位圓所引的直線的斜率， 最值就是兩切線的斜率.

令過點(diǎn)（ 2， 2）的切線方程為：y- 2=k（x- 2）

即 kx- y+2- 2k=0

因原點(diǎn)（ 0， 0）到切線的距離為1

∴| 2- 2k| /（k2+1）1/2=1

k=（4±）/3， ymin=（4- ）/3

點(diǎn)評：像這樣一些在表達(dá)式中存在分式形式的題目很常見，這時(shí)候我們就要把分母不為零這個(gè)隱含條件加進(jìn)去，從而對x進(jìn)行了一些限制。還有，根據(jù)表達(dá)式的內(nèi)容，我們可以判斷出其圖形是什么，歸為哪一類，以及所要求出的內(nèi)容。這時(shí)利用數(shù)形結(jié)合，把圖畫出來，其中有一次函數(shù)、二次函數(shù)不等，不同的函數(shù)對應(yīng)不同的圖形，其定義域、值域也都有不同的限制范圍。根據(jù)圖形本身的性質(zhì)來限制函數(shù)，這樣由圖形反應(yīng)到數(shù)字上，更直觀更便捷。比如這道題，就是用直線的斜率來求解的。通過一些化簡和基礎(chǔ)的運(yùn)算，將函數(shù)反應(yīng)到圖形上，由圖形來簡化問題的本質(zhì)，最

后求解也更容易[1]。

二、三角函數(shù)基本性質(zhì)的運(yùn)用

例2：求y=（1+sinx）/（1+cosx）的最大與最小值。

分析： 因?yàn)榻o出的函數(shù)中含有sinx與cosx，應(yīng)化為同名三角函數(shù)，于是利用三角函數(shù)的性質(zhì)———萬能代換公式。

解： 利用萬能代換公式有

y=[ tg2（x/2）+2tg（x/2）+1] /[ 3+tg2（x/2）]

由此得： （ y- 1） tg2（x/2）- 2tg（x/2）+3y- 1=0（y≠1）

由上述方程中判別式△≥0，得

0≤y≤4/3

∴有 ymax=4/3 ，ymin=0

點(diǎn)評： 在一些題目中，會(huì)遇到不同名函數(shù)之間求最值的問題。這要求學(xué)生們熟練地掌握同角三角函數(shù)的性質(zhì)及萬能代換公式內(nèi)容。只有熟練的掌握基礎(chǔ)知識(shí)，將三角函數(shù)的性質(zhì)理解的特別深入透徹，才能夠去運(yùn)用，去用來解決一些問題。在不同名函數(shù)求最值問題時(shí)，利用換元法將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)，然后利用萬能公式和判別式求解，這已經(jīng)形成了一套解題思路，我們在對學(xué)生進(jìn)行講解時(shí)，既要注意這一套解題思路的連貫性，又要注意對學(xué)生們思維的拓展。這道題目中含有sinx與cosx，就是運(yùn)用換元法與萬能公式和判別式的結(jié)合來求得最大值和最小值的[2]。

三、二次函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用

例3：已知函數(shù)f（ x） = 2cos 2x + sin2x-4cos x。

1、求 f（π/3）的值；（2）求f（x）的最大值和最小值。

解（1） f（π/3）= 2cos2π/3+ sin2π/3-4cosπ/3= -1 +3/4-2=-9/4。

2、f（ x） = 2（ 2cos2x-1）+（ 1-cos2x）-4cos x = 3cos2x-4cos x-1= 3 （cos x -3/2）2-7/3，

x ∈ R.因?yàn)?cos x ∈[-1，1]，所以當(dāng) cos x =-1時(shí)，f（ x） 取最大值6； 當(dāng)cos x =2/3時(shí)， f（ x）取最小值-7/3。

點(diǎn)評：在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個(gè)最基本也是最重要的特征——有界性。如果題目所給的三角函數(shù)表達(dá)式中含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，而且它們的次數(shù)還不同時(shí)，一般會(huì)將給定的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來求解，這主要利用了三角函數(shù)理論以及三角函數(shù)的有界性，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。解決最值問題的關(guān)鍵之處就在于對三角函數(shù)的靈活運(yùn)用以及抓住題目關(guān)鍵和本質(zhì)所在[3]。

四、結(jié)語

三角函數(shù)在歷次的高考數(shù)學(xué)中都占有相當(dāng)?shù)谋戎?，是高中非常重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。它可以涉及多種題型，選擇、填空、解答，在前十道的選擇和第一道的解答中，一般需要數(shù)形結(jié)合，做一些簡單的變換來解答問題。在比較靠后的一些題中，則需要學(xué)生有良好的做題習(xí)慣以及獨(dú)立思考的能力，在面對題目的時(shí)候能夠通過平時(shí)的練習(xí)將自己的數(shù)學(xué)思維與解題方法和技巧熟練地運(yùn)用出來。三角函數(shù)的學(xué)習(xí)大部分在高一階段就已完成，我們的目的就是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，形成好的思維習(xí)慣。通過對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)和思考能夠加深學(xué)生對三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解。以上我們給出的幾種求三角函數(shù)最值問題的解法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是經(jīng)常用到的，但我們在求最值時(shí)，不能拘泥于上述這幾種形式，我們可以通過一些恰當(dāng)?shù)奶幚?，將解題思路傳授給學(xué)生，來達(dá)到預(yù)期的目的。在解題的過程中我們要鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度去思考，以便學(xué)生能夠拓寬思維，提高解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 郝連軍.例析高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題中存在的問題[J].新課程·中旬，2013，（10）：211-211.

[2] 陳林松.芻議高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習(xí)之要[J].理科愛好者（教育教學(xué)版），2013，5（1）：38-39.

[3] 張夢瑤.淺析高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)變換[J].文理導(dǎo)航（中旬），2016，（1）：16.endprint