點擊運算 鏈接思維

姚晶晶

[摘 要]運算能力，并不僅僅是計算技能的代名詞，更是數學能力的核心。 以“隔位退位減”的教學為例，在培養學生的運算能力時，教師要有一雙慧眼，這樣才能夠“看”到數感、符號感、幾何直觀、推理能力、應用能力、模型思想，甚至是創新能力。

[關鍵詞]運算能力；隔位退位減；數學思維；核心素養

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）32-0004-03

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的10個關于核心素養的關鍵詞當中，運算能力似乎顯得稀疏平常，并不華麗，但是它在小學數學中所起到的作用卻是不容低估的。常常有教師問：“在小學階段，學生數學核心能力主要體現在哪里？”從數學能力的研究歷史來看，“運算能力”一直被作為數學能力的核心。瑟斯頓通過因素分析，將人的智力分解為7種基本因素，其中第3項是數學能力，而他對數學能力的解釋即是“進行數學運算”的能力。王權對小學生的數學能力結構進行了研究，通過因素分析得出小學生數學能力結構的四種因素，其中包括“運算速度”，由此，運算能力作為數學能力的核心有著深厚的研究基礎。

從學科關鍵能力的厘定要求來看，運算能力只有是其他學科沒有的，是本學科“獨有”的，方能稱之為這門學科的關鍵能力。從學科關鍵能力的含義來看，運算能力涵蓋著抽象、推理、建模等基本的數學思想，具體表現為能根據參與運算的數據特點靈活運算，解決實際問題時能合理選擇算法等方面。

培養學生的運算能力，最關鍵的要素是什么？有人說是單純的數值計算，也就是我們常說的技能操作，這是對運算能力的一種最樸素，也最表面的理解，其實，運算技能≠運算能力。曹培英先生認為：運算能力是一種綜合能力，運算能力是運算技能與邏輯思維能力的一種獨特的結合；運算能力不是能夠進行簡單的加、減、乘、除，而是與觀察能力、記憶能力、理解能力、推理能力、表達能力以及想象能力等有關的，由低級到高級的綜合能力。

那么，在這個最容易發生機械操作的內容領域里，計算教學怎樣才能啟迪學生的數學思維進而促進學生核心素養的生成？下面以“隔位退位減”（蘇教版教材二年級下冊、人教版教材三年級上冊）的教學為例。

一、問題引入：處理好“情境式”與“數學式”的關系，讓思維有“根”

計算教學的課堂導入，主要有兩種方式：情境式和純數學式。近年來，計算教學的標準流程就是從創設現實情境開始，由實際問題引出計算問題。隨著有效教學研究的深入，一線教師逐步發現，如果每一課都采用“教師創設情境——學生提出問題——獨立思考算法——反饋交流算法——自主選擇算法”的標準流程，久而久之，師生都會覺得上課索然無味。

不妨比較一下兩種不同的方式。第一種是用課本中的情境進行導入：“二年級同學畫了204幅兒童畫，一年級同學比二年級同學少畫108幅。一年級同學畫了多少幅？”這種導入方式只是借助一個現實情境的外殼來得到算式而已，起到的是“敲門磚”的作用，對啟發思維、助推學習并無幫助。第二種，從一個純數學的題組引入：“這里有兩道計算題，請你在計算的過程中體會一下它們有什么不同。”隨后出示兩道計算題“①214-108；②204-108”讓學生試做。“課伊始，疑已生”，學生在已有知識經驗與新知的比較當中，直接對準了問題的“靶心”，即認知難點：個位不夠減，要向十位退1，而十位又是0，該怎么辦？顯然，在比較和探索的過程中實現著新知向舊知“同化”的過程，無論學生的探索是否成功，是否正確，他們的大腦已經把前面所學的連續退位減（個位不夠減，要向十位退1，而十位夠退）的已有知識經驗和新知進行關聯。此外，學生在嘗試過程中所遇到的真實困難和阻礙，也為后面的課堂會診提供了寶貴的生成性資源，同樣是課堂上珍貴的學習材料。

值得注意的是，對于“現實情境”，也需要辯證地看待。比如從一個情境當中能夠獲取多個有價值的計算問題，且算式之間有所聯系，能夠有所生長的計算問題，教師不應當排斥。如估算教學，要培養學生的估算意識，很大程度上是離不開實際情境的。又如，教學“0.15×3=？”時，以現實題材為載體，如“買3支單價為0.15元的鉛筆”，學生就能容易想到采用不同單位的不同算法；若沒有情境，教師直接出示算題，則已有的知識經驗會使大多數學生自覺地先算“15×3”，再添上小數點，并提出如何確定積的小數部分位數的猜想。可見，不同的角度，會給學生帶來不一樣的學習經驗的積累和體驗。用何種方式來打開計算教學，要視具體情況而定，這樣才能在真正意義上實現“殊途同歸，各顯神通”的教學效果。

