“釘子板上的多邊形”教學嘗試與思考

唐曉琴

[摘 要]“釘子板上的多邊形”是五年級上冊“綜合實踐”這一領域的內容，實質是格點多邊形面積計算教學。通過課前思考、實踐探索、課后反思，呈現“釘子板上的多邊形”這一課的設計思路和教學過程，打造使學生經歷探索過程、體會歸納思想、感悟發現和提出問題過程的魅力課堂。

[關鍵詞]釘子板；多邊形；發現和提出問題 探索實踐

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）29-0018-02

【課前思考】為什么學習“釘子板上的多邊形”？

“釘子板上的多邊形”是五年級上冊“綜合實踐”這一領域的內容，這節課的實質是格點多邊形面積計算教學。教材依次呈現多邊形中有一個釘子、兩個釘子的圖形，引導學生通過數一數、算一算、小組合作討論等方式發現多邊形的面積與邊上釘子數之間的關系，在此基礎上，讓學生進一步探索多邊形內有3個、4個……釘子的情況，最后得出一般結論。

從學生的學習經驗來看，學生已經學過運用公式計算常見平面圖形的面積，知道可以用割補法或數方格的方法算出不規則圖形的面積。學生經歷過數的認識、數的運算等領域的規律探索的一般過程，知道可以從簡單問題入手進行研究，只需經歷“發現規律——驗證規律——得出結論”這一過程。

在小學階段學習的“釘子板上的多邊形”會不會是中學學習內容的下放？經過了解發現，在八年級數學教材中安排的綜合實踐課“格點多邊形的面積計算公式”的教學內容中，教學目標與小學階段并不完全相同。除了要求學生掌握求格點多邊形面積的一般方法外，還滲透了函數思想，引導學生發現y（多邊形面積）與x （多邊形邊上格點數）具有線性關系y=ax+b，其中a=1/2是不變的，而b的值等于多邊形內點的個數減去1。 由此可以引導學生歸納出多邊形的面積y等于各邊上格點的個數和的一半加上多邊形內點的個數再減去1，即y=1/2x+（n-1）。可見，小學生學習釘子板上的多邊形正是為了這樣的后續學習積累活動經驗。

【課堂實踐】怎樣教學“釘子板上的多邊形”？

結合學生已有的學習經驗及心理特征，我為本課教學制訂了教學目標：

（1）使學生探索并初步發現格點圖上多邊形的面積與多邊形邊上、內部格點數之間的關系，體會用含有字母的式子表示上述關系的價值。

（2）使學生經歷探索過程，體會歸納思想，感悟發現問題、提出問題過程的魅力。

【教學過程】

一、問題與猜想

1.明確課題

2.提出問題

師：今天我們不用釘子板，用點子圖來代替。（出示點子圖）像這樣的點叫格點，關于格點圖上的多邊形，我們可以研究什么？

生（齊）：周長或者面積。

師：如果要知道這個多邊形的面積，你有哪些策略？（出示不規則多邊形）

生1：數方格的方法。

生2：分割成學過的圖形。

3.嘗試猜想

師（出示喬治·皮克圖片）：有一位叫喬治·皮克的數學家，他發現了格點多邊形的奧秘，從而很快算出面積。大家想不想找到這個神奇的方法？讓我們一起來探索其中的奧妙吧！

師（出示前面給出的不規則圖形）：猜想一下，在格點圖上的多邊形的面積可能和什么有關系？

二、探索與發現

1.探索內部格點數為1的多邊形

師（出示四個圖形）：我們先來看一組簡單的圖形。認真觀察這些圖形，想一想它們的面積和哪里的格點數有關系？你會算它們的面積嗎？請大家算一算。

（學生計算填表）

師：認真觀察表格里的數據，你發現了什么？你是怎么比較的？這個規律可以表達得更簡潔嗎？如果用n表示多邊形邊上的格點數，用S表示多邊形的面積，那么這個規律如何表示？

生1：S=n÷2。（師板書：S=n÷2）

師：真厲害，這么快就發現了規律。讓我們試一試這個規律，看這一組圖形。（出示的圖形分別是內部一個格點、兩個格點、三個格點、四個格點的多邊形）我們先數出邊上的格點數，你能直接算出面積嗎？

【課堂花絮：學生由快速口答漸漸變為猶豫不決，因為發現S=n÷2并不適用于內部兩個格點、三個格點、四個格點的多邊形，所以開始懷疑S=n÷2的正確性。由此形成的沖突為找出規律埋下伏筆。】

