初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)淺析

陳偉明

摘 要：數(shù)學(xué)概念是客觀事物中數(shù)與形的本質(zhì)屬性的反映，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)，是學(xué)生提高解題能力的前提，是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系中的核心環(huán)節(jié)，也是學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的核心環(huán)節(jié)，因此數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有舉足輕重的作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；概念教學(xué)；數(shù)學(xué)思維

中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出“正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提”。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的核心，它明確揭示了事物的本質(zhì)屬性和相互間的內(nèi)在聯(lián)系。所以正確地理解數(shù)學(xué)概念，既是掌握好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提，也是培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行正確抽象概括，形成方法和理論的先決條件。學(xué)生如果不能正確地理解數(shù)學(xué)中的各種概念，就不能很好地掌握各種法則、公式、定理，也就不能應(yīng)用所學(xué)知識去解決實(shí)際問題。因此，抓好數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。

一、 目前學(xué)生學(xué)習(xí)狀況分析

學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展取決于他對數(shù)學(xué)概念的牢固掌握與深刻理解與否。而在現(xiàn)實(shí)中，許多學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，只注重盲目地做習(xí)題，不重視數(shù)學(xué)概念的掌握，對基本概念含糊不清。做習(xí)題不懂得從基本概念入手，思考解題依據(jù)，探索解題方法。這樣的學(xué)習(xí)，必然越學(xué)越糊涂。因而筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的教學(xué)在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中有其不可替代的作用與地位。

例如：計(jì)算：4的值，很多同學(xué)會得出4=±2，這就是對平方根與算術(shù)平方根的概念的模糊不清而造成的。這樣久而久之，從而嚴(yán)重影響對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握和運(yùn)用。只有真正掌握了數(shù)學(xué)中的基本概念，我們才能把握數(shù)學(xué)的知識系統(tǒng)，才能正確、合理、迅速地進(jìn)行運(yùn)算，論證和空間想象。從一定意義上說，數(shù)學(xué)水平的高低，取決于對數(shù)學(xué)概念掌握的程度。

二、 數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程

（一） 數(shù)學(xué)概念的引入

數(shù)學(xué)概念的引入，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的第一個(gè)環(huán)節(jié)，也是十分重要的環(huán)節(jié)。概念引入得當(dāng)，就可以緊緊地圍繞課題，充分地激發(fā)起學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)動機(jī)，為學(xué)生順利地掌握概念起到奠基作用。

引出新概念的過程，是揭示概念的發(fā)生和形成過程，而各個(gè)數(shù)學(xué)概念的發(fā)生形成過程又不盡相同，因此，教學(xué)中必須根據(jù)各種概念的產(chǎn)生背景，結(jié)合學(xué)生的具體情況，適當(dāng)?shù)剡x取不同的方式去引入概念。

1. 以感性材料為基礎(chǔ)引入新概念

用學(xué)生在日常生活中所接觸到的事物或教材中的實(shí)際問題以及模型、圖形、圖表等作為感性材料，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、比較、歸納和概括去獲取概念。

例如，要學(xué)習(xí)“平行線”的概念，可以讓學(xué)生辨認(rèn)一些熟悉的實(shí)例，像鐵軌、門框的上下兩條邊、黑板的上下邊緣等，然后分化出各例的屬性，從中找出共同的本質(zhì)屬性。鐵軌有屬性：是鐵制的、可以看成是兩條直線、在同一個(gè)平面內(nèi)、兩條邊可以無限延長、永不相交等。同樣可分析出門框和黑板上下邊的屬性。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，它們的共同屬性是：可以抽象地看成兩條直線；兩條直線在同一平面內(nèi)；彼此間距離處處相等；兩條直線沒有公共點(diǎn)等，最后抽象出本質(zhì)屬性，得到平行線的定義。

以感性材料為基礎(chǔ)引入新概念，是用概念形成的方式去進(jìn)行教學(xué)的，因此教學(xué)中應(yīng)選擇那些能充分顯示被引入概念的特征性質(zhì)的事例，正確引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行觀察和分析，這樣才能使學(xué)生從事例中歸納和概括出共同的本質(zhì)屬性，形成概念。