二、計算原理：處理好“理”與“法”的關系，讓思維有“據”

曹培英先生指出：在任何計算教學中，算理和算法是運算能力的“一體兩翼”（如圖1所示），尤其在小學數學中，兩者相輔相成，不可偏廢。

在本單元的計算教學當中，依然是以計數器為主要教學工具幫助學生理解和掌握算理和算法。“隔位退位減”，不僅涉及兩次退位，且中間一位為0，要求學生在這半直觀半抽象的計數器上完成這一系列復雜而煩瑣的運算過程，顯然極具難度和挑戰性。

有兩位教師是這樣處理的：第一位教師在教師用的大教具計數器上親自操作，對于個位上珠子不夠的部分，就讓學生在頭腦里想象后再獨立完成操作。第二位教師則預感到操作活動會陷入僵局，因此直接免去了實踐操作環節，讓學生觀看課件演示過程（如圖2）。很顯然，這兩種方式下，學生只是操作活動的“旁觀者”。試想，一個無法親身參與數學活動的行為如何能讓學生積累相關的活動經驗？又如何能讓學生深刻感知算理與算法的和諧統一？endprint

面對這樣一個復雜的教學環節，我巧妙地找到了應對的辦法：在黑板上畫了一個簡易的計數器的模型平面圖（如圖3），通過用磁性“五角星”放在不同的數位上代表不同的數值，這樣就擺脫了計數器的局限性（只能撥10個）——超出10個的部分要么在頭腦中想象，要么只能依靠看課件演示來輔動理解。這一創造性的 “換珠”操作，將復雜的心智活動、思維參與活動巧妙地落到實處，讓學生真正實現“手中有珠，心中有數”，讓學生在親身操作過程中運用抽象的位值原理深刻地理解“換珠”的緣由，積累豐富的數學活動經驗。

在接下來的對比中，教師應該彰顯自己的引導作用。

師：通過陳米奇同學的兩次操作，你們有沒有感覺到“214-108”和“204-108”這兩題之間是存在一些聯系的？它們的相同點和不同點各是什么？

生1：都是退位減，都有換珠。

生2：“214-108”的個位不夠減，就用十位上的一顆珠子換了個位上的10顆珠子。“204-108”的個位也不夠減，但是十位上是0，也減不了，所以要先用百位上的一顆珠子換成十位上的10顆珠子。

生3：我有補充。“214-108”只用換一次，“204-108”換了兩次。

師：你們剛才都提到了“換珠”，什么情況下才需要換珠？換珠時有條件嗎？

生4：只有不夠減的時候才要換，而且要大小一樣的才能換，比如1個十換成10個一，一個百換成10個十。

師：這個同學很了不起，他所表達的“大小一樣的才能換”這個思想，其實就是數學上經常使用的一個重要方法，叫作“等量代換”（板書，如圖4）。

以上實踐操作中隱含了數學思維，活化了學生對算理的理解，自然而又不露痕跡地將算理與算法完美對接。學生有效地觸摸到了思維的精確性和思維的邏輯性，對于“0上有‘點就是9”這一“重要規則”知其然，也知其所以然。與此同時，學生體驗了算理理解與算法固化的思維升騰過程，在“一次換珠”與“兩次換珠”的比較辨析中掌握了“換珠”操作背后所蘊含的“十進制”計數原理，擺脫了浮于表面的理解，深刻感悟到“等量代換”這一數學思想的重要價值。

三、鞏固內化：處理好“質”與“量”的關系，讓思維有“力”

《人是如何學習的》一書中指出：“必須用少量主題的深度覆蓋去替換學習過程中對所有主題的表面覆蓋，這些少量主題使得一些關鍵概念得到理解。”在計算教學中，做習題并非只為了鞏固計算技能，多練多做也并非是決定運算能力提升的關鍵因素。因此，習題的設計一定要著眼于學生能力的提升，把學生從題海拉出來， “以一當十”，發揮題組教學的優勢，真正提高學生的思維能力。

在計算課上，我沒有讓學生進行大量的習題訓練，而是在教學例題后，帶領學生研究一個“結構化”程度很高的題組，要求男、女生分別完成一組題目。

女生組的題目：①508-282 ②501-282

男生組的題目：①705-395 ② 700-395

要求學生完成題目后反思：做的兩道題有什么不同？又有什么聯系？

生1：“508-282”和“501-282”的減數都是282，被減數不同，得數也不一樣。

生2：雖然“508-282”和“501-282”的減數都是282，但是被減數508比501多7，所以“508-282”的得數肯定比“501-282”的得數也要多7。