師：為什么這個規律有時靈有時不靈呢？認真觀察這些圖形，同桌之間討論你的發現。

生2：多邊形里面只有一個格點時就可以用S=n÷2。

師：你能從不同的圖形中發現共同點，真不錯。“S=n÷2”這個規律在什么情況才成立呢？

生3：內部格點數是1時。

師：如果用a表示多邊形內部的格點數，即a=1時，S=n÷2。

師：看來我們不僅要善于發現規律，更要主動地去驗證規律，這樣才能得出正確的結論。

師：多邊形的面積不僅與多邊形邊上的格點數有關系，與內部的格點數也有關系。（出示：內部的格點數）

2.探索多邊形內部有兩個格點時面積與邊上格點數的關系

師： 接下來我們就好好研究內部格點數是2的多邊形。屏幕上已經出現了一個圖形，為了研究的有效性，建議再畫出一個或者兩個不一樣的多邊形（里面有2個格點的多邊形），分別算出它們的面積，再觀察它們的面積和邊上的格點數之間究竟有什么關系。

師（出示研究單）：①每人再畫出一個或兩個內部格點數是2的多邊形。②算出每個圖形的面積，比較面積與邊上的格點數之間的關系。③同桌互相說一說發現的規律。endprint

生4：當a=2時，S=n÷2+1。

師：回憶剛才探索規律的過程，你有什么想法？

生5：首先要認真觀察圖形，有了猜想，就要大膽表達出來，光有猜想還不行，還要進一步驗證，最后把得出的結論表達出來。

【說明：引導學生在研究問題的過程中不斷感悟和總結研究問題的一般方法，能讓學生對問題的本質有進一步的認識。】

3.進一步探索多邊形內有3個格點的情形

師：大家還想研究什么樣的圖形？

生6：內部有3個格點的多邊形。

師：如果多邊形內有3個格點，它的面積與邊上格點數又有什么關系？

生7：當a=3時，S=n÷2+2。

師：光有猜想還不行，我們如何來驗證這個規律呢？我們在驗證時首先做什么？

生8：畫圖，認真觀察圖形。

師：其次呢？

生9：要算出相關的數據。

師：最后想一想你發現了什么，把結論表達出來。

師（出示小組合作小貼士）：①畫出一個內部格點數是3的多邊形。②填寫表格。③小組交流討論發現的規律。

【課堂花絮：每組成員畫好圖形后通過合作完成表格，他們在討論的過程中發現問題，并及時改正和調整。各小組發現的規律以及表達形式各不相同。】

生10：我們小組發現多邊形內部格點數是3時，其面積是邊上格點數除以2再加2。

師：這位同學觀察得很仔細，我們研究問題時就要像這位同學那樣按照一定順序有條理地進行。

師：內部格點數是4時可能有什么規律？

生11：a=4時，S=n÷2+3。

師：可以寫成“a=1，S=n÷2”嗎？

生12：a=1時，S=n÷2+0。

師：這么多規律我們能不能用一個字母式子來表示？

生13：S=n÷2+（a-1）。

師：a=0時是什么情況？

生14：S=n÷2-1。

師（出示不規則多邊形）：還記得這個圖形嗎？你能用我們今天探索的方法求出它的面積嗎？

三、回顧與鏈接

師：釘子板上的多邊形的面積其實就是一個有名的數學問題——面積與格點（出示面積與格點），發現格點與面積規律的就是剛才老師介紹的奧地利數學家喬治·皮克。下面請一位同學來讀讀數學史。

生15：1889年，他發現了關于多邊形的面積、邊上的格點數以及內部格點數之間關系的皮克公式，并進行了證明，得到了皮克定理。“皮克定理”被譽為“有史以來最重要100個數學定理”之一。

師：我們今天探究得出的S=n÷2+（a-1）就類似于皮克公式。看來數學家能發現的規律我們也能發現，大家是不是覺得自己很厲害。如果大家對我們今天研究的話題感興趣，還可以去看看《格點和面積》這本書，作者是我國數學家閔嗣鶴。

【課后反思】課堂教學是否能再開放一些？

首先，研究的過程可以放手一些。課堂中按照多邊形內部格點數的依次增加，循序漸進地研究了格點多邊形的面積與外部、內部格點數之間的關系，看起來課堂教學流程很順暢，但是這種順暢也束縛了學生的思維。在研究完內部格點數是1的多邊形之后，學生似乎已經猜到了答案，在之后的學習環節中，部分學生研究的興趣和好奇心逐漸減弱，因此，在以后的教學中可以嘗試充分放手讓學生自己先討論研究本課問題的方法和步驟，再放手讓學生獨立進行研究。

其次，課堂教學的環節可以開放一些。例如在探究內部格點數是1的多邊形時，本課是直接讓學生通過計算面積和觀察比較來發現多邊形的面積和邊上格點數之間的關系，這樣的課堂教學人為地向學生暗示了研究的方向和方法，雖然這樣能讓學生更快地接近成功，但也過多地代替了學生的學習活動。這個環節其實可以讓學生先在格點圖上畫出不同形狀的格點多邊形，再討論如何給這些多邊形進行分類，在分類的基礎上再進一步討論內部格點數是1的多邊形的面積和什么有關系，由此展開學習研究或許更有效。

數學世界是奇妙的，數學課堂更是充滿了無限生機，只要教師能從學生的角度出發，充分發揚課堂教學民主，學生就會有奇妙的發現。

（責編 金 鈴）endprint