2. 以新、舊概念之間的關(guān)系引入新概念

如果新、舊概念之間存在某種關(guān)系，如相容關(guān)系、不相容關(guān)系等，那么新概念的引入就可以充分地利用這種關(guān)系去進(jìn)行。

例如：在教學(xué)一元二次方程時(shí)，就可以先復(fù)習(xí)一元一次方程，因?yàn)橐辉淮畏匠淌腔A(chǔ)，一元二次方程是延伸，復(fù)習(xí)一元一次方程是合乎知識邏輯的。通過比較得出兩種方程都是只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，差異僅在于未知數(shù)的最高次數(shù)不同。由此很容易建立起“一元二次方程”的概念。

3. 以“問題”的形式引入新概念

以“問題”的形式引入新概念，這也是概念教學(xué)中常用的方法。我們可以從現(xiàn)實(shí)生活中的問題引入數(shù)學(xué)概念或者從數(shù)學(xué)問題或理論本身的發(fā)展需要引入概念。

例如，筆者在教學(xué)“方程”這一概念時(shí)，設(shè)置了如下問題：①怎樣才能使天平保持平衡？②天平保持平衡說明了什么？③你能用式子來表示天平左邊和右邊重量的關(guān)系嗎？④式子中能不能含有求知數(shù)？⑤如果含有求知數(shù)，那么這種式子又稱為什么？這樣讓學(xué)生帶著問題操作天平、討論并解決以上問題，順利得出了方程的概念。

4. 從概念的發(fā)生過程引入新概念

數(shù)學(xué)中有些概念是用發(fā)生式定義的，在進(jìn)行這類概念的教學(xué)時(shí)，可以采用演示活動的直觀教具或演示畫圖說明的方法去揭示事物的發(fā)生過程。

例如，圓的概念的引出前，可讓同學(xué)們聯(lián)想生活中見過的年輪、太陽、五環(huán)旗、圓形跑道等實(shí)物的形狀，再讓學(xué)生用圓規(guī)在紙上畫圓，也可用準(zhǔn)備好的定長的線繩，將一端固定，而另一端帶有鉛筆并繞固定端旋轉(zhuǎn)一周，從而引導(dǎo)同學(xué)們自己發(fā)現(xiàn)圓的形成過程，進(jìn)而總結(jié)出圓的特點(diǎn)：圓周上任意一點(diǎn)到圓心的距離相等，從而猜想歸納出圓的概念。這種方法生動直觀，體現(xiàn)了運(yùn)動變化的觀點(diǎn)和思想，同時(shí)，引入的過程又自然地、無可辯駁地闡明了這一概念的客觀存在性。

（二） 數(shù)學(xué)概念的形成

引入概念，僅是概念教學(xué)的第一步，要使學(xué)生獲得概念，還必須引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確地理解概念，明確概念的內(nèi)涵與外延，正確表述概念的本質(zhì)屬性。為此，教學(xué)中可采用一些具有針對性的方法。

1. 對比與類比

對比概念，可以找出概念間的差異；類比概念，可以發(fā)現(xiàn)概念間的相同或相似之處。例如，學(xué)習(xí)“分式”概念時(shí)，可以與“分?jǐn)?shù)”概念進(jìn)行對比與類比，去比較發(fā)現(xiàn)兩者的不同點(diǎn)與相同點(diǎn)。用對比或類比講述新概念，一定要突出新、舊概念的差異，明確新概念的內(nèi)涵，防止舊概念對學(xué)習(xí)新概念產(chǎn)生的負(fù)遷移作用的影響。

2. 恰當(dāng)運(yùn)用反例

概念教學(xué)中，除了從正面去揭示概念的內(nèi)涵外，還應(yīng)考慮運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆蠢ネ怀龈拍畹谋举|(zhì)屬性，尤其是讓學(xué)生通過對比正例與反例的差異，對自己出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行反思，更利于強(qiáng)化學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的理解。用反例去突出概念的本質(zhì)屬性，實(shí)質(zhì)是使學(xué)生明確概念的外延從而加深對概念內(nèi)涵的理解。凡具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對象必屬于該概念的外延集，而反例的構(gòu)造，就是讓學(xué)生找出不屬于概念外延集的對象，顯然，這是概念教學(xué)中的一種重要手段。