生3：我還有補充，這兩道題都是退位減。

……

在學生充分發言后，我將問題從“發散”到“聚合”，引導學生提煉內容中最為核心的要素：“觀察已完成的這6道題，哪些屬于今天學習的內容？為什么？”并指名學生到黑板上圈一圈符合條件的內容。

這時，生1圈了女生組題目的“501-282”后又圈了男生組的兩道題“705-395”和“700-395”，生2補圈了例題的“204-108”。

師（追問）：對他們圈的算式，你們有何評價？

生4：不應該圈“705-395”。

生5：這不是中間十位上有0嗎，為什么不圈呢？

生6：雖然十位上有0，可是個位上“5-5”夠減了，不需要再向十位借，而十位上的“0-9”不夠，要向百位退1，所以這里只有一次退位，不存在隔位退位。

師：說說看，你們現在知道了什么？

生（達成共識）：知道了十位上有0的不一定就是隔位退位減，還要看個位夠不夠減，如果夠減就不是，如果不夠減，才要隔一位向百位退1，才算是隔位退位減。

“十位上有0”這個表象確實容易對學生的認識產生一定的迷惑性。這里的圈題活動，給學生提供了很好的辨析機會，學生通過交流，有效糾正了原有的模糊乃至錯誤的認識，在自我的反思與他人的修正中再一次深化對“隔位退位減”的理解。

四、能力提升：處理好“點”與“面”的關系，讓思維有“品”

學習數學有一個重要功能，就是使不同層次學生的腦力當量得以提升。什么是腦力當量？即，如果某學科的知識總量為T，研究者腦力總付出為R，則兩者相比，即為單位知識所含有的腦力付出，通常稱為腦力當量（C），用公式表示為C=R/T。課堂學習的目標應該是有彈性的，既不能純粹從成長視角出發，不顧學情任意拔高學習要求，讓大多數學生“望題興嘆”，也不能囿于目標，讓學生始終在原地打轉，貽誤大好的學習時光，而應該從真實學情出發，著力于腦力當量的提升，讓不同層次的學生都能得到發展。

在課的最后階段，我聚焦本質，獨具匠心，設計了幾個層次的編題練習，將本課教學再次推向高潮。endprint

第一層次：任意編一道“隔位退位減”的計算題，不計算結果；

第二層次：用0、1、2、3、4、5六張數字卡片編一道“隔位退位減”的計算題，不計算結果；

第三層次：用0、1、2、3、4、5六張數字卡片編一道“隔位退位減”的計算題，想一想，怎樣編才能使計算結果最大？

在第二層次和第三層次的編題過程中，我根據學生回答中的所思所想進行巧點妙引，讓那些“可遇而不可求”的生成信息成為寶貴的教學資源。

比如，對于第二層次編題，一個學生寫了“203-45”，全班都贊成，而另一名學生寫的算式“403-51”引起了很多同學的反對。

生1：403-51，雖然被減數十位上是0，但是個位上的“3-1”夠減，不需要退位，所以這道題不符合隔位退位減的要求。

師：是啊，能否把他寫的算式稍微改動一下使其符合要求呢？

生2：把3和1調換一下位置就可以了，變成401-53，這樣個位就不夠減，且十位上是0，符合隔位退位減的要求。

改動的環節既體現了教師的機智，也反映了學生思維的靈活性。

又如，在第三層次的編題中，一名學生很快就編出“543-102”。

師：你怎么想的？

生1：被減數最大，減數最小，它們相差的就大，得到的結果就是最大的。

師：其他同學的意見呢？

（一部分學生同意，一部分學生不同意）

生2：這樣就不是隔位退位減了。

師：是呀，根據隔位退位減的含義，該怎樣來編這樣的算式呢？

（學生思考后給出了不同的答案）

生3：501-234。

生4：502-314。

生5：503-124。

………

交流、探討、辯論在繼續，學生的理解和思考也在不斷深入。每一次的修正和改變，每一次的恍然大悟都預示著他們向最終的真理艱難卻勇敢地前進了一步。三個層次的編題活動設計極具思維挑戰性，滿足了不同發展水平學生的不同需求，學生開始只是憑著感覺編題，在每一次的交流質疑中，逐步尋找到一些有效的策略，最終攻克了最難的那一關。尤其是最后一個層次，在探索嘗試的過程中，不僅僅是思維能力的應用，更是思維品質的充分顯現。交流、探討問題的過程也是全方位培養學生思維深刻性、全面性、批判性、靈活性、邏輯性和準確性的過程，稱得上是一次高水準的思維體操，能使每一位親身經歷的學生的腦力當量都得到提升。

（責編 金 鈴）endprint