淺談一般數列的求和問題

陳盾初

摘 要：數列求和是高中數學教學內容的一個重點，也是高考重要考點之一，所以掌握數列求和的方法非常重要，需要對各種題型，各種解題策略融會貫通，能夠將各個知識點全部擊破，從而提高數學成績。基于此，對數列求和的各種方法做出詳細講解，希望能夠幫助學生對數列求和方法有更深刻地掌握，能夠對各種題型得心應手，從而提高數學成績。

關鍵詞：數列；數列求和；高中數學

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）33-0047-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.33.024

數列的求和問題一直是高中數學教學的一個非常重要的知識點，像一些簡單的等差數列、等比數列的解題方法比較簡單，有一些較為淺薄的題目可以直接用等差數列公式、等比數列公式解答出題目的答案，但是像一些非等差數列和非等比數列就需要改變解題方法，這樣的數列問題存在綜合性的特點，需要對基礎知識有較好地掌握才能夠解答出正確答案，下面我針對一般的數列求和方法通過例題簡單的講解。

一、對數列求和方法的認識

我們在進行數列求和的時候通常會用到這幾個方法，首先是直接法，直接法用起來簡單快捷，非常高效，在做非常簡單的題目的時候我們可以用這種方法，另外是公式法，通過前人已經總結出來的規律，我們只需要通過對問題的簡單觀察，查看是否符合公式要求，可以直接套用公式得出問題的答案，但是這個方法需要我們對有關公式要能夠準確記憶，如果不經常運用可能很快就忘記公式，從而不能在遇到問題的時候有效解決，另外除了能夠運用之外還需要有深刻的理解，可以在題目多變的時候靈活運用公式，不能夠只是死板的將公式記住而不知道變通，所以綜合來說，通過公式法來解決數列求和，可以節省我們的解題時間，而且使我們的解題方法更加有效準確。其次是錯位相減法，這種方法我們在做有關數列求和問題的時候是我們經常使用的一種方法，在運用這種方法的時候，要對題目仔細分析，再三反思，確定審題正確，而且在寫的時候要更加注意，以免出現寫錯的情況，究其原因是因為一般用到錯位相減法的題目項數是非常多的，所以如果沒有仔細細心的態度，就很容易出現錯誤。最后是裂項相消法，這個方法顧名思義，是把一項進行分裂，將其從一項分裂成兩項、三項甚至是多項、然后用消除的方法求出前面項的和，這種方法適合的題型非常多，例如：等差型，三角函數型等。這些題型都可以運用這種裂項相消法，因為可以運用的題型非常多，所以對這種方法我們要有具體的了解，將其徹底掌握，從而能夠在遇到各種題型的時候，能夠靈活地將這種方法運用上去，提高解題效率，下面我針對這幾種方法做具體講解與分析。

二、直接法

對數列的求和可以直接進行求和。

例1：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+...+100的和。

分析：這個題目幾乎是在小學一年級的時候就經常是被老師問到的問題，但是當時只是涉及求和問題，并沒有引進數列的概念。而這個題目明顯是一個等差數列，針對于這個問題，我們可以直接通過高斯求和公式進行求和。

高斯公式：和=（第一項的值 + 最后一項的值）×項數 / 2

解：第一項是1，最后一項是100，所以（1+100）×100 / 2，所以這個題目的最后結果是5050。

三、公式法

（一）等差公式

等差數列是常見數列的一種，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1，3，5，7，9...2n-1。

通項公式為：an = a1+（n-1）×d。首項a1=1，公差d=2。

前n項和公式為：Sn = na1 + n（n-1）d/2 = n（a1 + an） / 2

例題：假設等差數列{an}的前n項和為Sn，而且S2 = 12，S4 = 0，求：{an}的通項公式、前n項的和Sn

分析：從這個題目可以看出這是遞減等差數列，可以直接通等差公式進行解題。

解：假設等差數列的第一項是a1，數列公差為d，那么可以得到2a1 + d = 12 和 4a1 + 6d = 0，通過運算，可以知道a1 = 9， d = -6，所以通過an= a1 + （n-1）d可以得出an= 9 - 6 （n- 1） = - 6n + 15，而Sn = na1 + n（n-1）d/2，將a1 帶入到其中去可以得到Sn = -3n2+12n。

（二）等比公式

公式：當q=1的時候，Sn=na1，當q≠1的時候，

Sn=a1（1 - qn）/1-q性質：（1） an = amqn-m

（2）若 m + n = p +q ，則 am × an = aq × ap

例題：已知log2x = 1，求x + x2 + x3 +...+xn的前n項和。

分析：從這個題目中可以很快地看出這是等比數列，所以可以直接將等比公式的公式運用在上面。

解：因為log2x = 1，所以x = 2，所以通過求和公式Sn = x + x2 + x3 +...+xn = 2（1-2n） / （1-2）= 2n+1 - 2。

四、錯位相減法

例題：求和Sn = 1/2 + 3/22 + ... +（2n - 1）/2n 。

分析：從這個題目可以看到被除數是等差數列，除數是等比數列，所以這個題目可以運用錯位相減法。

解：Sn = 1/2 + 3/22 + ... + （2n - 1） /2n ，將這個等式兩邊同時乘以1/2，得到（1/2） Sn = 1/22 + 3/23 + ... + 2n -3 / 2n + （2n-1） / 2n+1然后將兩個等式相減，就可以得到Sn = 3 - （2n+3） / 2n

五、裂項相消法

通過上文對數列求和方法的簡單介紹與例題結合，分析了常用的數列求和方法，但是在數列求和上可以用的方法并不僅限于這幾種，其他的方法本文就不一一介紹了，希望可以對學生在做數列求和的時候有所幫助。

參考文獻：

[1] 鄒文楨.淺談一般數列的求和問題[J].理科考試研究（高中版），2017（1）：32-34.

[2] 樊冰清.淺談一般數列的求和問題[J].教育現代化-知網，2017（5）：103-74.endprint