試論基于發現學習的高中數學導學內容設計原則

昌明

摘要：高中數學學科直接影響著學生核心素養的發展。如何建構適合高中生學習的教學方式則是新課程改革面臨的重大選擇。在課題研究的基礎上，系統總結了高中數學發現學習教學中的導學內容的六條設計原則，并通過實踐證明能夠有效促進學生進行發現學習，培養學生自主學習能力、發現問題及解決問題能力，提高創新能力。

關鍵詞：發現學習；高中數學；導學案；內容設計

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2017）09B-0018-04

基于“導學案”中高中數學發現學習教學范式，是建立在布魯納發現學習理論基礎上并結合當前高中數學教學改革實際而進行的一種整合教學樣式，是學生利用導學案，通過自己再發現數學知識形成的過程，以獲取數學新知并發展探究性思維的一種學習方式，為學生數學核心素養達成而進行的一種教學建構，其教學范式基本流程如下：

該范式以導學案始終貫穿學生的整個學習過程，指導學生發現學習，培養學生自主學習與合作學習能力、發現問題及解決問題能力、反思能力。通過導學案將學習前置、問題前置，課堂則成為討論爭論、展示交流、引導發現、探究學習的舞臺，課后鞏固知識，反思總結學習經驗。

如何呈現給學生行之有效的導學內容為學生創設一種學習情境產生認知矛盾，激發學生對新問題的學習興趣，潛在地教給學生自主學習的方法則是該范式施行的關鍵要素。這對高中生的問題意識，提高創新能力至關重要。筆者認為，建構適合當下高中數學教學改革及關注學生數學素養的導學案 必須堅持以下原則。

一、循序漸進原則

所謂循序漸近原則，是指依據學生的認知規律與智力水平，按照數學知識邏輯體系由易到難、由簡到繁有階段、有次序地設計導學內容。學生發現問題的能力隨著社會經驗的不斷豐富以及學習的不斷深入逐漸提升，進入中學階段，學生“能夠運用抽象概念進行思考。運用邏輯和實事求是的方法思考。”[1]但是，抽象的邏輯思維需要經歷一個發展過程。“從初二年級開始，中學生的抽象邏輯思維即由經驗型水平向理論型水平轉化，到了高中二年級，這種轉化初步完成，這意味著他們的思維趨向成熟。”[2]因而，在設計導學內容時要遵循學生的認知發展規律引導學生發現學習。高一年級導學內容的設計要注意初、高中的銜接，借助學生已有經驗、圖形直觀等適度降低抽象程度，綜合運用抽象概念和形象直觀發現問題、解決問題，并逐步提升學生抽象思維能力。高二、高三年級導學內容的設計逐漸提高抽象化程度，逐步培養學生運用抽象的概念、定理、法則進行思考，減少對直觀與具體的依賴，并合乎邏輯地進行推理、預測。

設計導學內容應充分理解教材意圖，尊重學情，在學習內容與學生認知能力之間構建引導學生自主探索、發現問題的橋梁。例如，“對應說”函數概念對于剛進入高一的學生來說過于抽象。一是函數概念的定義中包含了集合、元素、對應等多個概念，與初中“變量說”函數概念相比缺少直觀的物理背景；另一方面學生對于用量詞“每一個、唯一”表達的關系缺少經驗、直觀的支撐。蘇教版《數學必修1》選擇了通過三個實例讓學生體會兩個非空數集之間的一種特殊的對應關系。教材首先以生活中的實例為背景引出3個問題，每個問題都涉及一個確定的函數，這3個函數分別以圖表、解析式、圖象的形式呈現，然后提出：如何用集合語言來闡述上述3個問題的共同特點？這個問題是本節課的引領性問題，但學生很難直接回答這個問題。為此，導學內容可進行如下設計：

請你回顧初中所學的函數概念，并閱讀教材（蘇教版《數學必修1》）第23頁內容，完成下列問題：

問題1：每個問題的兩個變量變化范圍能否用集合表示，如何表示？

問題2：兩個變量和之間是一種對應關系，如何對應的？可用圖形、符號或文字表述。

問題3：能否用集合語言來闡述上述3個問題？可用圖形或文字表述。

通過課前導學，讓每位學生都能有足夠時間思考問題，上課前教師對學生自學情況進行診斷，準確了解學情，課堂第一部分讓學生交流展示問題3的答案。問題3要求學生用圖形或文字表述，一方面給學生自由表達的空間，另一方面引導學生畫出“映射圖”，借助圖形構建函數概念并加深理解。