例如講解分式的概念時(shí)，可舉下例進(jìn)行辨析：在下列各式1-xx，1+1y，a-ba，x（x+3）2，5+xπ+1，a+b4 中，是分式的是哪幾個(gè)？通過對各代數(shù)式的比較，深刻理解分式的概念。

3. 合理運(yùn)用變式

依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本質(zhì)屬性具有較明顯的突出特征，容易形成干擾的信息，而削弱學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的正確理解。因此，在教學(xué)中應(yīng)注意運(yùn)用變式，從不同角度、不同方面去反映和刻畫概念的本質(zhì)屬性。一般來說，變式包括圖形變式、式子變式和字母變式等。

例如學(xué)了“垂直”概念后，學(xué)生往往認(rèn)為只有豎直方向和水平方向的“⊥”才是垂直，而其他方向的“⊥”就不是垂直。這時(shí)教師可適當(dāng)出一些不同位置的垂直關(guān)系，通過變式練習(xí)，學(xué)生對“垂直”概念的理解自然會深刻得多、全面而系統(tǒng)得多。

（三） 數(shù)學(xué)概念的鞏固

鞏固是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。心理學(xué)原理認(rèn)為：概念一旦獲得，如不及時(shí)鞏固，就會被遺忘。

1. 注意及時(shí)復(fù)習(xí)

概念的鞏固是在對概念的理解和應(yīng)用中去完成和實(shí)現(xiàn)的，同時(shí)還必須及時(shí)復(fù)習(xí)，鞏固離不開必要的復(fù)習(xí)。

例如，在學(xué)習(xí)了“倒數(shù)”的概念以后，讓學(xué)生完成下列練習(xí)：

（1）數(shù)a的倒數(shù)是1a嗎？

（2）任何數(shù)都有倒數(shù)嗎？

（3）一個(gè)不為零的數(shù)與它的倒數(shù)的積是多少？

（4）什么數(shù)的倒數(shù)仍是它本身？

（5）一個(gè)不為零的數(shù)的倒數(shù)一定比這個(gè)數(shù)大還是小呢？

（6）一個(gè)不為零的數(shù)的倒數(shù)的倒數(shù)是什么？

對于這些問題，教師要啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確完成上述練習(xí)，加深對“倒數(shù)”的理解，自然就鞏固了“倒數(shù)”的概念。

2. 重視應(yīng)用

在概念教學(xué)中，既要引導(dǎo)學(xué)生由具體到抽象，形成概念，又要讓學(xué)生由抽象到具體，運(yùn)用概念，學(xué)生是否牢固地掌握了某個(gè)概念，不僅在于能否說出這個(gè)概念的名稱和背誦概念的定義，而且還在于能否正確靈活地應(yīng)用，通過應(yīng)用可以加深理解，增強(qiáng)記憶，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。例如，學(xué)習(xí)最值問題時(shí)，聯(lián)系實(shí)際舉例：用100米長的細(xì)繩，怎樣圍成一個(gè)一邊靠墻的四邊形雞舍，使雞舍面積最大？通過這個(gè)問題可幫助學(xué)生深刻理解最值問題，從而提高解決實(shí)際問題的能力，加強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用。

三、 抓住概念中的關(guān)鍵詞，講授時(shí)注重細(xì)化

概念中的一些關(guān)鍵詞語非常重要，教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)盡量采用平實(shí)的語言分析、細(xì)化關(guān)鍵詞語，以學(xué)生較易接受的方式呈現(xiàn)出來.這樣就能使學(xué)生準(zhǔn)確地、深刻地領(lǐng)會那些至關(guān)重要的字、詞在概念中的意義，從而提高他們的理解能力。

例如反比例函數(shù)y=1x圖像和性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x值的增大而減小；當(dāng)k<0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x值的增大而增大。講這條性質(zhì)時(shí)必須嚴(yán)格強(qiáng)調(diào)“在每個(gè)象限內(nèi)”。要斟字酌句地對重點(diǎn)字詞進(jìn)行剖析，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

對幾何概念的教學(xué)，除要求學(xué)生能正確敘述其意義外，還應(yīng)要求他們畫出表示概念的圖形，熟練地掌握概念的標(biāo)注和讀法.概念的標(biāo)注和讀法要規(guī)范，一些約定俗成的規(guī)矩必須遵循，同時(shí)還要將概念的文字語言和圖形語言進(jìn)行互譯，語、圖、式三者之間要根據(jù)需要相互轉(zhuǎn)化。

