以巧取勝

高培明

摘要：高中數(shù)學(xué)目前解題通常采用通性解法，也就是常規(guī)思維，通過定理和已知條件的思路進行解題。在學(xué)習中訓(xùn)練這種解題方法的同時，也不能忽略特征值法的應(yīng)用，兩種方法是對立統(tǒng)一的，在很多試題通過常規(guī)方法解題受阻的情況下，特殊值法可能會收到更好的效果。

關(guān)鍵詞：特殊值；解法；高中數(shù)學(xué)

在遇到一些數(shù)學(xué)難題的時候，可以選擇一個適當?shù)奶厥庵担賹⑻厥庵底鳛橐阎獥l件進行研究。也可以將一般問題以特殊化處理，通過在“變值”當中尋找“定值”，找到解決問題的途徑，下面就這種方法用具體事例進行分析。

一、 選擇題中快速簡潔

選擇題解題方法通常靈活多變，并且選擇題的解題時間分配量有限，所以在正式考試的時候要求學(xué)生在有限的時間內(nèi)準確快速的找到正確答案，因此解題的技巧和方法此時顯得更加重要。這里介紹的特殊值法就是其中重要方法之一，具體分析可以看下面的例子。

例1多項式（x+1）（x+2）…（x+n）（x≥2，n∈N）相乘整理后，xn-2項的系數(shù)為（）

A. 112n（n-1）（n+1）（3n+2）

B. 124（n-1）（n+1）（3n+2）

C. 124n（n-1）（n+1）（n+2）

D. 148n（n-1）（n+1）（n+2）

解析：運用常規(guī)正向解法，解題過程會非常麻煩。而且就選擇題的特點來說，不需要具體的解析具體運算過程。這時候運用特殊值法就顯得非常合適，選擇合適的特殊值確定或者否定一些答案，能快速在四個答案中找到正確選項。

當n=2時，所求系數(shù)應(yīng)為2，此時A、B、C、D的值分別為4、2、1、12，所以可以淘汰答案A、C、D，正確答案為B。

點撥：如果采用常規(guī)解法，令展開式中xn-2項的系數(shù)為an-2=（1×2+1×3+…+1×n）+（2×3+…+2×n）+…+n×（n-1），按這個思路接下去也可以得到正確答案，但是對于選擇題來說未免小題大做，這種情況下選擇特值法，問題就快捷高效的得到了解決。

二、 反證法中有的放矢

反證法是從命題的反面入手，并且否定原來的命題作為推理條件，再結(jié)合定理、法則等通過合理的邏輯推理得到正確結(jié)果。它是眾多“特殊值法”類型中的一種。能恰當?shù)睦眠@種方法，就很可能在遇到復(fù)雜問題時，取得意想不到的結(jié)果。下面通過例題來說明一下如何運用特殊值法解證明題。

例2證明函數(shù)y=cosx不是周期函數(shù)。

解析：由題目已知條件得，函數(shù)定義域為全體非負實數(shù)。運用假設(shè)法，如果假設(shè)y=cosx是周期函數(shù)，則存在T≠0使得一切在定義域內(nèi)的x滿足cosx+T=cosx。

令x=0有cosT=cos0=1T=2mπ，m∈Z；

令x=T有cos2T=cosT=12T=2nπ，n∈Z；

于是2=nm，此時與m、n∈Z相互矛盾，從而可以得出假設(shè)不成立。

所以原命題y=cosx不是周期函數(shù)。

點撥：假設(shè)法的優(yōu)勢尤其體現(xiàn)在遇到否定命題的時候，通過制造相互矛盾來證明命題的成立性。本題非常巧妙的取兩個特殊值制造出了兩個結(jié)論的矛盾，解題效果是立竿見影的。學(xué)生要在日常學(xué)習當中注意這類題的積累，并歸納解題方法，夯實自己的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

三、 函數(shù)性質(zhì)中巧妙靈活

求函數(shù)的性質(zhì)多通過題目已知條件結(jié)合定理或者函數(shù)性質(zhì)等方法正向解題。這里介紹的特殊值法是一種創(chuàng)新的解題方法，這種解法技巧性強，需要開闊的數(shù)學(xué)思維，下面的例題希望能給廣大學(xué)生提供一些新穎的解題角度。

例3已知函數(shù)y=f（x）對一切a、b∈R，等式f（ab）=f（a）+f（b）恒成立，求證：f（x）必有因式x2-x。

解析：令a=b=0，有f（0）=f（0）+f（0）f（0）=0，所以f（x）必有因式x。

令a=b=1，有f（1）=f（1）+f（1）f（1）=0，所以f（x）必有因式x-1。

結(jié)合以上兩個結(jié)論可以得出，f（x）必有因式x2-x。

點撥：這道題的思路是利用函數(shù)y=f（x）如果含有因式x-m等價于f（m）=0，再通過函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得到最后證明結(jié)果，在這里特殊值法的妙處體現(xiàn)的淋漓盡致。用特殊值法求函數(shù)性質(zhì)是一種具有創(chuàng)造性的方法，運用得當在遇到難題時可能就會取得“出其不意”的效果。

參考文獻：

[1] 章林海.揭示本質(zhì)，找準突破，讓思維回歸“自然”[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2017（05）.

[2] 張正華.特值法在高中數(shù)學(xué)中的特殊用法[J].高中數(shù)理化，2016（Z1）.endprint