二、情境創設原則

所謂情境創設原則，是指根據教學的內容，為落實教學目標，設定適合學生主動積極建構性學習的具有學習背景、景象和學習活動條件的導學內容。情境創設幫助學生進一步增強對數學知識的理解，引發學生對問題感興趣，使學生在此情境中產生認知矛盾，從而提出要求解決的或必須解決的問題。生活中數學無處不在，新課程注重數學知識與實際的聯系，《普通高中數學課程標準（實驗）》在教學建議中指出：“通過豐富的實例引入數學知識，引導學生應用數學知識解決實際問題，經歷探索、解決問題的過程，體會數學的應用價值。”新課程呼喚科學世界向生活世界的回歸。

數學起源于人類的社會實踐和生產活動，并在人類社會的發展中發揮著越來越重要的作用。在導學內容中創設情境，提供有助于形成概括結論的實例，讓學生對現象進行觀察分析，逐漸縮小觀察范圍，將注意力集中在某些要點上。模擬生活，貼近現實，使學習更接近現實生活，使學生如臨其境，感知真實世界，培養學生用數學的眼光觀察世界。創設學習情境是強化數學知識與實際的聯系，有利于“幫助學生認識到：數學與我有關，與實際生活有關，數學是有用的，我要用數學，我能用數學。”情境的創設除了追求自然、真實、與學科知識緊密相聯的實際事物或實際事物的相關背景外，還應追求趣味性、挑戰性、有故事、有豐富的文化內涵等引人入勝的元素，有情趣的學習場景有利于激發學生自主學習的興趣，激發學生自動探索數學的奧秘。

“圓錐曲線”是蘇教版《數學（選修2-1）》2.1節的教學內容，如何發現在圓錐面和截面之間嵌入雙球是證明定理的關鍵，也是師生感到困惑的教學難點。為了更自然地引導學生進行探究性學習，在導學內容中創設情景：

問題1：在公元前3世紀前后，古希臘學者梅內赫莫斯、歐幾里德、阿基米德、阿波羅尼奧斯等發現并研究了一類曲線——用一個平面截圓錐面所得到的曲線。很顯然，當平面經過圓錐面的頂點時，可得到兩條相交直線；當平面與圓錐面的軸垂直時，截得的圖形是一個圓。用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？這些曲線具有哪些幾何特征？

問題2：一個球在點光源S的照射下的投影，當點光源S的位置變化時，投影有哪些變化？

問題3：你能發現問題1與問題2之間有某種聯系嗎？

問題4：我們已經知道圓上的點到圓心的距離等于定長，其他曲線有類似性質嗎？你能借助問題2這一生活實例探索古希臘人用平面截圓錐面所得曲線上的點具有的幾何特征嗎？

以聯想圓具有的幾何特征為基礎、以實驗活動為抓手引導學生對橢圓等圓錐曲線幾何特征進行探究，有意識地引導學生對球與截面的切點的關注并能提出相關猜測，在課堂教學中根據對稱性等特點進一步引導學生發現雙球并證明圓錐曲線的截線定義與軌跡定義的一致性。

三、方法滲透原則

所謂方法滲透原則，是指在導學內容中有意識地滲透數學猜測的方法幫助學生對提出的問題建立各種假設，并進行推測，探尋數學知識聯系，培養學生的數學思維能力。

匈牙利數學家伊姆雷·拉卡托斯指出我們的討論是在“問題與猜想的階段過去以后”開始的，這就是說，樸素的猜想構成了數學的發現的邏輯的實際出發點。[3]一般說來，提出數學猜測主要有以下幾種方法：第一，通過類比來提出猜測；第二，通過歸納來提出猜測；第三，通過減弱或強化定理條件提出猜測；第四，通過想象和直覺提出猜測；第五，通過逆向思維提出猜測。[4]《普通高中數學課程標準（實驗）》要求學生：“能利用歸納和類比進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數學發現中的應用。”新一輪課改中，數學教學增添了合情推理教學內容，但只占5課時，且安排在《數學（選修2-2）》中，選修物理的學生在高二年級下學期學習。然而，邏輯推理是數學六大核心素養之一，通過邏輯推理的學習，學生形成良好的思維品質和理性精神，因而，需要在平時的教學中滲透歸納、類比等邏輯推理方法。在發現學習教學中的導學內容設計中，要有意識地滲透數學猜測的方法幫助學生盡可能多地靠自己去發現。

例如，“兩角和與差的余弦”是蘇教版《數學必修4》3.1節的教學內容，在導學內容中安排兩角差的余弦公式發現的猜測以及公式證明的探究活動，讓學生經歷對各種可能結果的合情猜測、反駁、論證，培養學生探索性思維。