四、 應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生做到五會：會理解、會記識、會表達(dá)、會比較、會舉例

1. 會理解——理解概念要透徹

要記住數(shù)學(xué)概念，首先要理解透徹，不能囫圇吞棗，要求在講概念時(shí)講清、講透。對課本上的精練的概念應(yīng)該字斟句酌，幫助學(xué)生徹底認(rèn)清關(guān)鍵性的字眼，逐字逐句理解透徹，力求真正弄懂。

如在講授一元二次方程的概念時(shí)，可補(bǔ)充下列：當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x 的方程（m+1）xm2+4m+5+x-5=0是一元二次方程？本題按照一元二次方程定義除了需要條件m2+4m+5=2外，一定不能忘了二次項(xiàng)系數(shù)m+1≠0這一條件，這樣對概念的理解才能更全面，更透徹。

2. 會記識——記識概念要深刻

數(shù)學(xué)概念不僅僅要理解，還要對重要的概念、定理、定義、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行必要的識記。識記應(yīng)當(dāng)在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行，通過理解來幫助記憶，通過記憶來加深理解。

例如：講實(shí)數(shù)的絕對值時(shí)，既講其代數(shù)定義，又講其幾何定義：“數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對值”，讓學(xué)生看著數(shù)軸上的圖示記憶這一概念，從而更好地理解絕對值的非負(fù)性。

3. 會表述——表述概念要準(zhǔn)確

概念形成之后，應(yīng)及時(shí)讓學(xué)生用語言表述出來，以加深對概念的印象，促進(jìn)內(nèi)化。語言作為思維的物質(zhì)載體，教師可從學(xué)生的表述中得到反饋信息，了解、評價(jià)學(xué)生的思維結(jié)果。表述概念可以要求學(xué)生用自己的語言敘述，可以不按課本原文，按某一個(gè)角度表達(dá)。

例如：講解同分母分式加減法則：分母不變，分子相加減，可以引導(dǎo)學(xué)生換一種表述方式，同分母分式加減法：ac±bc=a±bc。

4. 會比較——比較概念要鑒別

有比較才有鑒別。許多數(shù)學(xué)概念相互之間聯(lián)系密切，講新概念時(shí)，要聯(lián)系已講的概念，比較它們之間的異同點(diǎn)。例如一元一次不等式與一元一次方程，在“一元”與“一次”上是相同的，不同的是前者含不等號，后者含等號。對于易混淆的概念的最主要區(qū)別要特別強(qiáng)調(diào)。

5. 會舉例——運(yùn)用概念要靈活

在提問數(shù)學(xué)概念時(shí)，有的學(xué)生會按課本內(nèi)容回答得一字不差，但是要他舉個(gè)例子，想了半天卻舉不出來或舉錯(cuò)例子，更談不上靈活應(yīng)用了，這說明學(xué)生不是真懂。

例如：學(xué)習(xí)了“三角形的內(nèi)切圓”后，讓學(xué)生試著解決這個(gè)問題：“工人師傅要將一塊三角形鐵片加工成一個(gè)圓形零件，請你幫他設(shè)計(jì)：如何才能制作最大面積的零件？”學(xué)生分析題意后，發(fā)現(xiàn)了此題的實(shí)質(zhì)：要從三角形余料中剪出一個(gè)與三角形三邊都相切的內(nèi)切圓。再讓學(xué)生畫圖驗(yàn)證。由于把枯燥的概念同學(xué)生的生活實(shí)際結(jié)合起來，對概念的理解就更透徹了，還認(rèn)識到了數(shù)學(xué)的價(jià)值，獲得了運(yùn)用知識的能力。

“授之以魚，不如授之以漁”。教師只有平時(shí)重視對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，才能培養(yǎng)出學(xué)生的應(yīng)變能力，才能讓學(xué)生建立起整個(gè)初中知識的結(jié)構(gòu)圖，才能讓學(xué)生真正學(xué)會分析問題、比較問題和解決問題，才能讓學(xué)生從茫茫題海中解脫出來，也才能真正做到“快樂數(shù)學(xué)”！