問題1：cos（α-β）與 α、β的哪些三角函數有關？試說明理由。

問題2：猜測cos（α-β）用α、β的三角函數表示的關系式，對你所得結果進行必要的聯想，并嘗試證明。

課堂教學中通過學生的交流展示，暴露學生的推理過程。如：首先，減弱公式中的條件固定一個角進行歸納推理，令α=π，此時，cos（α-β）=-cosβ=cosπcosβ=cosαcosβ；再令α=，可得，cos（α-β）=sinβ=sinsinβ=sinαsinβ，至此，已明確cos（α-β）與cosαcosβ、sinαsinβ有關。其次，再取α、β 的特殊值進行歸納推理猜測：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

四、自主建構原則

所謂自主建構原則是指對某些相關知識或某幾種題型讓學生進行自主整理，發現規律、建立聯系，建構知識結構。

經歷階段性學習后，導學內容應指導學生根據知識體系，繪制知識結構網，把握知識之間的內在聯系，使學生能系統、深刻地理解和掌握已學的知識，并能用聯系、全面的眼光審視這部分知識的架構。導學內容應將知識學習扎根于知識的結構掌握，根據學生學習習慣和思維方式，把數學知識同化成自己的認知圖式，是學生數學學習過程中發現知識、組織知識并活用知識的過程。

導學內容中引導學生對相關內容自主建構，繪制知識結構網，研究習題之間的內在聯系，把握問題的本質。不僅有利于學生“學習事物是怎樣相互關聯”的，還有利于學生在理解的基礎上記憶和保持，具有“生成力”或“遷移力”的效能，更有利于學生的后續發展。通過這一過程而形成的數學知識，是一種具有再生性、簡化的基本知識，容易納入認知結構，也就便于形成遷移能力，這對進一步完善學生的數學素養有一定的促進作用。

五、資源統整原則

所謂內容資源統整原則，是指將導學內容與教學目標的有機融合，學生認知能力與問題表達相結合，進一步貫穿導學內容系統性表達，關注學生的興趣和經驗，加強知識之間的聯系。

強化導學內容與教材協調。當前，導學內容的設計水平參差不齊，大量出現簡單地對課本上概念進行提問、做大量習題的現象。如果導學內容僅僅是教材的“斷章取義”或簡單重組，就談不上創新意識、發現能力的培養；如果導學內容游離于教材之外，將會加重學生的學習負擔。導學內容應與教材形成有機的組合體，應在吃透教材，理解新課程理念基礎上，將導學內容設計成學生進一步學習的抓手。

強化導學內容的跨學科融通。導學內容統整性主要分為多學科、跨學科以及超學科主題內容的設計三種模式。簡單來說，就是將一個單一的數學問題通過這三種模式不斷擴充，使學生能夠在學習數學的同時，加強其對于其他學科的理解，對于社會知識的感悟。

強化導學內容與鞏固性作業統一。如果我們不能正確處理好課前導學與課后鞏固練習的關系，學習量過大，這勢必演變成作業前置，延長學生的學習時間，造成學生學業負擔過重。

六、以生為本原則

所謂以生為本原則，是指以學生的可持續發展為本，以發展學生數學核心素養為要，通過導學案內容的優化設計，提升學生發現問題、分析問題與解決問題的能力，并持之以恒形成較為系統的數學思維方式，培養學生發現問題能力和創新精神，提升學習效益。

注重導學內容與學生素養整合。發現學習是一種自我學習素養提升的重要學習方式，對高中學生的數學學習尤其重要。因此，導學內容的設計必須基于學生的數學素養視角予以關注，落腳在學生的“最近發展區”，提升學生對數學問題的理解力和轉化力。

注重導學內容與學生學習動機匹配。學習動機是發現學習關鍵要素，如何激發學生積極的學習心向，產生一種學習欲望并能有一定的數學學習意志品質，對于導學內容的設計至關重要。因為只有動機切合，才能相得益彰，取得應有的學習效益。布魯納認為，首先，強化動機的形式要符合學生的年齡特征。高中生的數學抽象思維逐步形成，對于導學形式不能過于具象，要幫助學生逐步樹立高中數學必須具備的思維品質。其次，強化的步驟要適時。教師對于學生引導要有耐心，在實際教學中要基于導學案的實際狀況。學生發現結果與教學目標相近或相同時，教師才可以提示，否則不利于強化學生的發現。

當前，以導學案為載體的課堂教學研究受到越來越多地關注。只有認真貫徹為學生自主學習而“導”、為培養學生的數學學習興趣而“導”、為發展學生的數學核心素養而“導”的設計理念，才能達到預期的教學效果。

參考文獻：

[1]林崇德主編.21世紀學生發展核心素養研究[M].北京：北京師范大學出版社， 2016：251.

[2]林崇德.智力發展與數學學習[M].北京：中國輕工業出版社， 2011：218.

[3]鄭毓信.數學方法論[M].南寧：廣西教育出版社， 1996：58.

[4]徐利治、王前.數學與思維[M].大連：大連理工大學出版社，2008：96-103.

責任編輯：趙赟